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湖南省邵阳市邵阳县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分．每小题只有一项符合题目要求）
1．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系内有一点到轴的距离是4，到轴距离是2，且点在第四象限内，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt中，是斜边上的中线，若，则（　　）
A．10 B．6 C．8 D．5
4．如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
5．矩形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直
C．是轴对称图形 D．对角线相等
6．如图，正方形中，在延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知传送带与水平面所成角度是，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为（　　）米
A．5 B． C． D．10
9．若三边长，，，满足，则是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
10．如图，菱形，点均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（　　）
A．3 B．5 C． D．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．春节期间，嘉嘉和淇淇去电影院观看电影《哪吒之魔童闹海》，如果嘉嘉的座位10排7号可以用表示，则表示淇淇的座位为　 　．
12．如果一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是　 　．
13．若点在第四象限，且，，则　 　.
14．菱形ABCD的对角线，则菱形的高为　 　．
15．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，E，，，则线段的长为　 　.
16．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则　 　．
17．如图，矩形中，为边上一点，沿将折叠，点正好落在边上的点．则折痕的长为　 　．
18．如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；，依次类推，则点的横坐标为　 　．
三、解答题：（本题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知点．
（1）若点在轴上，求的值；
（2）若点在一次函数的图象上，求的值．
20．如图，平行四边形，、分别为、延长线上的点，连接，，当时，证明：四边形是平行四边形．
21．体育运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某学校开展体育训练，倡导学生开展体育锻炼，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每周开展体育锻炼所用时长t（单位：小时）”进行了调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（A．，B．，C．，D．，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数；
（4）计算该学校这次调查中达标人数的频率．
22．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD＝5，DF＝2，求四边形DBEC面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，，，．将三角形向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形，其中点，，，分别与点A，B，C对应．
（1）画出平移后的三角形；
（2）求三角形的面积；
（3）若点P在y轴上，以，，P为顶点的三角形面积为3，求点P的坐标．
24．如图1，已知点和点坐标分别为和，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交轴于点．
（1）求直线的函数关系式；
（2）如图2，若点为线段上一点，且的面积为5，求点的坐标．
25．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，．
（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由．
26．如图在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动．
（1）求直线的函数关系式；
（2）求的面积；
（3）是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项的图形，仅满足轴对称图形的定义，不属于中心对称图形，因此该选项不符合要求；
B选项的图形，也仅满足轴对称图形的定义，不属于中心对称图形，因此该选项不符合要求；
C选项的图形，既不满足轴对称图形的定义，也不满足中心对称图形的定义，因此该选项不符合要求；
D选项的图形，既符合轴对称图形的定义，又符合中心对称图形的定义，因此该选项符合要求。
故选：D．
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念：轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形是绕对称中心旋转后能与原图重合的图形，结合概念逐一判断各选项即可.
2．【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负，
∵到x轴的距离为4，即纵坐标的绝对值为4，
∴故纵坐标，
∵到y轴的距离为2，即横坐标的绝对值为2，
∴横坐标（因第四象限横坐标为正），
∴点A的坐标为，
故选：C．
【分析】
第四象限内点的坐标的符号特征是（+，-），平面直角坐标系内任一点的到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值．
3．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵中，，是斜边上的中线，
∴，
故选：A ．
【分析】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：平分，，，
，
在和中，
，
，
，
的周长=6cm，
的周长为．
故答案为：B
【分析】本题首先根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后利用“”证明和全等，进而可得，最后将的周长列出，结合图形进行合并计算即可求出答案。
5．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：结合矩形的性质可知，对角线互相垂直并不是矩形一定具有的性质.
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的相关性质是解题的关键.可以先梳理矩形的所有性质：矩形的对边平行且相等，四个内角都为直角，对角线互相平分且长度相等；同时矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，再据此对选项进行判断.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形（如下图所示），
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE=67.5°，
∴∠EDA=∠BDE -∠ADB =67.5°-45°=22.5°，
故答案为：D．
【分析】
由于正方形的一条对角线平分一组对角，即可得∠ABD=45°，再利用等腰三角形的底角相等结合三角形内角和定理可得∠E=67.5°，利用直角三角形两锐角互余即可．
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：根据尺规作图可得，，
∴，
∴，
∴依据是，
故答案为：D ．
【分析】
根据尺规作角平分线可得，即可由SSS证明，解答即可．
8．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：把物体送到离地面5米高的地方，传送带与水平面所成角度是，
∴物体所经过的路程，即直角三角形斜边的长为米，
故选：D ．
【分析】
直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意可得因为算术平方根、绝对值、平方的运算结果都非负，且三个非负数的和为0，因此每一项都等于0，
可得方程组
解得：.
验证三边关系可得：，
即满足，符合勾股定理逆定理，
因此是直角三角形.
故选：C.
【分析】本题主要考查非负数的性质以及勾股定理逆定理的应用.可以利用算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即这几个式子的结果都大于等于0，先求出三角形三边长 a、b、c 的值，再根据勾股定理逆定理判断三角形的形状即可.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，连接，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，且平分，
∴点关于的对称点为点，
∴，
∴当点三点共线时，，
∴的最小值是的值，
∵菱形中，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
【分析】
由于菱形是轴对称图形，任一条对角线所在的直线都是对称轴，则连接PB可得PB＝PD，即PD+PE可转化为PB+PE，再由垂线段最短可得当BE垂直CD时PB+PE最小，再由已知结合菱形的性质可得是等边三角形，则由等腰三角形三线合一知BE垂直DC，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理求出BE的长即可．
11．【答案】排号
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：∵排号可以用表示，
∴表示淇淇的座位为排号，
故答案为：排号．
【分析】
用有序实数对表示方位，由题意知第二个数表示第几排，第一个数表示在该排的第几号．
12．【答案】12
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设该正多边形的边数为n，
根据题意可得方程：
解方程可得，
因此这个正多边形的边数为12，
故填：12.
【分析】本题考查的核心知识点是正多边形的内角计算，可以通过设未知边数，结合正多边形内角和公式列方程来求出结果.
13．【答案】-1
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵x2=4，|y|=3，
∴x=±2，y=±3，
∵点P（x，y）在第四象限，
∴x＞0，y＜0，
∴x=2，y=-3，
∴x+y=2-3=-1．
故答案为：-1．
【分析】先求出x，y的值，再由点P（x，y）在第四象限确定出x，y的符号，进而可得出结论.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】如图，作，垂足为点H．
∵与是菱形的对角线，
∴与互相垂直平分，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
∵，
∴，
即菱形的高为，
故答案为：．
【分析】
如图，先由菱形的对角线互相垂直平分结合勾股定理可得菱形的边长，再利用等面积法求出高即可．
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接：
由题意可知是的垂直平分线
∴
在直角三角形中，由勾股定理可得：
故填：.
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，同时结合勾股定理进行计算求解.先根据垂直平分线的性质得到相等线段，再利用勾股定理计算目标边长即可.
16．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由题意，得：平分，
∴，
∴，
在中，，
∴.
故答案为：．
【分析】
由基本尺规作图可得平分，再由直角三角形两锐角互余结合角平分线的概念可得，再利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边得到即可．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
，
由折叠得：，
在中，，
，在中，
，
，
故答案为：．
【分析】
先由矩形的性质和折叠的性质可得 ，再由勾股定理可求，则再在直角三角形AEF中应用勾股定理可求的长，即可得的值.
18．【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；探索规律-函数上点的规律；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，是等边三角形，
∴，
∴点的横坐标为，
∵，
∴点的横坐标为，
∵过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，
∴，
∴点的横坐标为，
，
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
【分析】
由于是等边三角形，则由等腰三角形三线合一可得点A1在OB1的垂直平分线上，即A1的横坐标为；由于也是等边三角形，且A2B1垂直OB2，则OB2＝2OB1＝2，即A2的横坐标为1；依次类推可得A3的横坐标为2，则的横坐标为．
19．【答案】（1）解：点在y轴上，
，
解得：
（2）解：点在一次函数的图象上，
，
解得：．
【知识点】点的坐标与象限的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）y轴上所有点的横坐标为0；
（2）由直线上点的坐标特征得关于m的方程并求解即可．
（1）解：点在y轴上，
，
解得：，
（2）解：点在一次函数的图象上，
，
解得：．
20．【答案】证明：如图所示，连接交于O，
由题意可知四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题的核心考点是平行四边形的判定定理与性质定理，熟练掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定，是解答本题的关键.
连接交于点，根据平行四边形的性质，得到；结合题目给出的已知条件，可以推导得出；最后依据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，即可完成结论的证明.
21．【答案】（1）150
（2）答：补全频数分布直方图如下：
（3）解：扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为：；
（4）解：该校学生一周在家运动时长不少于3小时的人数的频率为．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】
（1）
解：∵B组30人，占比，
∴在这次抽样调查中，共调查了（名），
故答案为：150；
（2）
解：C组频数为：，
补全频数分布直方图如下：
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可将B组人数除以所占百分比即可求出共调查了多少名学生；
（2）先利用调查的总人数减去A组，B组，D组频数即可求出C组人数，再补全频数分布直方图；
（3）将C组频数除以调查人数乘以即可求出扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数；
（4）将该校学生一周在家运动时长不少于3小时的人数除以调查人数即可．
（1）解：∵B组30人，占比，
∴在这次抽样调查中，共调查了（名），
故答案为：150；
（2）解：C组频数为：，
补全频数分布直方图如下：
（3）解：扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为：；
（4）解：该校学生一周在家运动时长不少于3小时的人数的频率为．
22．【答案】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，
∴四边形DBEC为平行四边形．
又∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴CD=BD=AC，
∴平行四边形DBEC是菱形；
（2）∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD=5，DF=2，
∴DF是△ABC的中位线，AC=2AD=10，S△BCD=S△ABC
∴BC=2DF=4．
又∵∠ABC=90°，
∴AB=，
∵平行四边形DBEC是菱形，
∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB BC=．
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；直角三角形斜边上的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的概念可得四边形DBEC是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质可得平行四边形DBEC是菱形；
（2）由中线等分三角形面积和对角线等分菱形面积可得S四边形DBEC=S△ABC，再利用中位线定理和勾股定理依次求出BC、AB的长即可．
23．【答案】（1）解：如图所示，则即为所作．
（2）解：的面积为：；
（3）解：设，∵，，
∴点到y轴的距离为2，
∴，
∴，
∴，
解得：或9，
∴点P的坐标为或．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
（1）先根据平移的性质分别画出A、B、C三点经过两次平移后的对应点A1、B1、C1，再顺次A1、B1、C1连接即可；
（2）利用割补法直接计算即可 ；
（3）由于点P在y轴上，可设，再利用三角形的面积公式可得关于y的绝对值方程并求解即可．
（1）解：如图所示，则即为所作．
（2）的面积为：；
（3）设，
∵，，
∴点到y轴的距离为2，
∴，
∴，
∴，
解得：或9，
∴点P的坐标为或．
24．【答案】（1）解：如图所示，过点作轴于点，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点和点坐标分别为和，
∴，
∴
∴
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为

（2）解：如图2，过点作轴于，
设点的坐标为，
当时，，
，
∴
，
，
∴
解得：，
．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；同侧一线三垂直全等模型；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】
（1）由于BA垂直CA且BA＝CA，则可过点作轴于点，再利用一线三垂直全等模型证明，再由全等的性质结合坐标与图形性质可得 ，再根据待定系数法求解即可；
（2）先由直线上点的坐标特征可设点的坐标为，同理可得点D的坐标，由于点A坐标已知，可过点P作x轴的垂线段PQ，再利用割补法，即可得关于m的方程并求解即可．
（1）解：如图所示，过点作轴于点，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点和点坐标分别为和，
∴，
∴
∴
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为
（2）如图2，过点作轴于，
设点的坐标为，
当时，，
，
∴
，
，
∴
解得：，
．
25．【答案】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：当或时，四边形是正方形，理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
或：当时，∵，
∴，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行可证得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得出CE=AD；
（2）首先根据一组对边平行且线等可证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直即可得出四边形是菱形；
（3） 满足 的条件应该能使四边形的一个角是直角，或者能使四边形的对角线相等。当时，∠ABC=45°，进而得出∠DBE=2∠ABC=90°；当时，AC=ED，故而BC=DE，由（2）知四边形是菱形，即可得出当或时，四边形是正方形。
（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）解：当或时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
或：当时，∵，
∴，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
26．【答案】（1）解：设直线的解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：．
（2）解：令时，，∴，
∴，
∴的面积．
（3）解：存在点，使的面积与的面积相等，理由如下：如图：
设的解析式是，
根据题意，得：，
解得：；
则直线的解析式是：；
当点M在直线OA上时，可设
∵点，
∴，
∵，
∴，
∴，即
当点M在射线AC上时，可设
∵，
∴或，
或
即或
综上所述：点的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法即可；
（2）先由直线上点的坐标特征可得点B的坐标，即OB可得，再由点A的坐标可得OB上的高，再利用三角形的面积公式即可求解；
（3）先利用待定系数法求直线的解析式，再由直线上点的坐标特征可分别设出M的坐标，再由点到y轴的距离等于横坐标的绝对值结合面积公式求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标即可．
（1）解：设直线的解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：．
（2）解：令时，，
∴，
∴，
∴的面积．
（3）解：存在点，使的面积与的面积相等，理由如下：
如图：
设的解析式是，
根据题意，得：，
解得：；
则直线的解析式是：；
∵点，
∴，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴到轴的距离点的纵坐标，
∴点的横坐标为或；
当的横坐标为时，
在中，当时，，即的坐标是，
在中，当时，，则的坐标是，
则的坐标为或．
当的横坐标为时，
在中，当时，，则的坐标是，
综上所述：点的坐标为或或．
1 / 1湖南省邵阳市邵阳县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分．每小题只有一项符合题目要求）
1．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项的图形，仅满足轴对称图形的定义，不属于中心对称图形，因此该选项不符合要求；
B选项的图形，也仅满足轴对称图形的定义，不属于中心对称图形，因此该选项不符合要求；
C选项的图形，既不满足轴对称图形的定义，也不满足中心对称图形的定义，因此该选项不符合要求；
D选项的图形，既符合轴对称图形的定义，又符合中心对称图形的定义，因此该选项符合要求。
故选：D．
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念：轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形是绕对称中心旋转后能与原图重合的图形，结合概念逐一判断各选项即可.
2．在平面直角坐标系内有一点到轴的距离是4，到轴距离是2，且点在第四象限内，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负，
∵到x轴的距离为4，即纵坐标的绝对值为4，
∴故纵坐标，
∵到y轴的距离为2，即横坐标的绝对值为2，
∴横坐标（因第四象限横坐标为正），
∴点A的坐标为，
故选：C．
【分析】
第四象限内点的坐标的符号特征是（+，-），平面直角坐标系内任一点的到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值．
3．如图，在Rt中，是斜边上的中线，若，则（　　）
A．10 B．6 C．8 D．5
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵中，，是斜边上的中线，
∴，
故选：A ．
【分析】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4．如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：平分，，，
，
在和中，
，
，
，
的周长=6cm，
的周长为．
故答案为：B
【分析】本题首先根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后利用“”证明和全等，进而可得，最后将的周长列出，结合图形进行合并计算即可求出答案。
5．矩形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直
C．是轴对称图形 D．对角线相等
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：结合矩形的性质可知，对角线互相垂直并不是矩形一定具有的性质.
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的相关性质是解题的关键.可以先梳理矩形的所有性质：矩形的对边平行且相等，四个内角都为直角，对角线互相平分且长度相等；同时矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，再据此对选项进行判断.
6．如图，正方形中，在延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形（如下图所示），
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE=67.5°，
∴∠EDA=∠BDE -∠ADB =67.5°-45°=22.5°，
故答案为：D．
【分析】
由于正方形的一条对角线平分一组对角，即可得∠ABD=45°，再利用等腰三角形的底角相等结合三角形内角和定理可得∠E=67.5°，利用直角三角形两锐角互余即可．
7．如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：根据尺规作图可得，，
∴，
∴，
∴依据是，
故答案为：D ．
【分析】
根据尺规作角平分线可得，即可由SSS证明，解答即可．
8．如图，已知传送带与水平面所成角度是，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为（　　）米
A．5 B． C． D．10
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：把物体送到离地面5米高的地方，传送带与水平面所成角度是，
∴物体所经过的路程，即直角三角形斜边的长为米，
故选：D ．
【分析】
直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半．
9．若三边长，，，满足，则是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意可得因为算术平方根、绝对值、平方的运算结果都非负，且三个非负数的和为0，因此每一项都等于0，
可得方程组
解得：.
验证三边关系可得：，
即满足，符合勾股定理逆定理，
因此是直角三角形.
故选：C.
【分析】本题主要考查非负数的性质以及勾股定理逆定理的应用.可以利用算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即这几个式子的结果都大于等于0，先求出三角形三边长 a、b、c 的值，再根据勾股定理逆定理判断三角形的形状即可.
10．如图，菱形，点均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（　　）
A．3 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，连接，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，且平分，
∴点关于的对称点为点，
∴，
∴当点三点共线时，，
∴的最小值是的值，
∵菱形中，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
【分析】
由于菱形是轴对称图形，任一条对角线所在的直线都是对称轴，则连接PB可得PB＝PD，即PD+PE可转化为PB+PE，再由垂线段最短可得当BE垂直CD时PB+PE最小，再由已知结合菱形的性质可得是等边三角形，则由等腰三角形三线合一知BE垂直DC，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理求出BE的长即可．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．春节期间，嘉嘉和淇淇去电影院观看电影《哪吒之魔童闹海》，如果嘉嘉的座位10排7号可以用表示，则表示淇淇的座位为　 　．
【答案】排号
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：∵排号可以用表示，
∴表示淇淇的座位为排号，
故答案为：排号．
【分析】
用有序实数对表示方位，由题意知第二个数表示第几排，第一个数表示在该排的第几号．
12．如果一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是　 　．
【答案】12
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设该正多边形的边数为n，
根据题意可得方程：
解方程可得，
因此这个正多边形的边数为12，
故填：12.
【分析】本题考查的核心知识点是正多边形的内角计算，可以通过设未知边数，结合正多边形内角和公式列方程来求出结果.
13．若点在第四象限，且，，则　 　.
【答案】-1
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵x2=4，|y|=3，
∴x=±2，y=±3，
∵点P（x，y）在第四象限，
∴x＞0，y＜0，
∴x=2，y=-3，
∴x+y=2-3=-1．
故答案为：-1．
【分析】先求出x，y的值，再由点P（x，y）在第四象限确定出x，y的符号，进而可得出结论.
14．菱形ABCD的对角线，则菱形的高为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】如图，作，垂足为点H．
∵与是菱形的对角线，
∴与互相垂直平分，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
∵，
∴，
即菱形的高为，
故答案为：．
【分析】
如图，先由菱形的对角线互相垂直平分结合勾股定理可得菱形的边长，再利用等面积法求出高即可．
15．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，E，，，则线段的长为　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接：
由题意可知是的垂直平分线
∴
在直角三角形中，由勾股定理可得：
故填：.
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，同时结合勾股定理进行计算求解.先根据垂直平分线的性质得到相等线段，再利用勾股定理计算目标边长即可.
16．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由题意，得：平分，
∴，
∴，
在中，，
∴.
故答案为：．
【分析】
由基本尺规作图可得平分，再由直角三角形两锐角互余结合角平分线的概念可得，再利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边得到即可．
17．如图，矩形中，为边上一点，沿将折叠，点正好落在边上的点．则折痕的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
，
由折叠得：，
在中，，
，在中，
，
，
故答案为：．
【分析】
先由矩形的性质和折叠的性质可得 ，再由勾股定理可求，则再在直角三角形AEF中应用勾股定理可求的长，即可得的值.
18．如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；，依次类推，则点的横坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；探索规律-函数上点的规律；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，是等边三角形，
∴，
∴点的横坐标为，
∵，
∴点的横坐标为，
∵过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，
∴，
∴点的横坐标为，
，
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
【分析】
由于是等边三角形，则由等腰三角形三线合一可得点A1在OB1的垂直平分线上，即A1的横坐标为；由于也是等边三角形，且A2B1垂直OB2，则OB2＝2OB1＝2，即A2的横坐标为1；依次类推可得A3的横坐标为2，则的横坐标为．
三、解答题：（本题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知点．
（1）若点在轴上，求的值；
（2）若点在一次函数的图象上，求的值．
【答案】（1）解：点在y轴上，
，
解得：
（2）解：点在一次函数的图象上，
，
解得：．
【知识点】点的坐标与象限的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）y轴上所有点的横坐标为0；
（2）由直线上点的坐标特征得关于m的方程并求解即可．
（1）解：点在y轴上，
，
解得：，
（2）解：点在一次函数的图象上，
，
解得：．
20．如图，平行四边形，、分别为、延长线上的点，连接，，当时，证明：四边形是平行四边形．
【答案】证明：如图所示，连接交于O，
由题意可知四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题的核心考点是平行四边形的判定定理与性质定理，熟练掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定，是解答本题的关键.
连接交于点，根据平行四边形的性质，得到；结合题目给出的已知条件，可以推导得出；最后依据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，即可完成结论的证明.
21．体育运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某学校开展体育训练，倡导学生开展体育锻炼，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每周开展体育锻炼所用时长t（单位：小时）”进行了调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（A．，B．，C．，D．，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数；
（4）计算该学校这次调查中达标人数的频率．
【答案】（1）150
（2）答：补全频数分布直方图如下：
（3）解：扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为：；
（4）解：该校学生一周在家运动时长不少于3小时的人数的频率为．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】
（1）
解：∵B组30人，占比，
∴在这次抽样调查中，共调查了（名），
故答案为：150；
（2）
解：C组频数为：，
补全频数分布直方图如下：
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可将B组人数除以所占百分比即可求出共调查了多少名学生；
（2）先利用调查的总人数减去A组，B组，D组频数即可求出C组人数，再补全频数分布直方图；
（3）将C组频数除以调查人数乘以即可求出扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数；
（4）将该校学生一周在家运动时长不少于3小时的人数除以调查人数即可．
（1）解：∵B组30人，占比，
∴在这次抽样调查中，共调查了（名），
故答案为：150；
（2）解：C组频数为：，
补全频数分布直方图如下：
（3）解：扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为：；
（4）解：该校学生一周在家运动时长不少于3小时的人数的频率为．
22．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD＝5，DF＝2，求四边形DBEC面积．
【答案】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，
∴四边形DBEC为平行四边形．
又∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴CD=BD=AC，
∴平行四边形DBEC是菱形；
（2）∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD=5，DF=2，
∴DF是△ABC的中位线，AC=2AD=10，S△BCD=S△ABC
∴BC=2DF=4．
又∵∠ABC=90°，
∴AB=，
∵平行四边形DBEC是菱形，
∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB BC=．
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；直角三角形斜边上的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的概念可得四边形DBEC是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质可得平行四边形DBEC是菱形；
（2）由中线等分三角形面积和对角线等分菱形面积可得S四边形DBEC=S△ABC，再利用中位线定理和勾股定理依次求出BC、AB的长即可．
23．如图，在平面直角坐标系中，，，．将三角形向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形，其中点，，，分别与点A，B，C对应．
（1）画出平移后的三角形；
（2）求三角形的面积；
（3）若点P在y轴上，以，，P为顶点的三角形面积为3，求点P的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，则即为所作．
（2）解：的面积为：；
（3）解：设，∵，，
∴点到y轴的距离为2，
∴，
∴，
∴，
解得：或9，
∴点P的坐标为或．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
（1）先根据平移的性质分别画出A、B、C三点经过两次平移后的对应点A1、B1、C1，再顺次A1、B1、C1连接即可；
（2）利用割补法直接计算即可 ；
（3）由于点P在y轴上，可设，再利用三角形的面积公式可得关于y的绝对值方程并求解即可．
（1）解：如图所示，则即为所作．
（2）的面积为：；
（3）设，
∵，，
∴点到y轴的距离为2，
∴，
∴，
∴，
解得：或9，
∴点P的坐标为或．
24．如图1，已知点和点坐标分别为和，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交轴于点．
（1）求直线的函数关系式；
（2）如图2，若点为线段上一点，且的面积为5，求点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，过点作轴于点，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点和点坐标分别为和，
∴，
∴
∴
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为

（2）解：如图2，过点作轴于，
设点的坐标为，
当时，，
，
∴
，
，
∴
解得：，
．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；同侧一线三垂直全等模型；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】
（1）由于BA垂直CA且BA＝CA，则可过点作轴于点，再利用一线三垂直全等模型证明，再由全等的性质结合坐标与图形性质可得 ，再根据待定系数法求解即可；
（2）先由直线上点的坐标特征可设点的坐标为，同理可得点D的坐标，由于点A坐标已知，可过点P作x轴的垂线段PQ，再利用割补法，即可得关于m的方程并求解即可．
（1）解：如图所示，过点作轴于点，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点和点坐标分别为和，
∴，
∴
∴
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为
（2）如图2，过点作轴于，
设点的坐标为，
当时，，
，
∴
，
，
∴
解得：，
．
25．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，．
（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由．
【答案】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：当或时，四边形是正方形，理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
或：当时，∵，
∴，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行可证得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得出CE=AD；
（2）首先根据一组对边平行且线等可证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直即可得出四边形是菱形；
（3） 满足 的条件应该能使四边形的一个角是直角，或者能使四边形的对角线相等。当时，∠ABC=45°，进而得出∠DBE=2∠ABC=90°；当时，AC=ED，故而BC=DE，由（2）知四边形是菱形，即可得出当或时，四边形是正方形。
（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）解：当或时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
或：当时，∵，
∴，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
26．如图在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动．
（1）求直线的函数关系式；
（2）求的面积；
（3）是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：设直线的解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：．
（2）解：令时，，∴，
∴，
∴的面积．
（3）解：存在点，使的面积与的面积相等，理由如下：如图：
设的解析式是，
根据题意，得：，
解得：；
则直线的解析式是：；
当点M在直线OA上时，可设
∵点，
∴，
∵，
∴，
∴，即
当点M在射线AC上时，可设
∵，
∴或，
或
即或
综上所述：点的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法即可；
（2）先由直线上点的坐标特征可得点B的坐标，即OB可得，再由点A的坐标可得OB上的高，再利用三角形的面积公式即可求解；
（3）先利用待定系数法求直线的解析式，再由直线上点的坐标特征可分别设出M的坐标，再由点到y轴的距离等于横坐标的绝对值结合面积公式求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标即可．
（1）解：设直线的解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：．
（2）解：令时，，
∴，
∴，
∴的面积．
（3）解：存在点，使的面积与的面积相等，理由如下：
如图：
设的解析式是，
根据题意，得：，
解得：；
则直线的解析式是：；
∵点，
∴，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴到轴的距离点的纵坐标，
∴点的横坐标为或；
当的横坐标为时，
在中，当时，，即的坐标是，
在中，当时，，则的坐标是，
则的坐标为或．
当的横坐标为时，
在中，当时，，则的坐标是，
综上所述：点的坐标为或或．
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