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吉林省长春市榆树市2024-2025学年下学期期末质量监测七年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知 ，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得PA=18m，PB=16m，那么A、B之间的距离不可能是（　　）
A．18m B．26m C．30m D．34m
4．如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（　　）
A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性
5．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度．
A．60 B．120 C．180 D．270
6．下列各图中，作边上的高，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，将四边形沿折叠一下，如果，，那么是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．“x减去5是负数”用不等式表示为　 　．
10．写出二元一次方程的一组整数解　 　 ．
11．如图，四边形四边形，若，，，则　 　．
12．如图，五边形中，，则的度数是　 　．
13．如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为 　 　．
14．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有　 　．（只填序号）
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．解方程：．
16．解方程组
17．一个多边形的内角和是外角和的 5 倍，求这个多边形的边数．
18．解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
19．如图，在中，是角平分线，是高，与相交于点，过点作，当时，求的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：是高（已知），
______（三角形高的定义）．
______（直角三角形的两个锐角互余）．
______°．
是角平分线，
______°（角平分线定义）．
______°（______）．
（已知），
______（两直线平行，同位角相等）．
20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．
（1）将向右平移3个单位长度，得到；
（2）将绕点逆时针旋转，得到；
（3）图中与的位置关系为______．
21．已知在中
（1），求的度数；
（2）、、是的三条边长，其中、满足，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长．
22．如图，在中，D、E分别是上两点，与关于轴对称，交于点P，已知．
（1）求的度数．
（2）若，求的度数．
23．“粮食生产根本在耕地、出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元．
（1）求购进1台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备各需多少万元；
（2）若该合作社购进乙种农耕设备数比甲种农耕设备数的2倍少3台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台？
24．【概念认识】
如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，，，是的“三分线”，则___________；
（2）如图②，在中，，，若的“邻三分线”交于点，则___________；
（3）如图③，在中，、分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数．
【延伸推广】
在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点，其中是“邻三分线”．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误；
B．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误；
C．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误；
D．符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故正确；
故答案为：D
【分析】根据中心对称图形的定义∶把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵ ，∴ ，故本选项不符合题意；
B．∵ ，∴ ，故本选项不符合题意；
C．∵ ，∴ ，∴ ，故本选项符合题意；
D．∵ ，∴ ，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可。
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系可得：18-16＜AB＜16+18，
即2＜AB＜34，
∴A、B之间的距离不可能是34，
故答案为：D．
【分析】
根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得18-16＜AB＜16+18，再计算即可得AB的范围，逐一判断即可解答．
4．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：在墙上置物架的底侧各设计一根斜杆后，斜杆会和水平、竖直方向的支架共同围成三角形，该设计的原理就是利用三角形的稳定性来固定置物架.
故选：C．
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，解题的关键是牢记三角形具有稳定性这一基本性质，结合置物架斜杆的设计目的分析即可.
5．【答案】B
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，
故的最小值为120．
故答案为：B
【分析】
根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合，解答即可．
6．【答案】D
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【解答】解：A、是边上的高，不符合题意；
B、是边上的高，不符合题意；
C、是边上的高，不符合题意；
D、是边上的高，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据三角形高的定义及垂线的画法，过顶点向边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是高，由此即可解答．
7．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：根据图形特点可得：2个正的内角度数加1个正方形的内角度数，和为.
因此正边形单个内角的度数为，
因为内角与外角互为邻补角，所以正边形单个外角的度数为，
又因为任意多边形的外角和都为，因此边数；
故选：B．
【分析】观察图形可以发现，拼接点处，两个正n边形的内角与1个正方形的内角加起来恰好围成一个周角，也就是和为，可以根据这个关系计算求解.
8．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
由折叠得，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】由平两直线平行，内错角相等，得，等量代换得，由折叠即可得解．
9．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据负数小于零，结合题意，列出不等式，即可得出答案．
10．【答案】答案不唯一．
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：x=2时，y=5-x=3，所以
故答案为：.
【分析】满足方程的整数值即可，所以x任取一个整数值求y值即可，故答案不唯一。
11．【答案】105
【知识点】全等图形的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：因为四边形四边形，
可得，。
已知，
因此，
又因为，，
所以。
故填：105.
【分析】本题考查全等四边形的性质与四边形内角和定理的应用，利用全等图形对应角相等的性质，可得，，再结合四边形内角和为360°计算出的度数，即可得到的度数.
12．【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图所示，延长到点，得到五边形的外角∠5：
，
与∠BAE互为邻补角，因此，
根据多边形外角和定理，所有多边形的外角和都为，因此有，
，
故填：．
【分析】本题主要考查多边形外角和的相关知识，熟练掌握任意多边形的外角和都为是解决这道题的关键.按照如下思路求解：先按照题目图形延长边构造出外角，再结合邻补角的性质求出未知外角的度数，最后借助多边形外角和定理计算出结果.
13．【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长，宽，
阴影部分的面积，
故答案为．
【分析】根据图形移动可求出阴影部分的长和宽，根据几何图形面积的计算方法：矩形的面积=长×宽，即可求解
14．【答案】②③④
【知识点】角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：④、是的中线，
，
故④正确；
②、是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
故②正确；
③、，，
∴
，
故③正确；
①、过点F作于点P，
∵，是角平分线，
∴，
在中，，
∴，
故①错误；
故答案为：②③④.
【分析】
根据三角形的中线平分面积的性质可判断④；根据角平分线的定义得，根据等角得余角相等可得，再由对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意直角三角形中斜边为最长边，即可判断①；逐一判断即可解答．
15．【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题考查解一元一次方程，先去分母，去括号，移项，合并同类项，化x的系数为1，即可得到答案.
16．【答案】解：，
由①得：③，
把③代入②，得：
解得：，
把代入③，得：
，
所以这个方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由①得：，把③代入②，利用代入消元法求二元一次方程组求解即可．
17．【答案】解：设多边形的边数为n，
由题意得，，
解得．
答：这个多边形的边数是12．
【知识点】解一元一次方程；多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式，外角和为360列出方程，然后求解即可解答．
18．【答案】解： ，
由①得： ；
由②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
表示在数轴上，如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将解集在数轴上表示出来即可.
19．【答案】解：是高（已知），
（三角形高的定义）．
（直角三角形的两个锐角互余）．
．
是角平分线，
（角平分线定义）．
（三角形的外角性质）．
（已知），
（两直线平行，同位角相等）．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
根据直角三角形的两个锐角互余的性质求得，利用角平分线定义求得，再利用三角形的外角性质即可得，结合平行线的性质两直线平行，同位角相等，即可解答．
20．【答案】（1）解：如图所示；
；
（2）解：如图所示；
（3）垂直
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）由平移的性质得，
由旋转的性质得，
∴．
故答案为：垂直．
【分析】
（1）利用网格特点和平移的性质把A、B、C 分别向右平移3个单位长度，找到对应点连线画图即可解答；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点即可；
（3）根据平移的性质可得，再由旋转的性质可得，即可解答．
（1）解：如图所示；
；
（2）解：如图所示；
（3）解：由平移的性质得，
由旋转的性质得，
∴．
故答案为：垂直．
21．【答案】（1）解：∵、、是的三个内角∴
又∵
∴
∴．
（2）解：∵∴
∴
又∵
即，
∴
又∵三角形的周长为整数
∴三角形的周长为9．
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，再由题意代入求解即可；
（2）根据绝对值和平方的非负性得，解得，再由三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出，即可求解．
（1）解：∵、、是的三个内角
∴
又∵
∴
∴．
（2）∵
∴
∴
又∵
即，
∴
又∵三角形的周长为整数
∴三角形的周长为9．
22．【答案】（1）解：∵与轴对称，∴，
又∵，
∴；
（2）解：由（1）得，，又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；轴对称的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由轴对称的对应角相等得，进而根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求解；
（2）由（1）得，，再根据两直线平行，内错角相等，得，从而根据三角形的内角和定理即可得解．
（1）解：∵与轴对称，
∴，
又∵，
∴；
（2）由（1）得，，
又∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：设购进1台甲种农耕设备需要x万元，购进1台乙种农耕设备需要y万元，
根据题意，得，
解得：，
答：购进1台甲种农耕设备需要1.5万元，购进1台乙种农耕设备需要1.2万元．
（2）解：设购进甲种农耕设备m台，则购进乙种农耕设备台，根据题意得：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大值，
答：该合作社最多可以购进甲种农耕设备3台．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购进1台甲种农耕设备需要x万元，购进1台乙种农耕设备需要y万元，根据 购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元 ，列出二元一次方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）设购进甲种农耕设备m台，则购进乙种农耕设备台，根据 购进乙种农耕设备数比甲种农耕设备数的2倍少3台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元， 列出一元一不等式，即可求解．
24．【答案】（1）；（2）；
解：（3）、分别是邻“三分线”和邻“三分线”，
，
，
，
，，
；
【延伸推广】
，，
是“邻三分线”，
，
若是“邻三分线”，如图，则，
，
若是“邻三分线”，如图，则，
．
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：（1），，是的“三分线”，
，
；
故答案为：；
（2）解：如图，的“邻三分线”交于点，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）根据“三分线”定义，得，即被、分成三个相等的角，将， 代入求解；
（2）根据“三分线”定义求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出即可；
（3）根据“三分线”定义求得，得出，根据三角形的内角和得出，从而求得的度数；
（4）分两种情况：是“邻三分线”和是“邻三分线”．先求出，根据“三分线”定义求得和，则即可求得．
1 / 1吉林省长春市榆树市2024-2025学年下学期期末质量监测七年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误；
B．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误；
C．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误；
D．符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故正确；
故答案为：D
【分析】根据中心对称图形的定义∶把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．已知 ，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵ ，∴ ，故本选项不符合题意；
B．∵ ，∴ ，故本选项不符合题意；
C．∵ ，∴ ，∴ ，故本选项符合题意；
D．∵ ，∴ ，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可。
3．如图，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得PA=18m，PB=16m，那么A、B之间的距离不可能是（　　）
A．18m B．26m C．30m D．34m
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系可得：18-16＜AB＜16+18，
即2＜AB＜34，
∴A、B之间的距离不可能是34，
故答案为：D．
【分析】
根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得18-16＜AB＜16+18，再计算即可得AB的范围，逐一判断即可解答．
4．如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（　　）
A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：在墙上置物架的底侧各设计一根斜杆后，斜杆会和水平、竖直方向的支架共同围成三角形，该设计的原理就是利用三角形的稳定性来固定置物架.
故选：C．
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，解题的关键是牢记三角形具有稳定性这一基本性质，结合置物架斜杆的设计目的分析即可.
5．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度．
A．60 B．120 C．180 D．270
【答案】B
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，
故的最小值为120．
故答案为：B
【分析】
根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合，解答即可．
6．下列各图中，作边上的高，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【解答】解：A、是边上的高，不符合题意；
B、是边上的高，不符合题意；
C、是边上的高，不符合题意；
D、是边上的高，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据三角形高的定义及垂线的画法，过顶点向边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是高，由此即可解答．
7．“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：根据图形特点可得：2个正的内角度数加1个正方形的内角度数，和为.
因此正边形单个内角的度数为，
因为内角与外角互为邻补角，所以正边形单个外角的度数为，
又因为任意多边形的外角和都为，因此边数；
故选：B．
【分析】观察图形可以发现，拼接点处，两个正n边形的内角与1个正方形的内角加起来恰好围成一个周角，也就是和为，可以根据这个关系计算求解.
8．如图，将四边形沿折叠一下，如果，，那么是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
由折叠得，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】由平两直线平行，内错角相等，得，等量代换得，由折叠即可得解．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．“x减去5是负数”用不等式表示为　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据负数小于零，结合题意，列出不等式，即可得出答案．
10．写出二元一次方程的一组整数解　 　 ．
【答案】答案不唯一．
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：x=2时，y=5-x=3，所以
故答案为：.
【分析】满足方程的整数值即可，所以x任取一个整数值求y值即可，故答案不唯一。
11．如图，四边形四边形，若，，，则　 　．
【答案】105
【知识点】全等图形的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：因为四边形四边形，
可得，。
已知，
因此，
又因为，，
所以。
故填：105.
【分析】本题考查全等四边形的性质与四边形内角和定理的应用，利用全等图形对应角相等的性质，可得，，再结合四边形内角和为360°计算出的度数，即可得到的度数.
12．如图，五边形中，，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图所示，延长到点，得到五边形的外角∠5：
，
与∠BAE互为邻补角，因此，
根据多边形外角和定理，所有多边形的外角和都为，因此有，
，
故填：．
【分析】本题主要考查多边形外角和的相关知识，熟练掌握任意多边形的外角和都为是解决这道题的关键.按照如下思路求解：先按照题目图形延长边构造出外角，再结合邻补角的性质求出未知外角的度数，最后借助多边形外角和定理计算出结果.
13．如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为 　 　．
【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长，宽，
阴影部分的面积，
故答案为．
【分析】根据图形移动可求出阴影部分的长和宽，根据几何图形面积的计算方法：矩形的面积=长×宽，即可求解
14．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有　 　．（只填序号）
【答案】②③④
【知识点】角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：④、是的中线，
，
故④正确；
②、是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
故②正确；
③、，，
∴
，
故③正确；
①、过点F作于点P，
∵，是角平分线，
∴，
在中，，
∴，
故①错误；
故答案为：②③④.
【分析】
根据三角形的中线平分面积的性质可判断④；根据角平分线的定义得，根据等角得余角相等可得，再由对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意直角三角形中斜边为最长边，即可判断①；逐一判断即可解答．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．解方程：．
【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题考查解一元一次方程，先去分母，去括号，移项，合并同类项，化x的系数为1，即可得到答案.
16．解方程组
【答案】解：，
由①得：③，
把③代入②，得：
解得：，
把代入③，得：
，
所以这个方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由①得：，把③代入②，利用代入消元法求二元一次方程组求解即可．
17．一个多边形的内角和是外角和的 5 倍，求这个多边形的边数．
【答案】解：设多边形的边数为n，
由题意得，，
解得．
答：这个多边形的边数是12．
【知识点】解一元一次方程；多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式，外角和为360列出方程，然后求解即可解答．
18．解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解： ，
由①得： ；
由②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
表示在数轴上，如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将解集在数轴上表示出来即可.
19．如图，在中，是角平分线，是高，与相交于点，过点作，当时，求的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：是高（已知），
______（三角形高的定义）．
______（直角三角形的两个锐角互余）．
______°．
是角平分线，
______°（角平分线定义）．
______°（______）．
（已知），
______（两直线平行，同位角相等）．
【答案】解：是高（已知），
（三角形高的定义）．
（直角三角形的两个锐角互余）．
．
是角平分线，
（角平分线定义）．
（三角形的外角性质）．
（已知），
（两直线平行，同位角相等）．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
根据直角三角形的两个锐角互余的性质求得，利用角平分线定义求得，再利用三角形的外角性质即可得，结合平行线的性质两直线平行，同位角相等，即可解答．
20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．
（1）将向右平移3个单位长度，得到；
（2）将绕点逆时针旋转，得到；
（3）图中与的位置关系为______．
【答案】（1）解：如图所示；
；
（2）解：如图所示；
（3）垂直
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）由平移的性质得，
由旋转的性质得，
∴．
故答案为：垂直．
【分析】
（1）利用网格特点和平移的性质把A、B、C 分别向右平移3个单位长度，找到对应点连线画图即可解答；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点即可；
（3）根据平移的性质可得，再由旋转的性质可得，即可解答．
（1）解：如图所示；
；
（2）解：如图所示；
（3）解：由平移的性质得，
由旋转的性质得，
∴．
故答案为：垂直．
21．已知在中
（1），求的度数；
（2）、、是的三条边长，其中、满足，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长．
【答案】（1）解：∵、、是的三个内角∴
又∵
∴
∴．
（2）解：∵∴
∴
又∵
即，
∴
又∵三角形的周长为整数
∴三角形的周长为9．
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，再由题意代入求解即可；
（2）根据绝对值和平方的非负性得，解得，再由三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出，即可求解．
（1）解：∵、、是的三个内角
∴
又∵
∴
∴．
（2）∵
∴
∴
又∵
即，
∴
又∵三角形的周长为整数
∴三角形的周长为9．
22．如图，在中，D、E分别是上两点，与关于轴对称，交于点P，已知．
（1）求的度数．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵与轴对称，∴，
又∵，
∴；
（2）解：由（1）得，，又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；轴对称的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由轴对称的对应角相等得，进而根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求解；
（2）由（1）得，，再根据两直线平行，内错角相等，得，从而根据三角形的内角和定理即可得解．
（1）解：∵与轴对称，
∴，
又∵，
∴；
（2）由（1）得，，
又∵，
∴，
∴．
23．“粮食生产根本在耕地、出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元．
（1）求购进1台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备各需多少万元；
（2）若该合作社购进乙种农耕设备数比甲种农耕设备数的2倍少3台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台？
【答案】（1）解：设购进1台甲种农耕设备需要x万元，购进1台乙种农耕设备需要y万元，
根据题意，得，
解得：，
答：购进1台甲种农耕设备需要1.5万元，购进1台乙种农耕设备需要1.2万元．
（2）解：设购进甲种农耕设备m台，则购进乙种农耕设备台，根据题意得：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大值，
答：该合作社最多可以购进甲种农耕设备3台．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购进1台甲种农耕设备需要x万元，购进1台乙种农耕设备需要y万元，根据 购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元 ，列出二元一次方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）设购进甲种农耕设备m台，则购进乙种农耕设备台，根据 购进乙种农耕设备数比甲种农耕设备数的2倍少3台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元， 列出一元一不等式，即可求解．
24．【概念认识】
如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，，，是的“三分线”，则___________；
（2）如图②，在中，，，若的“邻三分线”交于点，则___________；
（3）如图③，在中，、分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数．
【延伸推广】
在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点，其中是“邻三分线”．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；
解：（3）、分别是邻“三分线”和邻“三分线”，
，
，
，
，，
；
【延伸推广】
，，
是“邻三分线”，
，
若是“邻三分线”，如图，则，
，
若是“邻三分线”，如图，则，
．
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：（1），，是的“三分线”，
，
；
故答案为：；
（2）解：如图，的“邻三分线”交于点，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）根据“三分线”定义，得，即被、分成三个相等的角，将， 代入求解；
（2）根据“三分线”定义求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出即可；
（3）根据“三分线”定义求得，得出，根据三角形的内角和得出，从而求得的度数；
（4）分两种情况：是“邻三分线”和是“邻三分线”．先求出，根据“三分线”定义求得和，则即可求得．
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