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四川省成都市2026年中考数学真题
1．某人转动转盘，如果用+3圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作(　　)
A．-5圈 B．-2圈 C．+5圈 D．+8圈
2．2026年5月18日，中国卫星导航定位协会在北京发布《2026中国北斗时空产业发展白皮书》.白皮书数据显示，2025年国内北斗终端产品总销量超过4.1亿台/套，其中具有北斗定位功能的智能手机出货近2.8亿部，车载导航仪终端销量超过2400万台.将数据4.1亿用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(　　)
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
5．如图，已知△ABC≌△FDE，∠A=40°，∠E=62°，则∠EDF的度数为(　　)
A．40° B．62° C．78° D．102°
6．有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，剩余14竿；每人8竿，恰好用完.则牧童的人数和竹竿的根数分别为(　　)
A．8，64 B．7，56 C．6，48 D．5，40
7．为了估计瓶中豆子的数量，先从瓶中取出100颗豆子，并给这些豆子做上记号，然后把这些豆子放回瓶中，充分摇匀，再从瓶中随机取出60颗豆子，发现其中有5颗豆子带有记号，则瓶中豆子的颗数约为(　　)
A．300 B．600 C．1000 D．1200
8．已知二次函数 的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 3 …
y … 3 4 3 0 -12 …
下列说法错误的是(　　)
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线x=-1
C．2a+c=0 D．
9．因式分解： =　 　；
10．在平面直角坐标系xOy中，点P(3，-5)关于y轴对称的点的坐标为　 　.
11．人的视觉机能受运动速度的影响很大.在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f(单位：°)与车速v(单位：km/h)之间的关系式是 当车速为80km/h时，他的视野为　 　°.
12．正八边形的每个内角的度数都为　 　.
13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，分别以B，C两点为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧在矩形ABCD 内部交于点 P，则点 P 到AD 所在直线的距离为　 　.
14．（1）计算：
（2）解不等式组：
15．为践行“健康第一”的教育理念，某校开展了创意课间操比赛，甲、乙两个参赛队进入决赛，决赛由5位教师评委和20位学生评委给两队打分(单位：分)，该校将按最终成绩择优推广其中一队的创意课间操.赛后对评委打分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
①教师评委给甲队的打分分别为：80 84 84 86 91
②学生评委给甲队的打分的频数分布直方图如图(分数用x表示，数据分为4组，第1组：60≤x<70，第2组；70≤x<80，第3组：80≤x<90，第4组：90≤x≤100)：
③评委对甲队打分数据的平均数、中位数、众数如下：
　 平均数 中位数 众数
教师评委 a 84 b
学生评委 82 m 85
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a的值为　 　，b的值为　 　；
（2）m的值位于学生评委对甲队打分数据分组的第　 　组，若教师评委、学生评委对甲队打分数据的方差分别记为s2，s2，则　 　(填“>”或“<”)；
（3）学校将教师评委、学生评委打分的平均分按3：2的比例确定两队的最终成绩.已知乙队的最终成绩为83分，试判断该校将推广哪个队的创意课间操，并说明理由.
16．尊老敬老是中华民族的传统美德.某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家庭免费安装智能门锁.如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A拍摄的最大仰角为30°，最大俯角为52.43°，某人站在门外距离门底部B点0.9米的N处时，摄像头A恰好能拍摄到站立点 N及头顶M.已知AB⊥BN，MN⊥BN，求此人的头顶M到站立点 N的距离.(结果精确到0.01米；参考数据： ≈1.732，sin52.43°≈0.793，cos52.43°≈0.610，tan52.43°≈1.300)
17．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在圆上取一点 E，使 连接CE，BE.
（1）求证：∠ACD+∠CBE=90°；
（2）若 求⊙O 的半径和BE 的长.
18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与反比例函数 的图象相交于A(1，a)，B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D.
（1）求线段AB的长；
（2）已知P为y轴正半轴上一点，若△ABP为直角三角形，求点 P的坐标；
（3）如图2，将线段 DA，AC组成的折线段“D-A-C”沿x轴正方向平移得到折线段“D'-A'-C''，点D，A，C的对应点分别为D'，A'，C'. A'C'与反比例函数的图象交于点E，直线BD'与反比例函数的图象在第一象限交于点 F，OE 与C'F交于点 G.试探究：在平移过程中， 的值是否为定值 若是，求出这个值；若不是，请说明理由.
19．已知a+2b=3，则2(2a-b)+10b+4=　 　.
20．现有两张除颜色外完全相同的卡片，分别从中间剪开，共分成全等的四片，洗匀后放在口袋里.从这四片中随机同时取出两片，则取出的两片颜色相同的概率为　 　.
21．把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常见策略.已知(a，b为常数)，则a+b=　 　.
22．如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AD 为△ABC 的一条中线，E为AC上一点，∠ADE=∠B.若AE=5，CE=2，则AB=　 　.
23．在平面直角坐标系xOy中，设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，记 例如，若M(1，3)，则L(O，M)=|0-1|+|0-3|=4.若点N满足L(O，N)=1，则所有N点组成的图形面积为　 　；已知A是直线y=kx(k>0)上一点且位于第一象限，OA=2，点P在OA上，点 Q满足L(P，Q)=1，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为 ，则k=　 　.
24．成都，一座雪山下的公园城市.全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间.图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲.图2中l1，l2分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s(单位：m)与追赶时间t(单位：min)之间的关系，假设两人均保持现有的速度.
（1）直接写出l1，l2的函数表达式；
（2）如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4.问乙能比甲先到达景点4吗 请说明理由.
25．在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究.如图，△ABC≌△EAD，AB=AC=nBC(n>1)，点D在AC边上，延长ED交AB 于点 F.
（1）【初步感知】求证：
（2）【深入探究】如图1，当n=2，AD=1时，求BF的长；
（3）【拓展延伸】如图2，将△EAD 绕点 E 按逆时针方向旋转一定角度(小于90°)得到△EA'D'，若F，A'，D'三点共线，且点A的对应点A'满足A'A⊥A'B，求n的值.
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2(k>0)与抛物线 相交于A，B两点.C，D两点在抛物线上，且CD∥AB.
（1）若点A 的坐标为(-1，1)，求k的值和点 B的坐标；
（2）在(1)的条件下，记C，D两点的横坐标分别为m，n(m（3）若AB=2CD，直线AC，BD的交点E恰好落在x轴正半轴上，求点E的坐标和k的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵顺时针方向与逆时针方向的意义相反，
∴如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作圈．
故答案为：A.
【分析】规定沿逆时针方向转为正数，那么沿顺时针方向转即为负数，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、图形经过折叠可以围成一个棱柱，符合题意；
B、底面图形的边数与侧面的个数不一致，不能围成棱柱，不符合题意；
C、两个底面图形不一致，不能围成棱柱，不符合题意；
D、两个底面都在同一侧，不能围成棱柱，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据三棱柱的展开图逐项判断解答即可.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，此项错误；
B、与不是同类项，不可合并，此项错误；
C、，此项正确；
D、，此项错误．
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、完全平方公式法则逐项判断解答即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理解答即可．
6．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设牧童的人数为人，
由题意得：，
解得，
则，
所以牧童的人数为7人，竹竿的根数为56根．
故答案为：B.
【分析】设牧童的人数为人，根据竹竿总数不变列方程，求出x的值解答即可．
7．【答案】D
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：设瓶中豆子的颗数约为颗，
由题意得：，
解得，经检验，是所列分式方程的解，
则瓶中豆子的颗数约为1200颗．
故答案为：D.
【分析】设瓶中豆子的颗数约为颗，根据总体中带记号豆子的频率与样本中带记号豆子的频率相等列方程求出x，并检验解答即可．
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将点代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴函数图象的开口向下，则选项A正确，不符合题意；
将二次函数化成顶点式为，
∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确，不符合题意；
又∵，
∴，则选项C错误，符合题意；
，则选项D正确，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质、系数关系和根的判别式计算逐项判断即可．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： = x(x-3)，
故答案为： .
【分析】直接用提公因式法分解即可。
10．【答案】(-3，-5)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：.
【分析】根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变”解答即可．
11．【答案】50
【知识点】函数值；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意，将代入得：，
即他的视野为．
故答案为：50.
【分析】将v=80代入函数解析式求出f的值解答即可.
12．【答案】135°
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正八边形的内角和为，
∵正八边形共有8个内角，且每个内角都相等，
∴正八边形的每个内角的度数都为．
故答案为：135°.
【分析】根据多边形的内角和公式(n-2)·180°解答即可．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，过作，延长交于点，如图，
由题意可得，四边形为矩形，，
则，为线段的中点，即，
线段的长为点P到所在直线的距离，
由勾股定理可得，，
∴，
则点P到所在直线的距离为．
故答案为：．
【分析】连接，过作，延长交于点，即可得到，根据三线合一得到为线段的中点，利用勾股定理求出PF长解答即可．
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝对值，然后合并同类二次根式解答即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
15．【答案】（1）85；84
（2）3；
（3）解：甲队，理由：
教师评委给甲队打分的平均数为85，学生评委给甲队打分的平均数为82，甲队的最终成绩为：，
乙队的最终成绩为83分，
∵，
∴该校将推广甲队的创意课间操．
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；加权平均数及其计算；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：教师评委的平均数为，
教师评委给甲队的打分分别为：80，84，84，86，91，∴众数；
故答案为：85；84；
（2）解：共有20位学生评委，中位数应该是第10、11位学生评委打分的平均数，由频数分布直方图可知，第1组：有2人，第2组：有7人，此时共9人，第3组：有6人，此时共15人，∴第10、11位学生评委的打分落在第3组，即中位数m在第3组；
教师评委对甲队打分数据分别为80，84，84，86，91，数据比较集中，且方差为：
，
学生评委对甲队打分数据分为四组，分布范围从60到100，数据比较分散，根据方差反映数据的波动程度，数据越分散，波动越大，方差越大，数据越集中，波动越小，方差越小，因此；
故答案为：3；<；
【分析】（1）根据平均数和众数定义解答即可；
（2）根据中位数定义求出m的值，根据方差公式求出，然后比较两个方差的大小解答即可；
（3）通过计算加权平均数得到甲队的平均数，然后比较解答即可．
16．【答案】解：过点A作于点C，
根据题意可知：四边形是矩形，
米，
在中，，
∴，
在中，，
米，
∴米，
答：此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点A作于点C，即可得到四边形是矩形，进而可得米，根据正切的定义求出，长，然后根据线段的和差解答即可．
17．【答案】（1）证明：∵为的直径，
∴，即
又∵，
∴
∵
∴
∴；
（2）解：设的半径为，
由（1）可得，
∴ ，
∴，
解得：，，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，过点作于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，利用根据同角的余角相等可得，然后根据圆周角定理的推论可得，即可得到结论；
（2）设的半径为，由（1）得到，根据正弦的定义求出，，然后在中利用勾股定理求得，进而可得∠A的余弦值，再根据弧‘弦、圆心角的关系得到，过点作于点解直角三角形求得长，解答即可．
18．【答案】（1）解：∵在反比例函数上，代入得，即，
将代入得，直线为，
∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，
∴，
由两点距离公式：；
（2）解：设，，
分三种情况讨论直角位置： ①：由勾股定理得，
则，
化简得，
故（负值已舍去），
即；
②：由勾股定理得，
则，
解得，
即；
③：由勾股定理得，
则，
解得： ，不符合，舍去；
综上，若为直角三角形，则或；
（3）解：根据（1）可知，
∴，
设平移距离为，则平移后各点坐标：，，，
设直线的解析式为，
代入点和点得，
解得：，
∴直线的解析式为，
直线的解析式与联立得，整理得，
解得：或，
∴点，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线的解析式和直线的解析式得，
解得：，
即交点的横坐标，
过点分别作轴，轴，
则，
∴，
∵，
∴．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数解析式求出点A坐标，然后代入正比例函数求出解析式，根据对称性得到，利用两点间距离公式解答即可；
（2）设，，分 ①，②，③三种情况，根据勾股定理列方程求出p的值解答即可；
（3）设平移距离为，即可得到平移后的，，，利用待定系数法求出直线的解析式，与反比例函数联立，求出交点F的坐标，求出、的解析式，联立求出交点的横坐标，过点分别作轴，轴，根据平行线分线段成比例解答即可．
19．【答案】16
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：16.
【分析】先去括号，再合并同类项化简为，然后整体代入计算即可．
20．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设原来的两张卡片为和，剪开后得到的四张卡片分别记为，其中的颜色相同，的颜色相同，画出树状图如下：
由图可知，从这四片中随机同时取出两片共有12种等可能的结果，其中，取出的两片颜色相同的结果有4种，
则取出的两片颜色相同的概率为．
故答案为：.
【分析】画出树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可得．
21．【答案】2
【知识点】分式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：2.
【分析】先将等号右侧部分同分整理，然后根据对应系数相等列方程组，求出的值，然后代入求和解答即可．
22．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵为的一条中线，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵
∴，
解得：，
∴，
故答案为：.
【分析】设，则，根据勾股定理求出长，过点作于点，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求得，即可得到，再利用，可得，求出的值解答即可．
23．【答案】2；或
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵
设
∴
当在第一象限时，
即
∴点在直线上，
同理当在第二象限时，
∴，即点在上，
当在第三象限时，，即点在上，
当在第四象限时，，即点在上，
∴所有N点与坐标轴的交点，，，，
∴所有N点组成的图形为正方形，其面积为；
②∵已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上，
∴点在为半径的弧上运动，
∵点Q满足，同①可得点组成的图形是对角线为，且平行于坐标轴的正方形，
∴当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为
设，A是直线（）上一点且位于第一象限，
∴，
∴
当时，如图，
∴
∴
解得：
∵，
∴
∴
∴
当时，如图，
∴
∴
解得：
∵，
∴
∴
∴
综上所述，或，
故答案为：2；或.
【分析】根据新定义的运算法则得出N点组成的图形为定点在，，， 的正方形，求出面积即可；利用，得出Q点运动所覆盖的区域面积，设，分，两种情分别画出图形，得到点的坐标，进而求得的值解答即可．
24．【答案】（1）解：设的函数表达式分别为，，
将点，代入可得，，
解得，
即的函数表达式为：，
将代入可得，，解得，
即的函数表达式为：；
（2）解：由题意可得，甲走远路到达景点4，路程为，
将代入可得，，
解得，
则时，甲到达景点4，
乙走近路到达景点4，路程为，
将代入可得，，
解得，
则时，乙到达景点4，
∵，
∴乙能比甲先到达景点4．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出的函数解析式；
（2）分别求出甲，乙两人到达景点4的时间，然后作比较解答即可．
25．【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，，
∵，，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴，
即的长为；
（3）解：如图，连接，
设，
由（2）中的结论可得，
由旋转的性质得，，，
∴，
设，
∵F，，三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，，
∴，
解得（负值已舍去），
∴n的值为．
【知识点】旋转的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，即可得到，结合可以得到，根据相似三角形的对应边成比例证明即可；
（2）根据全等可得，，根据相似三角形的对应边成比例得到可得，，然后根据DE长求出AF，再根据线段的和差解答即可；
（3）连接，设，即可得到，根据旋转可得，设，进而可得，推理得到，根据等角对等边得到，利用三线合一得到，即可得哦大，然后根据可得，，再利用线段的和差求出n的值解答即可．
26．【答案】（1）解：将点代入，
则，
解得：，
，
联立，可得，
解得：，，
点的坐标为，
点的横坐标为，
将代入得，
点的坐标为；
（2）解：，
设的函数解析式为：，
联立，
则，
由根与系数的关系得，
函数图像为开口向上的抛物线，对称轴为，
要使函数在处取得最大值，需满足右端点到对称轴的距离不小于左端点到对称轴的距离，即：，
则，即，
解得：；
（3）解：设的函数解析式为：，
联立，
则，
设，，
由根与系数的关系得，，
的水平距离，
同理，联立，
则，
设，，
由根与系数的关系得，，
的水平距离，
，，
，
，整理得，
即，
设，
如图，
、、三点共线，
∴直线的k值与直线的k值相等，
，
化简得，，则，
同理由、、三点共线得，
，
整理得，，
，，，
，
解得：，
，
解得：，
，，
，
，
点的坐标为，的值为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将点 代入直线解析式求出的值，然后联立直线与抛物线的解析式，求出点的坐标即可；
（2）根据平行设出直线的解析式，联立抛物线方程得到，根据根与系数的关系可得，再结合开口方向向上，离对称轴远的点的函数值大解答即可；
（3）跟别联立直线、与抛物线的函数解析式，设，，，，根据根与系数的关系得到，，， ，根据得到与的关系式，然后利用三点共线到关于的关系式，联立求出和的值，进而得到点的坐标即可．
1 / 1四川省成都市2026年中考数学真题
1．某人转动转盘，如果用+3圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作(　　)
A．-5圈 B．-2圈 C．+5圈 D．+8圈
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵顺时针方向与逆时针方向的意义相反，
∴如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作圈．
故答案为：A.
【分析】规定沿逆时针方向转为正数，那么沿顺时针方向转即为负数，据此解答即可.
2．2026年5月18日，中国卫星导航定位协会在北京发布《2026中国北斗时空产业发展白皮书》.白皮书数据显示，2025年国内北斗终端产品总销量超过4.1亿台/套，其中具有北斗定位功能的智能手机出货近2.8亿部，车载导航仪终端销量超过2400万台.将数据4.1亿用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、图形经过折叠可以围成一个棱柱，符合题意；
B、底面图形的边数与侧面的个数不一致，不能围成棱柱，不符合题意；
C、两个底面图形不一致，不能围成棱柱，不符合题意；
D、两个底面都在同一侧，不能围成棱柱，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据三棱柱的展开图逐项判断解答即可.
4．下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，此项错误；
B、与不是同类项，不可合并，此项错误；
C、，此项正确；
D、，此项错误．
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、完全平方公式法则逐项判断解答即可.
5．如图，已知△ABC≌△FDE，∠A=40°，∠E=62°，则∠EDF的度数为(　　)
A．40° B．62° C．78° D．102°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理解答即可．
6．有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，剩余14竿；每人8竿，恰好用完.则牧童的人数和竹竿的根数分别为(　　)
A．8，64 B．7，56 C．6，48 D．5，40
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设牧童的人数为人，
由题意得：，
解得，
则，
所以牧童的人数为7人，竹竿的根数为56根．
故答案为：B.
【分析】设牧童的人数为人，根据竹竿总数不变列方程，求出x的值解答即可．
7．为了估计瓶中豆子的数量，先从瓶中取出100颗豆子，并给这些豆子做上记号，然后把这些豆子放回瓶中，充分摇匀，再从瓶中随机取出60颗豆子，发现其中有5颗豆子带有记号，则瓶中豆子的颗数约为(　　)
A．300 B．600 C．1000 D．1200
【答案】D
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：设瓶中豆子的颗数约为颗，
由题意得：，
解得，经检验，是所列分式方程的解，
则瓶中豆子的颗数约为1200颗．
故答案为：D.
【分析】设瓶中豆子的颗数约为颗，根据总体中带记号豆子的频率与样本中带记号豆子的频率相等列方程求出x，并检验解答即可．
8．已知二次函数 的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 3 …
y … 3 4 3 0 -12 …
下列说法错误的是(　　)
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线x=-1
C．2a+c=0 D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将点代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴函数图象的开口向下，则选项A正确，不符合题意；
将二次函数化成顶点式为，
∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确，不符合题意；
又∵，
∴，则选项C错误，符合题意；
，则选项D正确，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质、系数关系和根的判别式计算逐项判断即可．
9．因式分解： =　 　；
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： = x(x-3)，
故答案为： .
【分析】直接用提公因式法分解即可。
10．在平面直角坐标系xOy中，点P(3，-5)关于y轴对称的点的坐标为　 　.
【答案】(-3，-5)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：.
【分析】根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变”解答即可．
11．人的视觉机能受运动速度的影响很大.在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f(单位：°)与车速v(单位：km/h)之间的关系式是 当车速为80km/h时，他的视野为　 　°.
【答案】50
【知识点】函数值；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意，将代入得：，
即他的视野为．
故答案为：50.
【分析】将v=80代入函数解析式求出f的值解答即可.
12．正八边形的每个内角的度数都为　 　.
【答案】135°
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正八边形的内角和为，
∵正八边形共有8个内角，且每个内角都相等，
∴正八边形的每个内角的度数都为．
故答案为：135°.
【分析】根据多边形的内角和公式(n-2)·180°解答即可．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，分别以B，C两点为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧在矩形ABCD 内部交于点 P，则点 P 到AD 所在直线的距离为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，过作，延长交于点，如图，
由题意可得，四边形为矩形，，
则，为线段的中点，即，
线段的长为点P到所在直线的距离，
由勾股定理可得，，
∴，
则点P到所在直线的距离为．
故答案为：．
【分析】连接，过作，延长交于点，即可得到，根据三线合一得到为线段的中点，利用勾股定理求出PF长解答即可．
14．（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝对值，然后合并同类二次根式解答即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
15．为践行“健康第一”的教育理念，某校开展了创意课间操比赛，甲、乙两个参赛队进入决赛，决赛由5位教师评委和20位学生评委给两队打分(单位：分)，该校将按最终成绩择优推广其中一队的创意课间操.赛后对评委打分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
①教师评委给甲队的打分分别为：80 84 84 86 91
②学生评委给甲队的打分的频数分布直方图如图(分数用x表示，数据分为4组，第1组：60≤x<70，第2组；70≤x<80，第3组：80≤x<90，第4组：90≤x≤100)：
③评委对甲队打分数据的平均数、中位数、众数如下：
　 平均数 中位数 众数
教师评委 a 84 b
学生评委 82 m 85
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a的值为　 　，b的值为　 　；
（2）m的值位于学生评委对甲队打分数据分组的第　 　组，若教师评委、学生评委对甲队打分数据的方差分别记为s2，s2，则　 　(填“>”或“<”)；
（3）学校将教师评委、学生评委打分的平均分按3：2的比例确定两队的最终成绩.已知乙队的最终成绩为83分，试判断该校将推广哪个队的创意课间操，并说明理由.
【答案】（1）85；84
（2）3；
（3）解：甲队，理由：
教师评委给甲队打分的平均数为85，学生评委给甲队打分的平均数为82，甲队的最终成绩为：，
乙队的最终成绩为83分，
∵，
∴该校将推广甲队的创意课间操．
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；加权平均数及其计算；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：教师评委的平均数为，
教师评委给甲队的打分分别为：80，84，84，86，91，∴众数；
故答案为：85；84；
（2）解：共有20位学生评委，中位数应该是第10、11位学生评委打分的平均数，由频数分布直方图可知，第1组：有2人，第2组：有7人，此时共9人，第3组：有6人，此时共15人，∴第10、11位学生评委的打分落在第3组，即中位数m在第3组；
教师评委对甲队打分数据分别为80，84，84，86，91，数据比较集中，且方差为：
，
学生评委对甲队打分数据分为四组，分布范围从60到100，数据比较分散，根据方差反映数据的波动程度，数据越分散，波动越大，方差越大，数据越集中，波动越小，方差越小，因此；
故答案为：3；<；
【分析】（1）根据平均数和众数定义解答即可；
（2）根据中位数定义求出m的值，根据方差公式求出，然后比较两个方差的大小解答即可；
（3）通过计算加权平均数得到甲队的平均数，然后比较解答即可．
16．尊老敬老是中华民族的传统美德.某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家庭免费安装智能门锁.如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A拍摄的最大仰角为30°，最大俯角为52.43°，某人站在门外距离门底部B点0.9米的N处时，摄像头A恰好能拍摄到站立点 N及头顶M.已知AB⊥BN，MN⊥BN，求此人的头顶M到站立点 N的距离.(结果精确到0.01米；参考数据： ≈1.732，sin52.43°≈0.793，cos52.43°≈0.610，tan52.43°≈1.300)
【答案】解：过点A作于点C，
根据题意可知：四边形是矩形，
米，
在中，，
∴，
在中，，
米，
∴米，
答：此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点A作于点C，即可得到四边形是矩形，进而可得米，根据正切的定义求出，长，然后根据线段的和差解答即可．
17．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在圆上取一点 E，使 连接CE，BE.
（1）求证：∠ACD+∠CBE=90°；
（2）若 求⊙O 的半径和BE 的长.
【答案】（1）证明：∵为的直径，
∴，即
又∵，
∴
∵
∴
∴；
（2）解：设的半径为，
由（1）可得，
∴ ，
∴，
解得：，，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，过点作于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，利用根据同角的余角相等可得，然后根据圆周角定理的推论可得，即可得到结论；
（2）设的半径为，由（1）得到，根据正弦的定义求出，，然后在中利用勾股定理求得，进而可得∠A的余弦值，再根据弧‘弦、圆心角的关系得到，过点作于点解直角三角形求得长，解答即可．
18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与反比例函数 的图象相交于A(1，a)，B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D.
（1）求线段AB的长；
（2）已知P为y轴正半轴上一点，若△ABP为直角三角形，求点 P的坐标；
（3）如图2，将线段 DA，AC组成的折线段“D-A-C”沿x轴正方向平移得到折线段“D'-A'-C''，点D，A，C的对应点分别为D'，A'，C'. A'C'与反比例函数的图象交于点E，直线BD'与反比例函数的图象在第一象限交于点 F，OE 与C'F交于点 G.试探究：在平移过程中， 的值是否为定值 若是，求出这个值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：∵在反比例函数上，代入得，即，
将代入得，直线为，
∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，
∴，
由两点距离公式：；
（2）解：设，，
分三种情况讨论直角位置： ①：由勾股定理得，
则，
化简得，
故（负值已舍去），
即；
②：由勾股定理得，
则，
解得，
即；
③：由勾股定理得，
则，
解得： ，不符合，舍去；
综上，若为直角三角形，则或；
（3）解：根据（1）可知，
∴，
设平移距离为，则平移后各点坐标：，，，
设直线的解析式为，
代入点和点得，
解得：，
∴直线的解析式为，
直线的解析式与联立得，整理得，
解得：或，
∴点，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线的解析式和直线的解析式得，
解得：，
即交点的横坐标，
过点分别作轴，轴，
则，
∴，
∵，
∴．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数解析式求出点A坐标，然后代入正比例函数求出解析式，根据对称性得到，利用两点间距离公式解答即可；
（2）设，，分 ①，②，③三种情况，根据勾股定理列方程求出p的值解答即可；
（3）设平移距离为，即可得到平移后的，，，利用待定系数法求出直线的解析式，与反比例函数联立，求出交点F的坐标，求出、的解析式，联立求出交点的横坐标，过点分别作轴，轴，根据平行线分线段成比例解答即可．
19．已知a+2b=3，则2(2a-b)+10b+4=　 　.
【答案】16
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：16.
【分析】先去括号，再合并同类项化简为，然后整体代入计算即可．
20．现有两张除颜色外完全相同的卡片，分别从中间剪开，共分成全等的四片，洗匀后放在口袋里.从这四片中随机同时取出两片，则取出的两片颜色相同的概率为　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设原来的两张卡片为和，剪开后得到的四张卡片分别记为，其中的颜色相同，的颜色相同，画出树状图如下：
由图可知，从这四片中随机同时取出两片共有12种等可能的结果，其中，取出的两片颜色相同的结果有4种，
则取出的两片颜色相同的概率为．
故答案为：.
【分析】画出树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可得．
21．把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常见策略.已知(a，b为常数)，则a+b=　 　.
【答案】2
【知识点】分式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：2.
【分析】先将等号右侧部分同分整理，然后根据对应系数相等列方程组，求出的值，然后代入求和解答即可．
22．如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AD 为△ABC 的一条中线，E为AC上一点，∠ADE=∠B.若AE=5，CE=2，则AB=　 　.
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵为的一条中线，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵
∴，
解得：，
∴，
故答案为：.
【分析】设，则，根据勾股定理求出长，过点作于点，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求得，即可得到，再利用，可得，求出的值解答即可．
23．在平面直角坐标系xOy中，设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，记 例如，若M(1，3)，则L(O，M)=|0-1|+|0-3|=4.若点N满足L(O，N)=1，则所有N点组成的图形面积为　 　；已知A是直线y=kx(k>0)上一点且位于第一象限，OA=2，点P在OA上，点 Q满足L(P，Q)=1，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为 ，则k=　 　.
【答案】2；或
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵
设
∴
当在第一象限时，
即
∴点在直线上，
同理当在第二象限时，
∴，即点在上，
当在第三象限时，，即点在上，
当在第四象限时，，即点在上，
∴所有N点与坐标轴的交点，，，，
∴所有N点组成的图形为正方形，其面积为；
②∵已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上，
∴点在为半径的弧上运动，
∵点Q满足，同①可得点组成的图形是对角线为，且平行于坐标轴的正方形，
∴当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为
设，A是直线（）上一点且位于第一象限，
∴，
∴
当时，如图，
∴
∴
解得：
∵，
∴
∴
∴
当时，如图，
∴
∴
解得：
∵，
∴
∴
∴
综上所述，或，
故答案为：2；或.
【分析】根据新定义的运算法则得出N点组成的图形为定点在，，， 的正方形，求出面积即可；利用，得出Q点运动所覆盖的区域面积，设，分，两种情分别画出图形，得到点的坐标，进而求得的值解答即可．
24．成都，一座雪山下的公园城市.全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间.图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲.图2中l1，l2分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s(单位：m)与追赶时间t(单位：min)之间的关系，假设两人均保持现有的速度.
（1）直接写出l1，l2的函数表达式；
（2）如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4.问乙能比甲先到达景点4吗 请说明理由.
【答案】（1）解：设的函数表达式分别为，，
将点，代入可得，，
解得，
即的函数表达式为：，
将代入可得，，解得，
即的函数表达式为：；
（2）解：由题意可得，甲走远路到达景点4，路程为，
将代入可得，，
解得，
则时，甲到达景点4，
乙走近路到达景点4，路程为，
将代入可得，，
解得，
则时，乙到达景点4，
∵，
∴乙能比甲先到达景点4．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出的函数解析式；
（2）分别求出甲，乙两人到达景点4的时间，然后作比较解答即可．
25．在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究.如图，△ABC≌△EAD，AB=AC=nBC(n>1)，点D在AC边上，延长ED交AB 于点 F.
（1）【初步感知】求证：
（2）【深入探究】如图1，当n=2，AD=1时，求BF的长；
（3）【拓展延伸】如图2，将△EAD 绕点 E 按逆时针方向旋转一定角度(小于90°)得到△EA'D'，若F，A'，D'三点共线，且点A的对应点A'满足A'A⊥A'B，求n的值.
【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，，
∵，，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴，
即的长为；
（3）解：如图，连接，
设，
由（2）中的结论可得，
由旋转的性质得，，，
∴，
设，
∵F，，三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，，
∴，
解得（负值已舍去），
∴n的值为．
【知识点】旋转的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，即可得到，结合可以得到，根据相似三角形的对应边成比例证明即可；
（2）根据全等可得，，根据相似三角形的对应边成比例得到可得，，然后根据DE长求出AF，再根据线段的和差解答即可；
（3）连接，设，即可得到，根据旋转可得，设，进而可得，推理得到，根据等角对等边得到，利用三线合一得到，即可得哦大，然后根据可得，，再利用线段的和差求出n的值解答即可．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2(k>0)与抛物线 相交于A，B两点.C，D两点在抛物线上，且CD∥AB.
（1）若点A 的坐标为(-1，1)，求k的值和点 B的坐标；
（2）在(1)的条件下，记C，D两点的横坐标分别为m，n(m（3）若AB=2CD，直线AC，BD的交点E恰好落在x轴正半轴上，求点E的坐标和k的值.
【答案】（1）解：将点代入，
则，
解得：，
，
联立，可得，
解得：，，
点的坐标为，
点的横坐标为，
将代入得，
点的坐标为；
（2）解：，
设的函数解析式为：，
联立，
则，
由根与系数的关系得，
函数图像为开口向上的抛物线，对称轴为，
要使函数在处取得最大值，需满足右端点到对称轴的距离不小于左端点到对称轴的距离，即：，
则，即，
解得：；
（3）解：设的函数解析式为：，
联立，
则，
设，，
由根与系数的关系得，，
的水平距离，
同理，联立，
则，
设，，
由根与系数的关系得，，
的水平距离，
，，
，
，整理得，
即，
设，
如图，
、、三点共线，
∴直线的k值与直线的k值相等，
，
化简得，，则，
同理由、、三点共线得，
，
整理得，，
，，，
，
解得：，
，
解得：，
，，
，
，
点的坐标为，的值为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将点 代入直线解析式求出的值，然后联立直线与抛物线的解析式，求出点的坐标即可；
（2）根据平行设出直线的解析式，联立抛物线方程得到，根据根与系数的关系可得，再结合开口方向向上，离对称轴远的点的函数值大解答即可；
（3）跟别联立直线、与抛物线的函数解析式，设，，，，根据根与系数的关系得到，，， ，根据得到与的关系式，然后利用三点共线到关于的关系式，联立求出和的值，进而得到点的坐标即可．
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