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浙江省义乌市佛堂镇初级中学、义乌市后宅中学、苏溪镇初级中学2025-2026学年第二学期八年级数学期中卷
一、选择题（每小题3分，共30分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）
1．我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，因此不符合题目要求；
B选项：该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，因此符合题目要求；
C选项：该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，因此不符合题目要求；
D选项：该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，因此不符合题目要求。
故选：B.
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；
在平面内，将一个图形绕某个点旋转后，如果旋转得到的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形.
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、方程中含有两个未知数x，y，不是一元二次方程；
B、方程不是整式方程，不是一元二次方程；
C、方程满足一元二次方程的定义，是一元二次方程；
D、方程中含有两个未知数x，y，不是一元二次方程．
故选：C.
【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程”逐项判断解答即可．
3．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x＞0 C．x≤2 D．x＜2
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可.
4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式；
选项B：，被开方数含分母，∴不是最简二次根式；
选项C：，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式；
选项D：满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式．
故答案为：D.
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数中不含分母，且被开方数中不含能开方的因数或因式”逐项判断解答即可.
5．某篮球队准备从甲、乙、丙、丁4名队员中选取1名成绩优异且发挥稳定的队员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下表：则应选择的队员是（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数 7.5 7.5 6.3 6.1
方差 0.1 0.2 0.5 0.3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵ 甲和乙的平均数均为7.5，高于丙的6.3和丁的6.1，
∴ 应选择甲或乙．
∵ 甲的方差为0.1，乙的方差为0.2，
∴甲的方差小更稳定，
故选择甲；
故选A．
【分析】选择平均成绩高且方差小，则成绩优异且发挥稳定的队员，据此进行判断即可.
6．如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.满足，，有可能是等腰梯形，四边形不一定是平行四边形，故选项A不符合题意；
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，选项正确，符合题意；
C.由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D.由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B.
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断解答即可．
7．用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（　　）
A．∠B＞90° B．∠B≥90°
C．AB≠AC D．AB≠AC且∠B＝90°
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“已知在中，，则”时，首先应该假设．
故选：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
8．如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质并结合直线AB左下方格点的个数可求解.
9． 如图，电路中有三个定值电阻R1，R2，R3，且R1，R2的阻值（单位：Ω）满足方程R2﹣3R+2＝0，R3＝1Ω．若闭合开关S后，电流表的读数为6A，则电源的电压是（　　）
A．8V B．10V C．15V D．24V
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，的阻值（单位：Ω）满足方程，
∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，
则有，
∴，
∴电路中的总电阻为，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系得到，然后根据电路中的电阻、电流及电压关系式进行求解即可．
10．如图，在 ABCD中，∠D＝5∠CAB，在AC上取点P，使PC＝BC，连接BP，过点P作EF⊥CD交AB，CD分别于点E，F．已知BE＝5，AE＝x，BP＝y，当x，y发生变化时，代数式值不变的是（　　）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴；
∵，
∴，
∴；
在上取点G，连接，使，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
即；
故当，发生变化时，代数式的值不变；
故答案为：B.
【分析】设，则，根据平行四边形的性质可得，；再根据等边对等角和三角形内角和定理可得，即可得到；在上取点G，连接，使，即可得到，则有；再根据垂直得到，即可得到，证明结论即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18 分)
11．当x=3时，二次根式　 　
【答案】2
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：把代入得：．
故答案为：2.
【分析】把x=3代入，计算二次根式的值即可.
12．一个n边形的内角和是1080°，则n=　 　
【答案】8
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（n﹣2） 180°=1080°，解得n=8．
故答案为：8．
【分析】根据多边形的内角和公式计算即可．
13．在△ABC中，D，E分别是BC，AC中点，AB=6，则DE=　 　
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点可知，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ED=BC=3．
故答案为：3．
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可.
14．若关于x的一元二次方程的两根为x1=1，x2=3，则关 于x的一元二次方程的解为　 　
【答案】x1=3， x2=5
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
设，则方程化为，
由已知得，一元二次方程的两根为，，
即或
分别解得，．
故答案为：，．
【分析】将所求方程化为关于的一元二次方程，设，则方程化为，即可得到，，进而求出x的值解答即可．
15．如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠ABC＝60°，点E、F分别在线段AD、BD上，且DE＝DF，连结BE，若BE平分∠AEF，则DE的长为　 　
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点B作于H点，过B作，交的延长线于G，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴中，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】过点B作交于H点，过点B作，交的延长线于G，根据平行线的性质以及等边对等角得到，即可得到，然后根据3度的直角三角形的性质和勾股定理求出AH和BH长，再根据勾股定理求出BD和GB长，利用线段的和差解答即可．
16． 设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式：，则a的取值范围　 　
【答案】a>-1且 且且
【知识点】整式的混合运算；已知一元二次方程的根求参数；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：
即有
又
所以b，c可作为一元二次方程③的两个不相等实数根，
故
解得.
若当或时，那么a也是方程③的解，
即或
解得， 或
当时，由与，得与，
∴
解得 (舍去)，
所以a的取值范围为且且且
故答案为：且 且且
【分析】根据a、b、c为互不相等的实数，先根据根的判别式求出，然后分为a=b或a=c解方程求出方程的根，再根据a=b=c求出a的值，然后求出a的取值范围即可．
三、解答题：（本题有8小题，第17-21题每小题8分，第22-23题每小题10分，第24题12分,共72分）
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘除法法则计算，然后化简解答即可；
（2）先根据平方差公式展开、化简二次根式，然后加减解答即可．
18．解下列一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
或
解得：；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
解得：．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）提取公因式x，利用因式分解法解方程即可；
（2）先得到a，b，c的值，然后计算b2-4ac的值，代入求根公式计算即可.
19．为了解八年级学生每周参加科学教育的时间(单位：h)，学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，a=　 　，在箱线图中b=　 　，c=　 　
（2）本次调查样本中数据的众数为　 　
（3）根据样本数据，若该校八年级共有学生600人， 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为9h的人数约为多少
【答案】（1）28；6；7
（2）8h
（3）解：时间不少于的学生，对应和两个时间段，
总占比为：，
该校八年级共有600人，因此估计人数为：（人），
答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为120人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量；箱线图
【解析】【解答】（1）解：扇形统计图中各部分百分比之和为，因此：，
根据样本容量50，
计算各时间段人数：：（人），
：（人），
：（人），
：（人），
：（人），
：（人），
箱线图中，b为第一四分位数，c为中位数：
中位数：第25、26个数据的平均数，前个数据中，
第25、26个数据均为，
故；
第一四分位数：第12、13个数据的平均数，前个数据中，
第12、13个数据均为，故；
故答案为：28；6；7；
（2）解：众数是一组数据中出现次数最多的数，
由（1）中各时间段人数可知，对应的人数为14人，是所有时间段中人数最多的，
因此众数为；
故答案为：8h；
【分析】（1）先由扇形图百分比和为求出a的值；再用总人数50乘各占比求出各时长人数；最后根据箱线图四分位数定义解答即可；
（2）根据众数的定义解答即可；
（3）根据样本中每周参加科学教育时间的的人数占比乘以600解答即可．
20． 如图，在 ABCD中，点E，F分别在BA，DC的延长线上，且BE＝DF，连接AF，交BC于点H，连接EC．
（1）求证：四边形EAFC是平行四边形；
（2）若∠E＝∠D＝65°，求∠AHB的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形，都是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，即可得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论即可；
（2）根据平行四边形的性质得到，即可得到，再根据三角形内角和定理解答即可．
21． 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．
（1）某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件．
求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率．
（2）义乌某商铺以每件10元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为30元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件.
①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？
②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上日销量固定为100件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润．
【答案】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%；
（2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为（30﹣y﹣10）元，日销售量为（80+10y）件，
根据题意得：（30﹣y﹣10）（80+10y）＝1800，
整理得：y2﹣12y+20＝0
解得：y1＝2，y2＝10，
又∵要尽快减少库存，
∴y＝10，
答：每件应降价10元．
②设线上和线下的月利润总和为w元，售价为a元/件
则
＝
∴当a＝29时，w有最大值，最大值为3410，
∴当售价为29元/件时，线上和线下的月利润总和达到最大，最大利润为3410元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据“ 该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件 ”列出一元二次方程求解即可；
（2）①设每件应降价y元，根据每件利润×日销售量=总利润列方程求出未知数的值解答即可；
②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，然后配方为顶点式求出最大值解答即可．
22．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简
（2）若
①求的值．
②直接写出代数式的值； (　　) ．
【答案】（1）
；
（2）∵，
∴a，
∴a+2，
∴（a+2）2＝5，
∴a2+4a+4＝5，
∴a2+4a＝1，
①3a2+12a﹣5＝3（a2+4a）﹣4＝3×1﹣5＝﹣2；
②﹣3，2025．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（2）②a3+2a2﹣9a﹣1
＝a3+4a2﹣2a2﹣8a﹣a﹣1
＝a（a2+4a）﹣2（a2+4a）﹣a﹣1
＝a﹣2﹣a﹣1
＝﹣3；
＝3a2+12a+a2026
＝3（a2+4a）+a2026
＝3+（）﹣（）+2026
＝322+2026
＝2025．
故答案为：﹣3，2025．
【分析】（1）先分母有理化化简，然后再根据二次根式的加减解答即可；
（2）①先根据分母有理化得到，即可得到，进而可得，然后整体代入求解即可；
②把代数式整理，然后运用整体代入①中的解答即可．
23．定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：（1，1）， ，都是“倒数点”．
（1）求直线l1：y＝3x+2上的“倒数点”坐标；
（2）如果直线l2：y＝﹣2x+b（b＞0）上有且只有一个“倒数点”，记作点P，求直线l2的解析式以及点P的坐标；
（3）如果直线l3：y＝kx+3上有两个“倒数点”，记作点T1，T2点O为坐标原点，当∠T1OT2为锐角时，求k的取值范围．
【答案】（1）在y＝3x+2中，令y得：3x+2，
去分母整理得：3x2+2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2，
经检验，x1＝﹣1，x2都是3x+2的解，
∴直线l2：y＝3x+2上的“倒数点”坐标为（﹣1，﹣1），（，3）；
（2）解：在中，令得：，
去分母整理得：，
∵上有且只有一个“倒数点”，
∴有两个相等的实数根，
∴，即 ，
解得（舍去），
∴直线的解析式为；
当时，即为，
解得，
∴；

（3）解：在中，令得：，
去分母整理得：，
∵直线上有两个“倒数点”，
∴有两个不相等的实数解，
∴，即，
解得；
设的两根为α，β，则，
根据根与系数的关系可知，
∵α与同号，β与同号，
∴在第一象限或第三象限，
∵为锐角，
∴都在第一象限或都在第三象限，
当都在第一象限时，，，
∴，
∴，
∴此时k的范围是；
当都在第三象限时，，，
即，相矛盾，这种情况不存在；
综上所述，k的范围是．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）令，联立两解析式，求出方程的解即可；
（2）令得到，可知，根据题意得到，求出b的值，即可求出直线l2的解析式，然后代入求出点P的坐标即可；
（3）令，得到，则有两个不相等的实数解，即可得到，求得，设的两根为α，β，则，根据根与系数的关系得到，根据题意可知两点都在第一象限或都在第三象限，然后分类讨论求出k的取值范围即可．
24．如图，在 ABCD中，CD=10，点E为AD边上一动点，连接CE，将△CDE沿CE折叠，点D的对应点为F．
（1）如图1，若EF的延长线恰好经过点B．求证：BE＝BC；
（2）若AB＝AD，
①如图2，当∠BAD＝120°， EF、CF所在直线分别与直线BC、直线AD相交于H、G．作CP⊥AD于点P，若PE＝3，求HF的长．
②如图3，当点E在射线AD上时，若 ABCD的面积为，连接EB．则的最大值
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
由折叠的性质得：∠DEC＝∠BEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE；
（2）①解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点E在点P的左侧时，过点E作，如图3，则：，，
∵，
∴，
由折叠的性质得：，
同（1）可得：，
设，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，，
解得，
∴；
当点E在点P的右边时，过点C作，如图4，
∵，
∴，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴，
综上，的长为6或16．
②过B作交延长线于H，
∵的面积为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
记，
∴
去分母得
∴，
化简得，即
∴
∴的最大值为．

【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据折叠的性质得到∠DEC＝∠BEC，即可得到∠BCE＝∠BEC，根据等角对等边证明即可；
（2）①得到四边形为菱形，求出∠D=60°，然后根据直角三角形的两锐角互余得到∠PCD=30°，即可根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到，，当点E在点P的左侧时，过点E作，当点E在点P的右边时，过点C作，根据折叠的性质和勾股定理解答即可；
②过B作交延长线于H，根据菱形的性质求出，，设，则，记，即可得到，进而整理为一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求出k的取值范围即可．
1 / 1浙江省义乌市佛堂镇初级中学、义乌市后宅中学、苏溪镇初级中学2025-2026学年第二学期八年级数学期中卷
一、选择题（每小题3分，共30分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）
1．我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x＞0 C．x≤2 D．x＜2
4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．某篮球队准备从甲、乙、丙、丁4名队员中选取1名成绩优异且发挥稳定的队员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下表：则应选择的队员是（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数 7.5 7.5 6.3 6.1
方差 0.1 0.2 0.5 0.3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（　　）
A．∠B＞90° B．∠B≥90°
C．AB≠AC D．AB≠AC且∠B＝90°
8．如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9． 如图，电路中有三个定值电阻R1，R2，R3，且R1，R2的阻值（单位：Ω）满足方程R2﹣3R+2＝0，R3＝1Ω．若闭合开关S后，电流表的读数为6A，则电源的电压是（　　）
A．8V B．10V C．15V D．24V
10．如图，在 ABCD中，∠D＝5∠CAB，在AC上取点P，使PC＝BC，连接BP，过点P作EF⊥CD交AB，CD分别于点E，F．已知BE＝5，AE＝x，BP＝y，当x，y发生变化时，代数式值不变的是（　　）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18 分)
11．当x=3时，二次根式　 　
12．一个n边形的内角和是1080°，则n=　 　
13．在△ABC中，D，E分别是BC，AC中点，AB=6，则DE=　 　
14．若关于x的一元二次方程的两根为x1=1，x2=3，则关 于x的一元二次方程的解为　 　
15．如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠ABC＝60°，点E、F分别在线段AD、BD上，且DE＝DF，连结BE，若BE平分∠AEF，则DE的长为　 　
16． 设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式：，则a的取值范围　 　
三、解答题：（本题有8小题，第17-21题每小题8分，第22-23题每小题10分，第24题12分,共72分）
17．计算：
（1）
（2）
18．解下列一元二次方程：
（1）
（2）
19．为了解八年级学生每周参加科学教育的时间(单位：h)，学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，a=　 　，在箱线图中b=　 　，c=　 　
（2）本次调查样本中数据的众数为　 　
（3）根据样本数据，若该校八年级共有学生600人， 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为9h的人数约为多少
20． 如图，在 ABCD中，点E，F分别在BA，DC的延长线上，且BE＝DF，连接AF，交BC于点H，连接EC．
（1）求证：四边形EAFC是平行四边形；
（2）若∠E＝∠D＝65°，求∠AHB的度数．
21． 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．
（1）某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件．
求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率．
（2）义乌某商铺以每件10元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为30元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件.
①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？
②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上日销量固定为100件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润．
22．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简
（2）若
①求的值．
②直接写出代数式的值； (　　) ．
23．定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：（1，1）， ，都是“倒数点”．
（1）求直线l1：y＝3x+2上的“倒数点”坐标；
（2）如果直线l2：y＝﹣2x+b（b＞0）上有且只有一个“倒数点”，记作点P，求直线l2的解析式以及点P的坐标；
（3）如果直线l3：y＝kx+3上有两个“倒数点”，记作点T1，T2点O为坐标原点，当∠T1OT2为锐角时，求k的取值范围．
24．如图，在 ABCD中，CD=10，点E为AD边上一动点，连接CE，将△CDE沿CE折叠，点D的对应点为F．
（1）如图1，若EF的延长线恰好经过点B．求证：BE＝BC；
（2）若AB＝AD，
①如图2，当∠BAD＝120°， EF、CF所在直线分别与直线BC、直线AD相交于H、G．作CP⊥AD于点P，若PE＝3，求HF的长．
②如图3，当点E在射线AD上时，若 ABCD的面积为，连接EB．则的最大值
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，因此不符合题目要求；
B选项：该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，因此符合题目要求；
C选项：该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，因此不符合题目要求；
D选项：该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，因此不符合题目要求。
故选：B.
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；
在平面内，将一个图形绕某个点旋转后，如果旋转得到的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、方程中含有两个未知数x，y，不是一元二次方程；
B、方程不是整式方程，不是一元二次方程；
C、方程满足一元二次方程的定义，是一元二次方程；
D、方程中含有两个未知数x，y，不是一元二次方程．
故选：C.
【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程”逐项判断解答即可．
3．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可.
4．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式；
选项B：，被开方数含分母，∴不是最简二次根式；
选项C：，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式；
选项D：满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式．
故答案为：D.
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数中不含分母，且被开方数中不含能开方的因数或因式”逐项判断解答即可.
5．【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵ 甲和乙的平均数均为7.5，高于丙的6.3和丁的6.1，
∴ 应选择甲或乙．
∵ 甲的方差为0.1，乙的方差为0.2，
∴甲的方差小更稳定，
故选择甲；
故选A．
【分析】选择平均成绩高且方差小，则成绩优异且发挥稳定的队员，据此进行判断即可.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.满足，，有可能是等腰梯形，四边形不一定是平行四边形，故选项A不符合题意；
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，选项正确，符合题意；
C.由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D.由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B.
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断解答即可．
7．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“已知在中，，则”时，首先应该假设．
故选：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质并结合直线AB左下方格点的个数可求解.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，的阻值（单位：Ω）满足方程，
∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，
则有，
∴，
∴电路中的总电阻为，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系得到，然后根据电路中的电阻、电流及电压关系式进行求解即可．
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴；
∵，
∴，
∴；
在上取点G，连接，使，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
即；
故当，发生变化时，代数式的值不变；
故答案为：B.
【分析】设，则，根据平行四边形的性质可得，；再根据等边对等角和三角形内角和定理可得，即可得到；在上取点G，连接，使，即可得到，则有；再根据垂直得到，即可得到，证明结论即可．
11．【答案】2
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：把代入得：．
故答案为：2.
【分析】把x=3代入，计算二次根式的值即可.
12．【答案】8
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（n﹣2） 180°=1080°，解得n=8．
故答案为：8．
【分析】根据多边形的内角和公式计算即可．
13．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点可知，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ED=BC=3．
故答案为：3．
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可.
14．【答案】x1=3， x2=5
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
设，则方程化为，
由已知得，一元二次方程的两根为，，
即或
分别解得，．
故答案为：，．
【分析】将所求方程化为关于的一元二次方程，设，则方程化为，即可得到，，进而求出x的值解答即可．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点B作于H点，过B作，交的延长线于G，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴中，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】过点B作交于H点，过点B作，交的延长线于G，根据平行线的性质以及等边对等角得到，即可得到，然后根据3度的直角三角形的性质和勾股定理求出AH和BH长，再根据勾股定理求出BD和GB长，利用线段的和差解答即可．
16．【答案】a>-1且 且且
【知识点】整式的混合运算；已知一元二次方程的根求参数；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：
即有
又
所以b，c可作为一元二次方程③的两个不相等实数根，
故
解得.
若当或时，那么a也是方程③的解，
即或
解得， 或
当时，由与，得与，
∴
解得 (舍去)，
所以a的取值范围为且且且
故答案为：且 且且
【分析】根据a、b、c为互不相等的实数，先根据根的判别式求出，然后分为a=b或a=c解方程求出方程的根，再根据a=b=c求出a的值，然后求出a的取值范围即可．
17．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘除法法则计算，然后化简解答即可；
（2）先根据平方差公式展开、化简二次根式，然后加减解答即可．
18．【答案】（1）解：
或
解得：；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
解得：．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）提取公因式x，利用因式分解法解方程即可；
（2）先得到a，b，c的值，然后计算b2-4ac的值，代入求根公式计算即可.
19．【答案】（1）28；6；7
（2）8h
（3）解：时间不少于的学生，对应和两个时间段，
总占比为：，
该校八年级共有600人，因此估计人数为：（人），
答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为120人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量；箱线图
【解析】【解答】（1）解：扇形统计图中各部分百分比之和为，因此：，
根据样本容量50，
计算各时间段人数：：（人），
：（人），
：（人），
：（人），
：（人），
：（人），
箱线图中，b为第一四分位数，c为中位数：
中位数：第25、26个数据的平均数，前个数据中，
第25、26个数据均为，
故；
第一四分位数：第12、13个数据的平均数，前个数据中，
第12、13个数据均为，故；
故答案为：28；6；7；
（2）解：众数是一组数据中出现次数最多的数，
由（1）中各时间段人数可知，对应的人数为14人，是所有时间段中人数最多的，
因此众数为；
故答案为：8h；
【分析】（1）先由扇形图百分比和为求出a的值；再用总人数50乘各占比求出各时长人数；最后根据箱线图四分位数定义解答即可；
（2）根据众数的定义解答即可；
（3）根据样本中每周参加科学教育时间的的人数占比乘以600解答即可．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形，都是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，即可得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论即可；
（2）根据平行四边形的性质得到，即可得到，再根据三角形内角和定理解答即可．
21．【答案】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%；
（2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为（30﹣y﹣10）元，日销售量为（80+10y）件，
根据题意得：（30﹣y﹣10）（80+10y）＝1800，
整理得：y2﹣12y+20＝0
解得：y1＝2，y2＝10，
又∵要尽快减少库存，
∴y＝10，
答：每件应降价10元．
②设线上和线下的月利润总和为w元，售价为a元/件
则
＝
∴当a＝29时，w有最大值，最大值为3410，
∴当售价为29元/件时，线上和线下的月利润总和达到最大，最大利润为3410元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据“ 该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件 ”列出一元二次方程求解即可；
（2）①设每件应降价y元，根据每件利润×日销售量=总利润列方程求出未知数的值解答即可；
②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，然后配方为顶点式求出最大值解答即可．
22．【答案】（1）
；
（2）∵，
∴a，
∴a+2，
∴（a+2）2＝5，
∴a2+4a+4＝5，
∴a2+4a＝1，
①3a2+12a﹣5＝3（a2+4a）﹣4＝3×1﹣5＝﹣2；
②﹣3，2025．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（2）②a3+2a2﹣9a﹣1
＝a3+4a2﹣2a2﹣8a﹣a﹣1
＝a（a2+4a）﹣2（a2+4a）﹣a﹣1
＝a﹣2﹣a﹣1
＝﹣3；
＝3a2+12a+a2026
＝3（a2+4a）+a2026
＝3+（）﹣（）+2026
＝322+2026
＝2025．
故答案为：﹣3，2025．
【分析】（1）先分母有理化化简，然后再根据二次根式的加减解答即可；
（2）①先根据分母有理化得到，即可得到，进而可得，然后整体代入求解即可；
②把代数式整理，然后运用整体代入①中的解答即可．
23．【答案】（1）在y＝3x+2中，令y得：3x+2，
去分母整理得：3x2+2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2，
经检验，x1＝﹣1，x2都是3x+2的解，
∴直线l2：y＝3x+2上的“倒数点”坐标为（﹣1，﹣1），（，3）；
（2）解：在中，令得：，
去分母整理得：，
∵上有且只有一个“倒数点”，
∴有两个相等的实数根，
∴，即 ，
解得（舍去），
∴直线的解析式为；
当时，即为，
解得，
∴；

（3）解：在中，令得：，
去分母整理得：，
∵直线上有两个“倒数点”，
∴有两个不相等的实数解，
∴，即，
解得；
设的两根为α，β，则，
根据根与系数的关系可知，
∵α与同号，β与同号，
∴在第一象限或第三象限，
∵为锐角，
∴都在第一象限或都在第三象限，
当都在第一象限时，，，
∴，
∴，
∴此时k的范围是；
当都在第三象限时，，，
即，相矛盾，这种情况不存在；
综上所述，k的范围是．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）令，联立两解析式，求出方程的解即可；
（2）令得到，可知，根据题意得到，求出b的值，即可求出直线l2的解析式，然后代入求出点P的坐标即可；
（3）令，得到，则有两个不相等的实数解，即可得到，求得，设的两根为α，β，则，根据根与系数的关系得到，根据题意可知两点都在第一象限或都在第三象限，然后分类讨论求出k的取值范围即可．
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
由折叠的性质得：∠DEC＝∠BEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE；
（2）①解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点E在点P的左侧时，过点E作，如图3，则：，，
∵，
∴，
由折叠的性质得：，
同（1）可得：，
设，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，，
解得，
∴；
当点E在点P的右边时，过点C作，如图4，
∵，
∴，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴，
综上，的长为6或16．
②过B作交延长线于H，
∵的面积为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
记，
∴
去分母得
∴，
化简得，即
∴
∴的最大值为．

【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据折叠的性质得到∠DEC＝∠BEC，即可得到∠BCE＝∠BEC，根据等角对等边证明即可；
（2）①得到四边形为菱形，求出∠D=60°，然后根据直角三角形的两锐角互余得到∠PCD=30°，即可根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到，，当点E在点P的左侧时，过点E作，当点E在点P的右边时，过点C作，根据折叠的性质和勾股定理解答即可；
②过B作交延长线于H，根据菱形的性质求出，，设，则，记，即可得到，进而整理为一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求出k的取值范围即可．
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