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湖南省邵阳市邵东市2026年数学初中学业水平考试模拟卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列各数中，是无理数的是
A．0 B． C．3.14 D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：0是整数，3.14是有限小数， 是分数，它们不是无理数，
是无限不循环小数，它是无理数，
故答案为：B.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可.
2．如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】从正面看可以看到有3列小正方形，从左至右小正方体的数目分别为1、2、1，
所以主视图为：
，
故答案为：B．
【分析】观察几何体，从正面看可以看到有3列小正方形，从左至右小正方体的数目分别为1、2、1，即可得出答案。
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：Δ=(k+3)2-4×k=k2+2k+9=(k+1)2+8，
∵(k+1)2≥0.
∴(k+1)2+8>0，即Δ>0.
所以方程有两个不相等的实数根
故答案为：A.
【分析】先计算判别式得到Δ=(k+1)2+8，再利用非负数的性质得到Δ>0，然后可判断方程根的情况.
4．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x>2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
解得：x≥2且x≠3，
故答案为：C.
【分析】根据二次恨式有意义的条件、分式有意义的条件进行求解即可得.
5．将多项式因式分解正确的是（　　）
A． B．
C．x（x+1）（x-1） D．x（1+x）（1-x）
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x-x3=x(1-x2)=x(1-x)(1+x)
故答案为：D.
【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案.
6．已知二次函数的图象如图，则下列哪个选项表示的点有可能在反比例函数的图象上（　　）
A．（-1，2） B．（1，-2） C．（2，3） D．（2，-3）
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2开口向上
∴a>0.
∴点(2，3)可能在反比例函数的图象上
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的开口方向可得出a>0，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可找出点(2，3)可能在反比例函数的图象上，此题得解.
7．已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（　　）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】由平均数的公式得平均数＝(5+8+8+9+10)÷5＝8，
方差＝ [(5﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]＝2.8，
将5个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第3个数为8，即中位数为8，
5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8，
故答案为：D．
【分析】A、利用5个数据的和除以5即可求出平均数，然后判断即可.
B、众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判即可.
C、将这5个数据从小到大排列，处于中间的数据为中位数，然后判断即可.
D、利用方差公式计算即得，然后判断.
8．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣 个物件，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：B．
【分析】分别根据两个人的分拣物品所用的时间相同，得到关于x的分式方程即可。
9．如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点D作交AC于点F.
B
设9.
∵沿DE将剪成面积相等的两部分，
故选C.
【分析】过点D作交AC于点F，即可得到△AFD∽△ACB，根据面积比得到相似比为2：3，然后根据面积关系求出AE：EC的值即可.
10．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上.若则点G坐标为（　　）
A．（11，-4） B．（10，-3） C．（12，-3） D．（9，-4）
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则∠AHO=∠BKA=90°=∠BAO，
∴∠BAK=∠AOH=90°-∠HAO
∴△AHO∽△BKA，
∴
∴∠A=90°，，A(-4，3)
∴OH=3，AH=4，
∴
∴BK=8，AK=6，
∵将△ABO平移，
∴OF=BK=8，OE=AK=6
∴E(6，0)
∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移了个单位得到点E.
∴将点O(0，0)先向右平移10个单位，再向下平移了个单位得到点G，
∴G(10，-3)；
故答案为：B.
【分析】过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到，根据点A的坐标，结合tan∠ABO的值，求出BK=8，AK=6，平移求出E点坐标，进而得到平移规则，再求出G点坐标即可.
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝　 　度．
【答案】52
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】∵AB∥CD，
∴∠OED＝∠2，
∵OA⊥OB，
∴∠O＝90°，
∵∠1＝∠OED+∠O＝142°，
∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°，
故答案为：52．
【分析】根据两直线平行同位角相等，可得∠OED＝∠2，利用垂直定义可得∠O＝90°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求出∠OED的度数，即得∠2的度数，
12．计算：=　 　．
【答案】x﹣1
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：
=
=x﹣1．
故答案为：x﹣1．
【分析】根据同分母分式的加减，分母不变，只把分子相加减，计算求解即可．
13．如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是　 　．
【答案】x=2
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），
∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2，
故答案为：x=2．
【分析】关于x的方程ax+b=0的解是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标，观察图像，即可解答。
14．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何 ”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为　 　.
【答案】x2+32=(10-x)2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设AC=x，AB-10-x，则可列方程为：x2+32=(10-x)2，
故答案为：x2+32=(10-x)2.
【分析】设AC的长为x，则斜边AB的长可表示为10-x，再结合直角边BC=3，利用AC2+BC2=AB2列出方程即可.
15．如图，在四边形ABCD中，若AB=CD，则添加一个条件　 　，能得到平行四边形ABCD.（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）
【答案】AD=BC(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD=BC，
故答案为：AD=BC(答案不唯一).
【分析】可再添加一个条件AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形.
16．已知点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离可表示为例如：点（0，1）到直线y=2x+6的距离据此进一步可得两条平行线y=x和y=x-4之间的距离为　 　.
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；点到直线的距离
【解析】【解答】解：当x=0时，y=x=0，即点(0，0)在直线y=x上，
因为点(0，0)到直线y=x-4的距离为：
因为直线y=x和y=x-4平行，
所以这两条平行线之间的距离为
故答案为：.
【分析】利用两平行线间的距离定义，在直线y=x上任意取一点，然后计算这个点到直线y=x-4的距离即可.
三、解答题（本大题共8个小题，第17，18题每小题6分，第19，20题每小题8分，第21，22题每小题10分，第23，24题每小题12分，共72分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.）
17．求不等式组 的正整数解.
【答案】解： ，
解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤ ，
不等式组的解集是﹣2＜x≤ ，
不等式组的正整数解是1，2，3，4.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组解集的确定方法得到解集，即可得到正整数解.
18．先化简，再求值：（x+2）（x-2）+3（1-x）+3x，其中
【答案】解：原式：
当时，原式=3-1=2.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先根据平方差公式和单项式与多项式相乘的法则进行计算，再合并同类项化简到最简结果，最后代入数值求解.
19．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E.
（1）求证：直线CD是⊙O的切线.
（2）求证：CD·BE=AD·DE.
【答案】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OB，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵CD⊥AC，
∴CD⊥OD，
∴直线CD是⊙O的切线
（2）证明：连接BD，
∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE=∠BDE=90°，
∵CD⊥AC，∴∠C=∠BDE=90°，
∵∠CAD=∠BAE=∠DBE，∴△ACD∽△BDE，
【知识点】切线的判定与性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；
(2)连接BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论.
20．每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动.为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：
①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下
85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，
73，54，83，76，70，85，83，63，92，90.
②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：
分数x 90≤x<100 80≤x<90 70≤x<80 60≤x<70 x<60
人数 5 a 5 2 1
等第 A B C D E
③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：
④依据统计信息回答问题
（1）统计表中的a=　 　.
（2）心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为　 　.
（3）学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导
【答案】（1）7
（2）90°
（3）解：（人），
答：估计有100名师生需要参加团队心理辅导.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)总人数=2÷10%=20(人)，a=20×35%=7
故答案为：7.
(2)C所占的圆心角
故答案为：90°.
【分析】(1)根据D组人数以及百分比求出总人数，再求出a即可；
(2)根据圆心角=360°×百分比计算即可；
(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可.
21．某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．
（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？
【答案】（1）解：设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗 棵，由题意可得， ， ，
，
∴购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵
（2）解：设购买甲树苗y棵，乙树苗 棵，
根据题意可得， ，
，
，
∵y为自然数，
∴y=3、2、1、0，有四种购买方案，
购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；
购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；
购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；
购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵.
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设购买甲种树苗x棵，乙种树苗（2x-40）棵，根据购买的金额为9000元，即可得到关于x的方程，求出x的解即可。
（2）设购买甲树苗为y棵，购买乙种树苗为（10-y），根据题意列出不等式，得到可能的购买方案进行判断即可。
22．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为时，感觉最舒适（如图①）.侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，
（1）求OC的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持求点B'到AC的距离.（结果保留根号）
【答案】（1）解：如图③，在Rt△AOC中，OA=24，∠OAC=30°.
（2）解：如图④，过点B'作B'D⊥AC，垂足为D，过点O作垂足为E，
由题意得，OA=OB'=24，
当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持看可得，
∴∠B'OE=60°，
∴在Rt△B'OE中，
又∵OC=DE=12，
即：点B'到AC的距离为cm.
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)解Rt△AOC即可求出OC的长；
(2)求出∠B'OE=60°，在Rt△B'OE中求出B'E，进而求出B'D.
23．操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点（C'处.点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.
（1）如图1，求证：BE=BF；
（2）特例感知；如图2，若DE=5，CF=2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；
（3）类比探究：若DE=a，CF=b.
①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.（不要求写证明过程）
【答案】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，
由翻折可知：∠DEF=∠BEF，
∴∠BEF=∠EFB，∴BE=BF.
（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH=AB.
∵DE=EB=BF=5，CF=2，∴AD=BC=7，AE=2，
在Rt△ABE中，∵∠A=90°，BE=5，AE=2，
∵四边形PMQN是平行四边形，
∴四边形PMQN的周长：
（3）解：①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H.
∵ED=EB=BF=a，CF=b，∴AD=BC=a+b，
∴AE=AD-DE=b，∴EH=AB=2-b2，
∵BE=BF，∴PM-PN=EH=√a2-b2，
∵四边形PMQN是平行四边形，.
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质，证明∠BEF=∠BFE，即可解决问题；
(2)如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，利用面积法证明PM+PN=EH，利用勾股定理求出AB即可解决问题；
(3)①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H，由S△EBP-S△BFP=S△EBF，可得，由BE=BF，推出，由此即可解决问题；
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：.
24．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C.直线y=-x+5经过点B，C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵直线y=-x+5经过点B，C，
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0，5）.
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5，0）.
∴，解得
∴该抛物线的解析式为
（2）解：△APC的为直角三角形，理由如下：
∵解方程则
∴A（1，0），B（5，0）.
∵抛物线的对称轴l为x=3，
∴△APB为等腰三角形.
∵C的坐标为（5，0），B的坐标为（5，0），
∴OB=CO=5，即∠ABP=45°.
∴∠ABP=45°.
∴△APC的为直角三角形
（3）解：如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，2）.
设AC的函数解析式为y=kx+b（k≠0）.
∵C（0，5），A（1，0），∴解得b=5，k=-5.
∴AC的函数解析式为y=-5x+5，
设EM1的函数解析式为
∵点E的坐标为解得：
∴EM1的函数解析式为
解得
∴M1的坐标为
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，
设M2（a，-a+5），
则有，解得
的坐标为
综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)先根据直线y=-x+5经过点B，C，即可确定B、C的坐标，然后用待定系数法解答即可；
(2)先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°，即可判定△APC的形状；
(3)作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标.
1 / 1湖南省邵阳市邵东市2026年数学初中学业水平考试模拟卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列各数中，是无理数的是
A．0 B． C．3.14 D．
2．如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
4．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x>2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3
5．将多项式因式分解正确的是（　　）
A． B．
C．x（x+1）（x-1） D．x（1+x）（1-x）
6．已知二次函数的图象如图，则下列哪个选项表示的点有可能在反比例函数的图象上（　　）
A．（-1，2） B．（1，-2） C．（2，3） D．（2，-3）
7．已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（　　）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
8．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣 个物件，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上.若则点G坐标为（　　）
A．（11，-4） B．（10，-3） C．（12，-3） D．（9，-4）
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝　 　度．
12．计算：=　 　．
13．如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是　 　．
14．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何 ”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为　 　.
15．如图，在四边形ABCD中，若AB=CD，则添加一个条件　 　，能得到平行四边形ABCD.（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）
16．已知点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离可表示为例如：点（0，1）到直线y=2x+6的距离据此进一步可得两条平行线y=x和y=x-4之间的距离为　 　.
三、解答题（本大题共8个小题，第17，18题每小题6分，第19，20题每小题8分，第21，22题每小题10分，第23，24题每小题12分，共72分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.）
17．求不等式组 的正整数解.
18．先化简，再求值：（x+2）（x-2）+3（1-x）+3x，其中
19．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E.
（1）求证：直线CD是⊙O的切线.
（2）求证：CD·BE=AD·DE.
20．每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动.为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：
①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下
85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，
73，54，83，76，70，85，83，63，92，90.
②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：
分数x 90≤x<100 80≤x<90 70≤x<80 60≤x<70 x<60
人数 5 a 5 2 1
等第 A B C D E
③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：
④依据统计信息回答问题
（1）统计表中的a=　 　.
（2）心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为　 　.
（3）学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导
21．某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．
（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？
22．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为时，感觉最舒适（如图①）.侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，
（1）求OC的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持求点B'到AC的距离.（结果保留根号）
23．操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点（C'处.点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.
（1）如图1，求证：BE=BF；
（2）特例感知；如图2，若DE=5，CF=2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；
（3）类比探究：若DE=a，CF=b.
①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.（不要求写证明过程）
24．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C.直线y=-x+5经过点B，C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：0是整数，3.14是有限小数， 是分数，它们不是无理数，
是无限不循环小数，它是无理数，
故答案为：B.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】从正面看可以看到有3列小正方形，从左至右小正方体的数目分别为1、2、1，
所以主视图为：
，
故答案为：B．
【分析】观察几何体，从正面看可以看到有3列小正方形，从左至右小正方体的数目分别为1、2、1，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：Δ=(k+3)2-4×k=k2+2k+9=(k+1)2+8，
∵(k+1)2≥0.
∴(k+1)2+8>0，即Δ>0.
所以方程有两个不相等的实数根
故答案为：A.
【分析】先计算判别式得到Δ=(k+1)2+8，再利用非负数的性质得到Δ>0，然后可判断方程根的情况.
4．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
解得：x≥2且x≠3，
故答案为：C.
【分析】根据二次恨式有意义的条件、分式有意义的条件进行求解即可得.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x-x3=x(1-x2)=x(1-x)(1+x)
故答案为：D.
【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2开口向上
∴a>0.
∴点(2，3)可能在反比例函数的图象上
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的开口方向可得出a>0，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可找出点(2，3)可能在反比例函数的图象上，此题得解.
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】由平均数的公式得平均数＝(5+8+8+9+10)÷5＝8，
方差＝ [(5﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]＝2.8，
将5个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第3个数为8，即中位数为8，
5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8，
故答案为：D．
【分析】A、利用5个数据的和除以5即可求出平均数，然后判断即可.
B、众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判即可.
C、将这5个数据从小到大排列，处于中间的数据为中位数，然后判断即可.
D、利用方差公式计算即得，然后判断.
8．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：B．
【分析】分别根据两个人的分拣物品所用的时间相同，得到关于x的分式方程即可。
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点D作交AC于点F.
B
设9.
∵沿DE将剪成面积相等的两部分，
故选C.
【分析】过点D作交AC于点F，即可得到△AFD∽△ACB，根据面积比得到相似比为2：3，然后根据面积关系求出AE：EC的值即可.
10．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则∠AHO=∠BKA=90°=∠BAO，
∴∠BAK=∠AOH=90°-∠HAO
∴△AHO∽△BKA，
∴
∴∠A=90°，，A(-4，3)
∴OH=3，AH=4，
∴
∴BK=8，AK=6，
∵将△ABO平移，
∴OF=BK=8，OE=AK=6
∴E(6，0)
∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移了个单位得到点E.
∴将点O(0，0)先向右平移10个单位，再向下平移了个单位得到点G，
∴G(10，-3)；
故答案为：B.
【分析】过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到，根据点A的坐标，结合tan∠ABO的值，求出BK=8，AK=6，平移求出E点坐标，进而得到平移规则，再求出G点坐标即可.
11．【答案】52
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】∵AB∥CD，
∴∠OED＝∠2，
∵OA⊥OB，
∴∠O＝90°，
∵∠1＝∠OED+∠O＝142°，
∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°，
故答案为：52．
【分析】根据两直线平行同位角相等，可得∠OED＝∠2，利用垂直定义可得∠O＝90°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求出∠OED的度数，即得∠2的度数，
12．【答案】x﹣1
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：
=
=x﹣1．
故答案为：x﹣1．
【分析】根据同分母分式的加减，分母不变，只把分子相加减，计算求解即可．
13．【答案】x=2
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），
∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2，
故答案为：x=2．
【分析】关于x的方程ax+b=0的解是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标，观察图像，即可解答。
14．【答案】x2+32=(10-x)2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设AC=x，AB-10-x，则可列方程为：x2+32=(10-x)2，
故答案为：x2+32=(10-x)2.
【分析】设AC的长为x，则斜边AB的长可表示为10-x，再结合直角边BC=3，利用AC2+BC2=AB2列出方程即可.
15．【答案】AD=BC(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD=BC，
故答案为：AD=BC(答案不唯一).
【分析】可再添加一个条件AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形.
16．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；点到直线的距离
【解析】【解答】解：当x=0时，y=x=0，即点(0，0)在直线y=x上，
因为点(0，0)到直线y=x-4的距离为：
因为直线y=x和y=x-4平行，
所以这两条平行线之间的距离为
故答案为：.
【分析】利用两平行线间的距离定义，在直线y=x上任意取一点，然后计算这个点到直线y=x-4的距离即可.
17．【答案】解： ，
解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤ ，
不等式组的解集是﹣2＜x≤ ，
不等式组的正整数解是1，2，3，4.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组解集的确定方法得到解集，即可得到正整数解.
18．【答案】解：原式：
当时，原式=3-1=2.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先根据平方差公式和单项式与多项式相乘的法则进行计算，再合并同类项化简到最简结果，最后代入数值求解.
19．【答案】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OB，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵CD⊥AC，
∴CD⊥OD，
∴直线CD是⊙O的切线
（2）证明：连接BD，
∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE=∠BDE=90°，
∵CD⊥AC，∴∠C=∠BDE=90°，
∵∠CAD=∠BAE=∠DBE，∴△ACD∽△BDE，
【知识点】切线的判定与性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；
(2)连接BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论.
20．【答案】（1）7
（2）90°
（3）解：（人），
答：估计有100名师生需要参加团队心理辅导.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)总人数=2÷10%=20(人)，a=20×35%=7
故答案为：7.
(2)C所占的圆心角
故答案为：90°.
【分析】(1)根据D组人数以及百分比求出总人数，再求出a即可；
(2)根据圆心角=360°×百分比计算即可；
(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可.
21．【答案】（1）解：设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗 棵，由题意可得， ， ，
，
∴购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵
（2）解：设购买甲树苗y棵，乙树苗 棵，
根据题意可得， ，
，
，
∵y为自然数，
∴y=3、2、1、0，有四种购买方案，
购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；
购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；
购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；
购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵.
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设购买甲种树苗x棵，乙种树苗（2x-40）棵，根据购买的金额为9000元，即可得到关于x的方程，求出x的解即可。
（2）设购买甲树苗为y棵，购买乙种树苗为（10-y），根据题意列出不等式，得到可能的购买方案进行判断即可。
22．【答案】（1）解：如图③，在Rt△AOC中，OA=24，∠OAC=30°.
（2）解：如图④，过点B'作B'D⊥AC，垂足为D，过点O作垂足为E，
由题意得，OA=OB'=24，
当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持看可得，
∴∠B'OE=60°，
∴在Rt△B'OE中，
又∵OC=DE=12，
即：点B'到AC的距离为cm.
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)解Rt△AOC即可求出OC的长；
(2)求出∠B'OE=60°，在Rt△B'OE中求出B'E，进而求出B'D.
23．【答案】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，
由翻折可知：∠DEF=∠BEF，
∴∠BEF=∠EFB，∴BE=BF.
（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH=AB.
∵DE=EB=BF=5，CF=2，∴AD=BC=7，AE=2，
在Rt△ABE中，∵∠A=90°，BE=5，AE=2，
∵四边形PMQN是平行四边形，
∴四边形PMQN的周长：
（3）解：①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H.
∵ED=EB=BF=a，CF=b，∴AD=BC=a+b，
∴AE=AD-DE=b，∴EH=AB=2-b2，
∵BE=BF，∴PM-PN=EH=√a2-b2，
∵四边形PMQN是平行四边形，.
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质，证明∠BEF=∠BFE，即可解决问题；
(2)如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，利用面积法证明PM+PN=EH，利用勾股定理求出AB即可解决问题；
(3)①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H，由S△EBP-S△BFP=S△EBF，可得，由BE=BF，推出，由此即可解决问题；
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：.
24．【答案】（1）解：∵直线y=-x+5经过点B，C，
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0，5）.
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5，0）.
∴，解得
∴该抛物线的解析式为
（2）解：△APC的为直角三角形，理由如下：
∵解方程则
∴A（1，0），B（5，0）.
∵抛物线的对称轴l为x=3，
∴△APB为等腰三角形.
∵C的坐标为（5，0），B的坐标为（5，0），
∴OB=CO=5，即∠ABP=45°.
∴∠ABP=45°.
∴△APC的为直角三角形
（3）解：如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，2）.
设AC的函数解析式为y=kx+b（k≠0）.
∵C（0，5），A（1，0），∴解得b=5，k=-5.
∴AC的函数解析式为y=-5x+5，
设EM1的函数解析式为
∵点E的坐标为解得：
∴EM1的函数解析式为
解得
∴M1的坐标为
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，
设M2（a，-a+5），
则有，解得
的坐标为
综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)先根据直线y=-x+5经过点B，C，即可确定B、C的坐标，然后用待定系数法解答即可；
(2)先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°，即可判定△APC的形状；
(3)作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标.
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