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四川省广元市旺苍县2026年春九年级学业水平第三次诊断测试数学试卷
1．若实数a的相反数是-4，则a等于（　　）
A．4 B．- 4 C．±4 D．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．3a-2a=1 B． C． D．
4．某同学对数据12，12，18，2m，25进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
5．已知关于x的一元二次方程 的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
6． 如图，在△ABC中，已知∠EFG+∠GDC=180°， ∠FED=∠C， ∠B=55°，则∠BED的度数是（　　）
A．135° B．125° C．115° D．75°
7．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于P点，若∠APB=120°.则 的值为（　　）
A． B． C． D．
8．《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.李三公家的店有多少间客房，来了多少位房客.下列解题方案：①设客房有x间，则 7x+7=9 (x-1)； ②设客人有y位，则 ③设客房有x间，客人有y位，则 正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9． 如图①， Rt△ABC中， ∠A=90°，点D、E分别是边BA、BC的中点，动点P从点 C 出发，以每秒2(cm)的速度沿 C→A→D→E的方向运动，到达点E时停止.设点P运动x(s)时，△CPE的面积为y(cm2)，如图②是y关于x的函数图象，则图②中a，b的值分别是（　　）
A．2， 5 B．2， 6 C．4， 5 D．4， 6
10． 二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，那么过点M(2a+b， - c)和点 的直线一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．分解因式： (x-1)(x+2)-x-7=　 　
12． 2026年，我国天问二号深空探测器按计划开启小行星探测任务，探测器往返星际飞行的总里程约720000000千米.其中数据720000000用科学记数法表示为　 　.
13．如图，在正五边形ABCDE中，连接AD， CE相交于点 F，则∠AFE的度数为　 　度.
14．如图，在数轴上点A表示原点，点C表示的数是-2， ∠ACB=90°且BC=1.以点A为圆心、AB长为半径画弧，交数轴原点左边于点 D，则点 D表示的数是　 　.
15．如图，过原点的直线与双曲线 交于B， C两点，点A在x轴上，且CO=CA，若 则k的值为　 　.
16．如图，四边形ABCD是菱形， BC=12，且∠B=120°， P为对角线AC上任意一点(不与C重合)，则 的最小值为　 　.
17． 计算：
18．先化简，再求值： 从-3，-1，3中选择合适的x的值代入求值.
19．我们在探究三角形中位线定理时，可以通过将三角形转化为平行四边形的方式来证明.如图，已知在△ABC中， D、E分别为AB、AC的中点.
（1）请在图中按要求完成尺规作图：在线段AC右侧作射线CF，使得∠ACF=∠BAC，射线CF交DE的延长线于点F(不要求写作法，保留作图痕迹)；
（2）在(1)所作的图形中，求证：
20．某社区开展了“志愿者时长星级评定”活动，随机抽取部分居民的评定结果统计如下，结果分为四个等级：A级为五星志愿者，B级为四星志愿者，C级为三星志愿者，D级为一星志愿者，统计结果如图所示.根据不完全统计图中的信息解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的总人数，并补全条形统计图；
（2）若该社区共有1350名居民参与评定，请估计该社区能获得五星、四星等级的志愿者共有多少人
（3）本次评定中排名前五的居民里，有两名女生、三名男生，现从中随机抽取两人分享心得，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两人恰好是一男生一女生的概率.
21．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行120海里至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向.
（1）求∠ACB的度数；
（2）若该船从C港直接返回A港，航速为20海里/小时，求返回大约所需的航行时间.(参考数据： 结果精确到0.1小时)
22．某校为保障化学实验课正常开展，决定采购托盘天平和铁架台两种常用实验器材.市场调查发现购买3套托盘天平和2套铁架台共需260元；购买2套托盘天平和3套铁架台共需240 元.
（1）求每套托盘天平和每套铁架台的费用；
（2）学校计划一次性购进两种实验器材共30套，采购总费用不超过 1500元，且托盘天平的数量不少于铁架台数量的一半.请设计最省钱的采购方案，并计算最低总费用.
23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， AC是⊙O的直径， DE∥AB交BC的延长线于点 E，CD 恰好平分∠ACE.
（1）求证： DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为 求BC的长.
24． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4， 0)，点B的坐标是(0， 6)，点C为OB中点.将△ABC绕着点B顺时针旋转90°得到△A1BC1.
（1）反比例函数 的图象过点 C1，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A1两点，求△ACA1的面积.
25．综合与探究
新定义：在平面内，若一个四边形有三个内角的度数相等，这个四边形叫做三等角四边形，这三个相等的内角称为该四边形的“同角”，第四个内角称为“异角”.
（1）如图①，在 ABCD中， ∠B=135°，点E、F分别为边AB， BC上的动点，若四边形 BFDE为三等角四边形，求∠EDF 的度数；
（2）如图②，折叠平行四边形纸片ABCD，使顶点A，C分别落在边AB，BC上的点E，F处，折痕分别为DG，DH.求证：四边形 EBFD 是三等角四边形；
（3）如图③，在三等角四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C且∠A为锐角， AB=AD=8，求BC长的最大值.
26．如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C(0， 6) ，顶点D坐标为(2，8)
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△ACM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形 若存在，求出满足条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：∵ 实数a的相反数是-4，
∴a=4，
故答案为：A .
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项怒符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意.
故答案为：C .
【分析】根据轴对称图形的定义，即一个图形的一部分沿某条直线对折能与另一部分重合，及中心对称图形的定义，即一个图形绕某点旋转 后能与原图形重合，进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： 原计算错误；
B.，原计算错误；
原计算错误；
计算正确；
故答案为：D .
【分析】根据同类项的合并、同底数幂的乘法、积的乘方和完全平方公式计算判断即可.
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为18，与被涂污数字无关.
故答案为：B .
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：观察数轴可知：a<0，b<0，c>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C .
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠EFG+∠GDC=180°， ∠GDC+∠ADG=180°，
∴∠ADG=∠EFG，
∴EF∥AC，
∴∠FED=∠ADE，
又∵∠FED=∠C，
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC，
∠BED=180°-∠B=180°-55°=125°，
故答案为：B .
【分析】根据统计奥德补角相等得到∠ADG=∠EFG，即可得到EF∥AC，进而根据两直线平行，内错角相等和等量代换得到∠ADE=∠C，得到DE∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可.
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接AD，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠APB=120°，
∴∠APD=60°，
又∵∠DCA=∠DBA，∠CDB=∠CAB，
∴△PCD∽△PBA，
∴，
故答案为：A .
【分析】连接AD，BC，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，然后根据两角对应相等得到△PCD∽△PBA，根据对应边成比例和余弦的定义解答即可.
8．【答案】D
【知识点】列一元一次方程；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：甲：设客房有x 间，总人数为7x+7(每间7人余7人)，或 (每间9人空一房)，方程正确。
乙：设客人有y人，方程应为 (考虑空房)，原方程正确。
丙：设客房x 间，客人y人，方程组 正确。
故答案为：D .
【分析】根据所设未知数，利用“客房和客人数量不变”列方程（组）解答即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：解：当点P从点C到点A时，
∵用了2秒，△CPE的面积为8，
，
当点P到点D时，
∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE是 的中位线，
当点P从点D到点E时，
故答案为：C .
【分析】根据动点到达点A时，y=8，求出AC和AD长，再根据点P到达点D时计算△CPE的面积求出a的值；再根据三角形的中位线求出DE长，即可求出b的值解答即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴有两个交点，
∵对称轴为
在y轴负半轴上，
当x=1时，a+b+c>0，
则 在第一象限，
∴过点M(2a+b， -c)和点 的直线一定不经过第二象限.
故答案为：B .
【分析】根据二次函数 的图象得到a<0，b>0，c>0，b2-4ac>0，a+b+c>0，即可得到点M和N的位置，进而判断直线经过的象限解答即可.
11．【答案】(x-3)(x+3)
【知识点】整式的混合运算；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： (x-1)(x+2)-x-7=x2-x+2x-2-x-7=x2-9=(x+3)(x-3)，
故答案为：(x+3)(x-3) .
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则展开合同同类项，再根据平方差公式分解因式即可.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
13．【答案】72
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ ABCDE是正五边形，
∴AE=ED=DC，∠AED=∠CDE=，
∴∠ADE=∠DEC=，
∴∠AFE=∠ADE+∠DEC=36°+36°=72°，
故答案为：72 .
【分析】根据正五边形的性质得到AE=ED=DC，∠AED=∠CDE=108°，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出ADE=∠DEC=36°，再根据三角形的外角性质解答即可.
14．【答案】
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵AC=2，BC=1，
∴，
又∵AD=AB=，点D在负半轴，
∴点D表示的数为，
故答案为： .
【分析】根据勾股定理求出AD长，再根据点D在负半轴求出点D表示的数即可.
15．【答案】-5
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，
∵ 过原点的直线与双曲线 交于B， C两点，
∴OB=OC，
∴，
又∵CA=CO，
∴AD=OD，
∴，
即，
又∵图象在二、四象限，
∴k=-5
故答案为：-5 .
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，根据双曲线的对称性求出OC=OB，即可求出△OAC的面积，然后根据等腰三角形的三线合一求出AD=OD，即可得到△OCD的面积，再根据反比例函数比例系数k的几何意义解答即可.
16．【答案】6
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∵ABCD是菱形，
∴∠ACB=∠ACD，BC=CD=12，AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=60°，
∴∠ACB=30°，
∴，
∴，
根据垂线段最短可得DP+PE的最小值为DF长，
这时，
故 的最小值为6，
故答案为：6 .
【分析】过点P作PE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据菱形的性质得到∠BCD==60°，∠ACB=30°，根据30°的直角三角形的性质得到，即可得到，根据垂线段最短得到最小值为DF长，再根据正弦的定义解答即可.
17．【答案】解：
=-2
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算绝对值、零次幂、负整数次幂和乘方，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，最后合并同类二次根式计算即可.
18．【答案】解：
∵x≠1，-3
∴x=3
原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先运算括号内的通分，然后把除法化为乘法，因式分解约分化简，再根据分式有意义的条件得到x的值，代入计算即可.
19．【答案】（1）解：如图，点F即为所作；
.
（2）证明：∵点E为AC中点，
∴△AED≌△CEF(ASA)，
∵点 D为AB边上的中点，
∴BD=AD， 即 BD=CF.
∵∠ACF=∠BAC，
∴BD∥CF，
∴四边形 DBCF 是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可；
（2）根据ASA证明△AED≌△CEF，即可得到进而可得 BD=CF，再根据内错角相等，两直线平行得到BD∥CF，即可得到四边形DBCF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可.
20．【答案】（1）解：由题意可得， 总人数为 9÷20%=45 (人)，
C 级人数：45-3-21-9=12 (人)，
补充完整的条形统计图如图所示：
（2）解：由题意可得： (人)，
（3）解：树状图如下所示：
一共存在 20种等可能性结果，抽到的两人恰好是一男生一女生的结果有 12种，
∴抽到的一男生一女生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)由C级的人数除以所占百分比即可；
(2)用样本中获得五星、四星等级的志愿者的占比乘以舍去参与评定人数解答即可.；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，女生被选中的结果有6种，再由概率公式求解即可.
21．【答案】（1）解：过点C向正南作垂线得l3， 记A、B两处南北方向直线为l1、l2.
C港在A港北偏东20°方向，在 B港北偏西40°方向，
∵l1∥l2∥l3

（2）解：由题意得， ∠CAB=65°-20°=45°， ∠ACB=60°， AB=120海里，
如图， 过点 B作BE⊥AC于 E，
∴∠AEB =∠CEB =90°，
在 Rt△ABE中， ∠ABE = 45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
海里，
在 Rt△CBE中， ∠ACB = 60°， tan∠ACB =BE，
海里，
海里，
小时
答：从C港直接返回A港，大约需航行6.7小时.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等和角的和差求出∠ACB的度数即可；
（2）过点 B作BE⊥AC于 E，在 Rt△ABE中，根据正弦的定义求出AE和BE长，再在Rt△CBE中，根据正切的定义求出CE长，即可求出AC的长，根据路程÷速度=时间计算即可.
22．【答案】（1）解：设每组托盘天平的单价是x元，铁架台的单价是y元，
依题意得： 解得：
所以，托盘天平的单价是60元，铁架台的单价是40元.
（2）解：设购进托盘天平m套，则购进铁架台(30-m)套，
依题意得：
解不等式①得： m≤15.
解不等式②得： m≥10.
∴m的取值范围为： 10≤m≤15，
∵采购总费用W =60m+40(30-m)=20m+1200， k = 20>0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m = 10 时最省钱， 此时， 30-m=20， W=1400 元
∴安排采购10套托盘天平，20套铁架台，最低采购总费用1400元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每组托盘天平的单价是x元，铁架台的单价是y元，根据“ 购买3套托盘天平和2套铁架台共需260元；购买2套托盘天平和3套铁架台共需240 元 ”列方程组求出x和y的值解答即可；
（2）设购进托盘天平m套，则购进铁架台(30-m)套，根据“ 采购总费用不超过 1500元，且托盘天平的数量不少于铁架台数量的一半 ”列不等式组求出m的取值范围，再设采购总费用W元，列W关于m的一次函数，根据函数的增减性求出最低采购费用即可.
23．【答案】（1）证明：如图， 连接OD，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
∵DE∥AB，
∴∠DEB=180°-∠ABC=90°，
∵OC=OD，
∴∠1=∠3，
又∵CD平分∠ACE，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BE，
∴∠ODE=180°-∠DEB=90°，
又∵OD为半径，
∴DE为⊙O切线；
（2）解：延长DO交AB于点 F，
∵∠ODE=∠DEB=∠B=90°，
∴四边形 FDEB为矩形，
∴∠DFB=90°，即 OF⊥AB，
∵OF过圆心， BF=DE=5
∴AB=2BF=10，
∵⊙O的半径为
∴在直角三角形ABC中，
∴BC=4.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接OD，根据圆周角定理得到 根据平行线的性质得到 根据等腰三角形的性质得到 求得 E，得到OD∥CE，根据切线的判定定理得到结论；
(2)延长DO交AB于H，先证明DFBE是矩形，根据矩形的性质和垂径定理得到AB=2BF=10，然后根据勾股定理求出BC 长解答即可.
24．【答案】（1）解：∵点B的坐标是(0， 6)，点C为OB中点，
将△ABC绕着点顺时针旋转90°得到△A1BC1，即 BC1=BC=3，
∠CBC1=90°，
∴C1(-3， 6)，
∵反比例函数 的图象经过点 C1，故将(-3，6)代入 求得k=-18，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：如图作A1H⊥y轴于 H，
∵∠AOB=∠A1HB=∠ABA1=90°，
∴∠ABO+∠A1BH=90°， ∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠A1BH
∴在△AOB和△BHA1中
∴△AOB≌△BHA1(AAS)，
∴OA=BH， OB=A1H，
∵OA=4， OB=6，
∴BH=OA=4， A1H=OB=6，
∴OH=BO-BH=2，
∴A1(-6， 2)，
过A1作A1G⊥x轴于 G，如图：
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据中点得到OC=BC=3，然后根据旋转的性质得到点C1的坐标，然后代入反比例函数的解析式求出k的值解答即可；
（2）作A1H⊥y轴于 H，根据AAS得到△AOB≌△BHA1，即可得到OA=BH，OB=A1H，进而求出点A1的坐标，过A1作A1G⊥x轴于 G，然后根据计算即可.
25．【答案】（1）解：如图，
∵四边形 BFDE为三等角四边形，∠B=135°，四边形 BFDE的内角和为360°
∴∠B为“异角”，
（2）解：如图②，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
由折叠可知， ∠DEG=∠A，
∵∠DEB+∠DEG=180°，
∴∠DEB+∠A=180°，
∴∠B=∠DEB；
同理， ∠B=∠DFB，
∴∠B=∠DEB=∠DFB，
∴四边形 DEBF是三等角四边形.
（3）解：如图，过点D作DE∥BC， DF∥AB，
∴四边形 EBFD是平行四边形， ∠AED=∠B=∠DFC，
∴DF=BE， DE=FB，
∵DA=DE=BF=8，EB=DF=DC，
设 DC=EB=x， BC=y，
∴CF=BC-BF=y-8， AE=AB-EB=8-x，
∵∠A=∠B=∠C， ∠AED=∠B=∠DFC，
∴△DFC∽△DAE，
即：
∴当x=4时， y有最大值10，
∴BC长的最大值为10
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据三等角四边形的定义，求出∠EDF的度数即可；
(2)根据平行四边形的性质得到得到∠B+∠A=180°，根据折叠的性质得到∠B=∠DEB=∠DFB，然后根据 四边形 BFDE为三等角四边形的定义判断即可.
(3)过点D作DE∥BC，DF∥AB，设 DC=EB=x， BC=y，根据两角对应相等得到△DFC∽△DAE，根据对应边成比例得到y关于x的二次函数，配方得到顶点式，求出最大值解答即可.
26．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为(2，8)，
设函数表达式为 图象过点点C(0，6)，
解得，
∴二次函数的表达式为
即
（2）解：如图，连接BM，
由(1)得：二次函数的表达式为
当y=0时， 解得：
∴点A 的坐标为(-2， 0)，点 B 的坐标为(6， 0)，
∵A、B关于对称轴直线x=2对称，点 M在对称轴上，
∴MA=MB，
∴△ACM的周长=AC+CM+AM=AC+CM+BM，
∴当B、M、C三点共线时， △ACM的周长最小，
设直线 BC的函数解析式为y= mx+n，代入B(6， 0) ， C(0， 6) ，
得 解得
∴直线 BC的函数解析式为y=-x+6，
∵点M的横坐标为x=2，
∴点M的坐标为(2， 4)；
（3）解：存在，理由如下：
∵点Q在抛物线的对称轴上，点 P 在抛物线上，
∴设Q(2， q)，
①当AB为对角线时，
解得：
∴P=2时， P(2， 8)；
②当BQ为对角线时，
解得：
∴P=10时，
③当BP为对角线时，
解得：
∴P=-6时，
综上可知：点 P坐标为(2， 8)或(10， - 24)或(-6， - 24).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据顶点式求出二次函数的解析式即可；
（2）连接BM，求出抛物线与x轴的交点坐标，根据对称性可得MA=MB，即可得到当B、M、C三点共线时， △ACM的周长最小， 根据待定系数法求出BC的解析式，然后求出点M的坐标即可；
（3）设Q(2， q)， 然后分为AB为对角线，BQ为对角线，BP为对角线三种情况，根据中点坐标公式列方程组求出p，q的值解答即可.
1 / 1四川省广元市旺苍县2026年春九年级学业水平第三次诊断测试数学试卷
1．若实数a的相反数是-4，则a等于（　　）
A．4 B．- 4 C．±4 D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：∵ 实数a的相反数是-4，
∴a=4，
故答案为：A .
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项怒符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意.
故答案为：C .
【分析】根据轴对称图形的定义，即一个图形的一部分沿某条直线对折能与另一部分重合，及中心对称图形的定义，即一个图形绕某点旋转 后能与原图形重合，进行判断即可.
3．下列计算正确的是（　　）
A．3a-2a=1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： 原计算错误；
B.，原计算错误；
原计算错误；
计算正确；
故答案为：D .
【分析】根据同类项的合并、同底数幂的乘法、积的乘方和完全平方公式计算判断即可.
4．某同学对数据12，12，18，2m，25进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为18，与被涂污数字无关.
故答案为：B .
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断.
5．已知关于x的一元二次方程 的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：观察数轴可知：a<0，b<0，c>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C .
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答，即可求解.
6． 如图，在△ABC中，已知∠EFG+∠GDC=180°， ∠FED=∠C， ∠B=55°，则∠BED的度数是（　　）
A．135° B．125° C．115° D．75°
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠EFG+∠GDC=180°， ∠GDC+∠ADG=180°，
∴∠ADG=∠EFG，
∴EF∥AC，
∴∠FED=∠ADE，
又∵∠FED=∠C，
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC，
∠BED=180°-∠B=180°-55°=125°，
故答案为：B .
【分析】根据统计奥德补角相等得到∠ADG=∠EFG，即可得到EF∥AC，进而根据两直线平行，内错角相等和等量代换得到∠ADE=∠C，得到DE∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可.
7．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于P点，若∠APB=120°.则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接AD，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠APB=120°，
∴∠APD=60°，
又∵∠DCA=∠DBA，∠CDB=∠CAB，
∴△PCD∽△PBA，
∴，
故答案为：A .
【分析】连接AD，BC，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，然后根据两角对应相等得到△PCD∽△PBA，根据对应边成比例和余弦的定义解答即可.
8．《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.李三公家的店有多少间客房，来了多少位房客.下列解题方案：①设客房有x间，则 7x+7=9 (x-1)； ②设客人有y位，则 ③设客房有x间，客人有y位，则 正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】列一元一次方程；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：甲：设客房有x 间，总人数为7x+7(每间7人余7人)，或 (每间9人空一房)，方程正确。
乙：设客人有y人，方程应为 (考虑空房)，原方程正确。
丙：设客房x 间，客人y人，方程组 正确。
故答案为：D .
【分析】根据所设未知数，利用“客房和客人数量不变”列方程（组）解答即可.
9． 如图①， Rt△ABC中， ∠A=90°，点D、E分别是边BA、BC的中点，动点P从点 C 出发，以每秒2(cm)的速度沿 C→A→D→E的方向运动，到达点E时停止.设点P运动x(s)时，△CPE的面积为y(cm2)，如图②是y关于x的函数图象，则图②中a，b的值分别是（　　）
A．2， 5 B．2， 6 C．4， 5 D．4， 6
【答案】C
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：解：当点P从点C到点A时，
∵用了2秒，△CPE的面积为8，
，
当点P到点D时，
∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE是 的中位线，
当点P从点D到点E时，
故答案为：C .
【分析】根据动点到达点A时，y=8，求出AC和AD长，再根据点P到达点D时计算△CPE的面积求出a的值；再根据三角形的中位线求出DE长，即可求出b的值解答即可.
10． 二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，那么过点M(2a+b， - c)和点 的直线一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴有两个交点，
∵对称轴为
在y轴负半轴上，
当x=1时，a+b+c>0，
则 在第一象限，
∴过点M(2a+b， -c)和点 的直线一定不经过第二象限.
故答案为：B .
【分析】根据二次函数 的图象得到a<0，b>0，c>0，b2-4ac>0，a+b+c>0，即可得到点M和N的位置，进而判断直线经过的象限解答即可.
11．分解因式： (x-1)(x+2)-x-7=　 　
【答案】(x-3)(x+3)
【知识点】整式的混合运算；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： (x-1)(x+2)-x-7=x2-x+2x-2-x-7=x2-9=(x+3)(x-3)，
故答案为：(x+3)(x-3) .
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则展开合同同类项，再根据平方差公式分解因式即可.
12． 2026年，我国天问二号深空探测器按计划开启小行星探测任务，探测器往返星际飞行的总里程约720000000千米.其中数据720000000用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
13．如图，在正五边形ABCDE中，连接AD， CE相交于点 F，则∠AFE的度数为　 　度.
【答案】72
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ ABCDE是正五边形，
∴AE=ED=DC，∠AED=∠CDE=，
∴∠ADE=∠DEC=，
∴∠AFE=∠ADE+∠DEC=36°+36°=72°，
故答案为：72 .
【分析】根据正五边形的性质得到AE=ED=DC，∠AED=∠CDE=108°，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出ADE=∠DEC=36°，再根据三角形的外角性质解答即可.
14．如图，在数轴上点A表示原点，点C表示的数是-2， ∠ACB=90°且BC=1.以点A为圆心、AB长为半径画弧，交数轴原点左边于点 D，则点 D表示的数是　 　.
【答案】
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵AC=2，BC=1，
∴，
又∵AD=AB=，点D在负半轴，
∴点D表示的数为，
故答案为： .
【分析】根据勾股定理求出AD长，再根据点D在负半轴求出点D表示的数即可.
15．如图，过原点的直线与双曲线 交于B， C两点，点A在x轴上，且CO=CA，若 则k的值为　 　.
【答案】-5
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，
∵ 过原点的直线与双曲线 交于B， C两点，
∴OB=OC，
∴，
又∵CA=CO，
∴AD=OD，
∴，
即，
又∵图象在二、四象限，
∴k=-5
故答案为：-5 .
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，根据双曲线的对称性求出OC=OB，即可求出△OAC的面积，然后根据等腰三角形的三线合一求出AD=OD，即可得到△OCD的面积，再根据反比例函数比例系数k的几何意义解答即可.
16．如图，四边形ABCD是菱形， BC=12，且∠B=120°， P为对角线AC上任意一点(不与C重合)，则 的最小值为　 　.
【答案】6
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∵ABCD是菱形，
∴∠ACB=∠ACD，BC=CD=12，AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=60°，
∴∠ACB=30°，
∴，
∴，
根据垂线段最短可得DP+PE的最小值为DF长，
这时，
故 的最小值为6，
故答案为：6 .
【分析】过点P作PE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据菱形的性质得到∠BCD==60°，∠ACB=30°，根据30°的直角三角形的性质得到，即可得到，根据垂线段最短得到最小值为DF长，再根据正弦的定义解答即可.
17． 计算：
【答案】解：
=-2
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算绝对值、零次幂、负整数次幂和乘方，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，最后合并同类二次根式计算即可.
18．先化简，再求值： 从-3，-1，3中选择合适的x的值代入求值.
【答案】解：
∵x≠1，-3
∴x=3
原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先运算括号内的通分，然后把除法化为乘法，因式分解约分化简，再根据分式有意义的条件得到x的值，代入计算即可.
19．我们在探究三角形中位线定理时，可以通过将三角形转化为平行四边形的方式来证明.如图，已知在△ABC中， D、E分别为AB、AC的中点.
（1）请在图中按要求完成尺规作图：在线段AC右侧作射线CF，使得∠ACF=∠BAC，射线CF交DE的延长线于点F(不要求写作法，保留作图痕迹)；
（2）在(1)所作的图形中，求证：
【答案】（1）解：如图，点F即为所作；
.
（2）证明：∵点E为AC中点，
∴△AED≌△CEF(ASA)，
∵点 D为AB边上的中点，
∴BD=AD， 即 BD=CF.
∵∠ACF=∠BAC，
∴BD∥CF，
∴四边形 DBCF 是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可；
（2）根据ASA证明△AED≌△CEF，即可得到进而可得 BD=CF，再根据内错角相等，两直线平行得到BD∥CF，即可得到四边形DBCF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可.
20．某社区开展了“志愿者时长星级评定”活动，随机抽取部分居民的评定结果统计如下，结果分为四个等级：A级为五星志愿者，B级为四星志愿者，C级为三星志愿者，D级为一星志愿者，统计结果如图所示.根据不完全统计图中的信息解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的总人数，并补全条形统计图；
（2）若该社区共有1350名居民参与评定，请估计该社区能获得五星、四星等级的志愿者共有多少人
（3）本次评定中排名前五的居民里，有两名女生、三名男生，现从中随机抽取两人分享心得，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两人恰好是一男生一女生的概率.
【答案】（1）解：由题意可得， 总人数为 9÷20%=45 (人)，
C 级人数：45-3-21-9=12 (人)，
补充完整的条形统计图如图所示：
（2）解：由题意可得： (人)，
（3）解：树状图如下所示：
一共存在 20种等可能性结果，抽到的两人恰好是一男生一女生的结果有 12种，
∴抽到的一男生一女生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)由C级的人数除以所占百分比即可；
(2)用样本中获得五星、四星等级的志愿者的占比乘以舍去参与评定人数解答即可.；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，女生被选中的结果有6种，再由概率公式求解即可.
21．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行120海里至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向.
（1）求∠ACB的度数；
（2）若该船从C港直接返回A港，航速为20海里/小时，求返回大约所需的航行时间.(参考数据： 结果精确到0.1小时)
【答案】（1）解：过点C向正南作垂线得l3， 记A、B两处南北方向直线为l1、l2.
C港在A港北偏东20°方向，在 B港北偏西40°方向，
∵l1∥l2∥l3

（2）解：由题意得， ∠CAB=65°-20°=45°， ∠ACB=60°， AB=120海里，
如图， 过点 B作BE⊥AC于 E，
∴∠AEB =∠CEB =90°，
在 Rt△ABE中， ∠ABE = 45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
海里，
在 Rt△CBE中， ∠ACB = 60°， tan∠ACB =BE，
海里，
海里，
小时
答：从C港直接返回A港，大约需航行6.7小时.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等和角的和差求出∠ACB的度数即可；
（2）过点 B作BE⊥AC于 E，在 Rt△ABE中，根据正弦的定义求出AE和BE长，再在Rt△CBE中，根据正切的定义求出CE长，即可求出AC的长，根据路程÷速度=时间计算即可.
22．某校为保障化学实验课正常开展，决定采购托盘天平和铁架台两种常用实验器材.市场调查发现购买3套托盘天平和2套铁架台共需260元；购买2套托盘天平和3套铁架台共需240 元.
（1）求每套托盘天平和每套铁架台的费用；
（2）学校计划一次性购进两种实验器材共30套，采购总费用不超过 1500元，且托盘天平的数量不少于铁架台数量的一半.请设计最省钱的采购方案，并计算最低总费用.
【答案】（1）解：设每组托盘天平的单价是x元，铁架台的单价是y元，
依题意得： 解得：
所以，托盘天平的单价是60元，铁架台的单价是40元.
（2）解：设购进托盘天平m套，则购进铁架台(30-m)套，
依题意得：
解不等式①得： m≤15.
解不等式②得： m≥10.
∴m的取值范围为： 10≤m≤15，
∵采购总费用W =60m+40(30-m)=20m+1200， k = 20>0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m = 10 时最省钱， 此时， 30-m=20， W=1400 元
∴安排采购10套托盘天平，20套铁架台，最低采购总费用1400元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每组托盘天平的单价是x元，铁架台的单价是y元，根据“ 购买3套托盘天平和2套铁架台共需260元；购买2套托盘天平和3套铁架台共需240 元 ”列方程组求出x和y的值解答即可；
（2）设购进托盘天平m套，则购进铁架台(30-m)套，根据“ 采购总费用不超过 1500元，且托盘天平的数量不少于铁架台数量的一半 ”列不等式组求出m的取值范围，再设采购总费用W元，列W关于m的一次函数，根据函数的增减性求出最低采购费用即可.
23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， AC是⊙O的直径， DE∥AB交BC的延长线于点 E，CD 恰好平分∠ACE.
（1）求证： DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为 求BC的长.
【答案】（1）证明：如图， 连接OD，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
∵DE∥AB，
∴∠DEB=180°-∠ABC=90°，
∵OC=OD，
∴∠1=∠3，
又∵CD平分∠ACE，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BE，
∴∠ODE=180°-∠DEB=90°，
又∵OD为半径，
∴DE为⊙O切线；
（2）解：延长DO交AB于点 F，
∵∠ODE=∠DEB=∠B=90°，
∴四边形 FDEB为矩形，
∴∠DFB=90°，即 OF⊥AB，
∵OF过圆心， BF=DE=5
∴AB=2BF=10，
∵⊙O的半径为
∴在直角三角形ABC中，
∴BC=4.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接OD，根据圆周角定理得到 根据平行线的性质得到 根据等腰三角形的性质得到 求得 E，得到OD∥CE，根据切线的判定定理得到结论；
(2)延长DO交AB于H，先证明DFBE是矩形，根据矩形的性质和垂径定理得到AB=2BF=10，然后根据勾股定理求出BC 长解答即可.
24． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4， 0)，点B的坐标是(0， 6)，点C为OB中点.将△ABC绕着点B顺时针旋转90°得到△A1BC1.
（1）反比例函数 的图象过点 C1，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A1两点，求△ACA1的面积.
【答案】（1）解：∵点B的坐标是(0， 6)，点C为OB中点，
将△ABC绕着点顺时针旋转90°得到△A1BC1，即 BC1=BC=3，
∠CBC1=90°，
∴C1(-3， 6)，
∵反比例函数 的图象经过点 C1，故将(-3，6)代入 求得k=-18，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：如图作A1H⊥y轴于 H，
∵∠AOB=∠A1HB=∠ABA1=90°，
∴∠ABO+∠A1BH=90°， ∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠A1BH
∴在△AOB和△BHA1中
∴△AOB≌△BHA1(AAS)，
∴OA=BH， OB=A1H，
∵OA=4， OB=6，
∴BH=OA=4， A1H=OB=6，
∴OH=BO-BH=2，
∴A1(-6， 2)，
过A1作A1G⊥x轴于 G，如图：
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据中点得到OC=BC=3，然后根据旋转的性质得到点C1的坐标，然后代入反比例函数的解析式求出k的值解答即可；
（2）作A1H⊥y轴于 H，根据AAS得到△AOB≌△BHA1，即可得到OA=BH，OB=A1H，进而求出点A1的坐标，过A1作A1G⊥x轴于 G，然后根据计算即可.
25．综合与探究
新定义：在平面内，若一个四边形有三个内角的度数相等，这个四边形叫做三等角四边形，这三个相等的内角称为该四边形的“同角”，第四个内角称为“异角”.
（1）如图①，在 ABCD中， ∠B=135°，点E、F分别为边AB， BC上的动点，若四边形 BFDE为三等角四边形，求∠EDF 的度数；
（2）如图②，折叠平行四边形纸片ABCD，使顶点A，C分别落在边AB，BC上的点E，F处，折痕分别为DG，DH.求证：四边形 EBFD 是三等角四边形；
（3）如图③，在三等角四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C且∠A为锐角， AB=AD=8，求BC长的最大值.
【答案】（1）解：如图，
∵四边形 BFDE为三等角四边形，∠B=135°，四边形 BFDE的内角和为360°
∴∠B为“异角”，
（2）解：如图②，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
由折叠可知， ∠DEG=∠A，
∵∠DEB+∠DEG=180°，
∴∠DEB+∠A=180°，
∴∠B=∠DEB；
同理， ∠B=∠DFB，
∴∠B=∠DEB=∠DFB，
∴四边形 DEBF是三等角四边形.
（3）解：如图，过点D作DE∥BC， DF∥AB，
∴四边形 EBFD是平行四边形， ∠AED=∠B=∠DFC，
∴DF=BE， DE=FB，
∵DA=DE=BF=8，EB=DF=DC，
设 DC=EB=x， BC=y，
∴CF=BC-BF=y-8， AE=AB-EB=8-x，
∵∠A=∠B=∠C， ∠AED=∠B=∠DFC，
∴△DFC∽△DAE，
即：
∴当x=4时， y有最大值10，
∴BC长的最大值为10
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据三等角四边形的定义，求出∠EDF的度数即可；
(2)根据平行四边形的性质得到得到∠B+∠A=180°，根据折叠的性质得到∠B=∠DEB=∠DFB，然后根据 四边形 BFDE为三等角四边形的定义判断即可.
(3)过点D作DE∥BC，DF∥AB，设 DC=EB=x， BC=y，根据两角对应相等得到△DFC∽△DAE，根据对应边成比例得到y关于x的二次函数，配方得到顶点式，求出最大值解答即可.
26．如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C(0， 6) ，顶点D坐标为(2，8)
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△ACM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形 若存在，求出满足条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为(2，8)，
设函数表达式为 图象过点点C(0，6)，
解得，
∴二次函数的表达式为
即
（2）解：如图，连接BM，
由(1)得：二次函数的表达式为
当y=0时， 解得：
∴点A 的坐标为(-2， 0)，点 B 的坐标为(6， 0)，
∵A、B关于对称轴直线x=2对称，点 M在对称轴上，
∴MA=MB，
∴△ACM的周长=AC+CM+AM=AC+CM+BM，
∴当B、M、C三点共线时， △ACM的周长最小，
设直线 BC的函数解析式为y= mx+n，代入B(6， 0) ， C(0， 6) ，
得 解得
∴直线 BC的函数解析式为y=-x+6，
∵点M的横坐标为x=2，
∴点M的坐标为(2， 4)；
（3）解：存在，理由如下：
∵点Q在抛物线的对称轴上，点 P 在抛物线上，
∴设Q(2， q)，
①当AB为对角线时，
解得：
∴P=2时， P(2， 8)；
②当BQ为对角线时，
解得：
∴P=10时，
③当BP为对角线时，
解得：
∴P=-6时，
综上可知：点 P坐标为(2， 8)或(10， - 24)或(-6， - 24).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据顶点式求出二次函数的解析式即可；
（2）连接BM，求出抛物线与x轴的交点坐标，根据对称性可得MA=MB，即可得到当B、M、C三点共线时， △ACM的周长最小， 根据待定系数法求出BC的解析式，然后求出点M的坐标即可；
（3）设Q(2， q)， 然后分为AB为对角线，BQ为对角线，BP为对角线三种情况，根据中点坐标公式列方程组求出p，q的值解答即可.
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