资源简介

厦门一中 2024级高二（下）数学限时训练 12
________班_______号 姓名____________
一、单选题
1．已知函数 f x ln 2x f 1 x，则 f 1 （ ）
A．1 B 1． 1 C． 2 D．2
a
2 1 7
a8
．已知 an 是各项均为正数的等比数列，且 4a1， a3，3a2成等差数列，则 a a 的值是（ ）2 5 6
1 1
A． B． C．16 D．9
16 9
4
3 2x 1 2 ． 展开式中 x2项系数为（ ）
x
A．32 B．64 C．96 D．128
4．10名同学合影，站成了前排 3人后排 7人，现摄影师要从后排 7人中抽 2人调整到前排，其他人的相对顺序不
变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．168 B．630 C．252 D．420
x2 y25．设双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l与 C交于 A，B两点，其中点 Aa b
在第一象限，点 B在第二象限，若 AF2B是以 AF2B为直角的等腰直角三角形，则 C的离心率为（ ）
A．2 B． 2 C． 3 D．3
6．在长方体 ABCD A1B1C1D1中，已知 AA1 AD 1， AB 2，点 P是四边形 ABCD内（包含边界）的一个动点，
若点 P到平面 A1BC1的距离为 1，则点 P的轨迹的长度为（ ）
A 2． B 3． C 5．1 D．
2 2 2
7．已知数列 an 是公比为 q（ q 0且 q 1）的等比数列，点 Ai在圆 i： x a 2 y2i a2i i 1, 2,3 上，且满足
A q 3A1 : A3A2 2 : 3 ，若 AjA3是圆 j j 1,2 的切线，则 （ ）
A 1
1
． 2 B． C．2 D．33
1
8 x x x．函数 f x ln 2x的图象与函数 g x e e x 的图象交点的横坐标 x0，则 e 0 ln 2x0＝ （ ）2x
A． ln 2 B 1 1．－ 2 C． 2 D． ln 2
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．对于事件 A，B，若 A B，且 P A 0.3，P B 0.6，则 P B A 1
B 2．若随机变量 ~ N 2, ， P 4 0.84，则 P 2 4 0.16
C．若甲 乙两组数据的相关系数分别为0.66和 0.85，则乙组数据的线性相关性更强
D．在一元线性回归模型 y b x a 中，若b 0，则两个变量正相关
10．如图，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E,F分别是棱 BC,CC1的中点， P是侧面 BCC1B1内（含边
界）的一动点，且满足 A1P∥平面 AEF，则下列说法正确的是（ ）
A．点 P的轨迹是一条长为 2的线段
B．平面 AEF截正方体 ABCD A1BC D
3 5
1 1 1所得截面的面积为
2
C．直线 A1P与平面 BCC1B
2 2
1所成角的正弦值的最大值为
3
D．过点 P作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 π
11．已知函数 f x x ln x a a R ， f x 的图象与直线 y t交于M x1, t 、 N x2 , t 两点，且 x1 x2，则下列
说法正确的是（ ）
A．若 t 0，则 a的取值范围为 a 1
B．若 g x f x f 2 x ，则 g x 无最值
试卷第 1页，共 2页
{#{QQABRYUx4ggQ0hTACB5LQUWSCwgYkpAhLOgMBRAcuARCCQNABAA=}#}
x1 x2 x2 xC． 12 ln x2 ln x1
D． f x x x在 1 x2 处的切线的斜率大于0
2
三、填空题
12．为预测某种产品的回收率 y，需要研究它和原料有效成分含量 x之间的相关关系，现取了3组观察值．计算知
n
3 3 3 3 xi yi nx y
xi 24， yi 72 2， xi 200， xi yi 556，则 y关于 x的经验线性回归方程是________．附：b i 1n ，2
i 1 i 1 i 1 i 1 x2i nx
i 1
a y b x．
a
13．已知 S
n 3
n为等差数列 an 的前 n项和，若当n 9时， Sn a 5n，则 2 a __________．9
14 2．已知抛物线C : y 2px p 0 的焦点为 F ，点 A为抛物线上位于第一象限的动点，延长 AF 与C交于点 B，若
AFx 60 时， AF 4，则当 AFx 45 时， AF BF ______．
四、解答题
15．已知函数 f (x) ax3 bx2 cx d（a≠0）的对称中心为 (x0 , f (x0 ))，记函数 f (x)的导函数为 f (x)，函数 f (x)的
导函数为 f (x)，则 f (x 30 ) 0．若函数 f (x) x bx2 c的对称中心为 (1, 2)．
(1)求函数 f (x)的解析式；
(2)若过点 ( 1,t)可作三条直线与函数 y f (x)图象相切，求实数 t的取值范围．
2 2
16 x y．已知椭圆C： 1的左、右顶点分别为 A、B，过椭圆C的右焦点 F 且斜率不为 0的直线 l交C于M、N两
9 5
点，点Q 0,1 ．
(1) P为椭圆C上一动点，求 PQ 的最大值；
(2)若点Q在以MN为直径的圆上，求直线 l的方程；
(3)设直线 AM 与直线 x t交于点T ，记直线 AM ，TF，BN的斜率分别为 k1，k2，k3，若 k1,k2 ,k3成等差数列，求
实数 t的值．
试卷第 2页，共 2页
{#{QQABRYUx4ggQ0hTACB5LQUWSCwgYkpAhLOgMBRAcuARCCQNABAA=}#}
厦门一中 2024 级高二（下）数学限时训练 12 参考答案
一、单选题：1-5：CCDDC 6-8：DDB
8 x x
1
．由已知可得， f x0 g x0 ，即 e 0 e 0 x0 ln 2x2x 0 ，0
x x 1
即 e 0 e 0 x0 ln 2 x0 2 x0 e
ln 2 x0 e ln 2 x0 ln 2 x
2x 0 .0
x x
令 h x e e x，则 h x ex e x 1 2 ex e x 1 1 0，
当且仅当 ex e x，即 x 0时等号成立.
所以 h x 0恒成立，所以 h x 在R 上单调递增.
x 1
所以有 h x0 h ln 2x0 可得， x0 ln 2x0 ，则 e 0 2x ，0
ex ln 2x 1所以 0 0 x
1

2x 0 2 .0
二、多选题：9．ACD 10．ACD 11．BCD
11.对于 A选项，函数 f x 的定义域为 0, ， f x 1 1 x 1 ，
x x
令 f x 0，则0 x 1，令 f x 0，则 x 1，所以函数 f x 的单调减区间为 0,1 ，单调增区间为 1, ，
所以函数 f x 的极小值为 f 1 1 a，作出函数 f x 的图象如下图所示，
当 t 0时，则函数 f x 有两个零点，所以， a 1 0，解得 a 1，A错；
x 0
对于 B选项，若 g x f x f 2 x ，对于函数 g x ，有 ，解得0 x 2，即函数 g x 的定义域为 0,2 ，
2 x 0
1 1 1 1
且 f x 1 1 ， g x f x f 2 x 2 2
x x 2 x x 2 x
2 2 2 2 0
x 2 x x 2 x 2 ，当且仅当 x 2 x 0 x 2 时，等号成立，

2
所以，函数 g x 在 0,2 上为减函数，函数 g x 无极值，B对；
对于 C选项，因为函数 f x 的单调减区间为 0,1 ，单调增区间为 1, ，则 0 x1 1 x2，

x x x x 2
x2 1
x 2 x x x 1 2 2 1 x要证 ，即证 ln 2 2 t 1 2 ln x ln x
2 1 1 2x ，令
t 1
x ， h t ln t ，其中 t 1，则2 1 x1 x1 x2 2 1 1 t 1
x1
t 1 2
h t 1 4 2 2 0，所以，函数 h t 在 1, 上为增函数，当 t 1时， h t h 1 0，所以，t t 1 t t 1
x1 x2 x 2 x1 ，C对；对于 D选项，因为 x1 ln x1 a t x2 ln x2 a，所以 x2 x1 ln x ln x2 ln x ln x 2 1 ，所以2 1
x2 x1 1 x1 x2 x 2 x1 1 f x1 x2 1 2 0
ln x2 ln x
，因为
1 2 ln x ln x
，则
2 1 2

x
，
1 x2
f x x x1 x因为所以函数 在 2 处的切线斜率大于0，D对.
2
5 2
三、填空题：12． y x 44 13． 14．8
2 3
p
AFx 60 AF 4 A 2, 2 3 14.解法一：因为当 2时 ，可设 ，代入C : y 2px p 0 ，得12 2 p
p
2

，解
2 2
得 p 2（负值舍去），则C : y2 4x，当 AFx 45 时，可得直线 AB的方程为 y x 1，与 y2 4x联立得 x2 6x 1 0，
可设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，所以 x1 3 2 2 ， x2 3 2 2 ，则由抛物线的定义可得 AF 4 2 2，
BF 4 2 2 ，所以 AF BF 4 2 2 4 2 2 8．
p
解法二 因为当 AFx 60 AF 4 A 2,2 3 2时 ，可设 ，代入C : y 2px p 0 ，
2
答案第 1页，共 2页
{#{QQABRYUx4ggQ0hTACB5LQUWSCwgYkpAhLOgMBRAcuARCCQNABAA=}#}
得12 2 p
p
2

，解得 p 2（负值舍去），则C : y2 4x，当 AFx 45 时，由抛物线中焦半径与直线倾斜角的
2
关系可得 AF
p
， BF
p 2
，即 AF 4 2 2 ， BF
2
4 2 2，
1 cos 1 cos 1 cos45 1 cos45
所以 AF BF 4 2 2 4 2 2 8．
四、解答题
15．（1）函数 f (x) x3 bx2 c，求导得 f (x) 3x 2 2bx， f (x) 6x 2b，
f (1) 6 2b 0 b 3
依题意， ，解得 c 0 ，所以函数
f (x)的解析式 f (x) x3 3x2 .
f (1) 1 b c 2
2 ( 1, t) y f (x) (x , x3 2 2（ ）设过点 的直线与函数 图象相切于点 0 0 3x0 )，则切线斜率 k f (x0 ) 3x0 6x0，切线为
y (x3 2 2 3 2 2 30 3x0 ) (3x0 6x0 )(x x0 )，由切线过点 ( 1,t)，得 t (x0 3x0 ) (3x0 6x0) ( 1 x0 )，整理得 2x0 6x0 t 0，
令 g(x) 2x3 6x t，由过点 ( 1,t)可作三条直线与函数 y f (x)图象相切，得函数 g (x)有三个零点，
求导得 g x 6x2 6 6(x 1) x 1)，由 g (x) 0，得 x 1或 x 1，由 g (x) 0，得 1 x 1， ( ) (
因此函数 g (x)在 ( , 1)， (1, )上单调递增，在 ( 1,1)上单调递减，
函数 g (x)在 x 1处取得极大值 g( 1) 4 t，在 x 1处取得极小值 g(1) 4 t，
g( 1) 4 t 0
由 g (x)有三个零点，得 4 t 4g(1) 4 t 0 ，解得 ，所以实数 t的取值范围是
4 t 4 .

2 2 2
16．（1）设 P x, y C x y y 为椭圆 ： 1 2上一点，则 x 9 1 5 ，且 y [ 5, 5]，9 5
y2 2 2
则：∣PQ∣2 x2 (y 1)2 x2 y2 2y 1 9 1 y2 2y 1
4y
5 2y 10
4 5 45
y

， 5 5 4 4
5
所以当 y [ 5, 5]时，
4 ∣PQ
3 5
∣max .2
（2）椭圆右焦点 F 2,0 ，设直线 l : x my 2，M x1, y1 ， N x2, y2 ，
x my 2
2 2 20m 25
联立直线与椭圆方程： x2 y2 ，可得 5m 9 y 20my 25 0， y1 y 1 2 2 ， y1y ， 5m 9 2 5m2 9 9 5
点Q 0,1 在以MN为直径的圆上，即QM QN 0，

QM QN (x , y 1) (x , y 1) (my1 2)(my2 2) y y 21 1 2 2 1 2 (y1 y2) 1 m 1 y1y2 (2m 1)(y1 y2) 5 0，
m2 1 25 2m 1 20m 代入韦达定理： 5 0，即5m2 9 5m2 9 25m
2 25 40m2 20m 25m2 45 0，

1
即 40m2 20m 20 0，即 2m2 m 1 0，解得m 1或m .2
因此，直线 l的方程为 x y 2 0或2x y 4 0，
20m 25
（3）由（2）可知M x1, y1 ， N x2, y2 ， y1 y2 2 ， y1y2 2 ， A 3,0 ， B(3,0)， F (2,0)，5m 9 5m 9
y y x x (t 3)y
直线 AM 1 1 1的方程为： y x 3，把
x t代入方程中，得 y ，
1 1 x1 3
(t 3)y
T (t, (t 3)y
1
1 y y
所以 )，于是 k x1 3 (t 3) y
k 1 k 2
x1 3 2
1 ， 1 x 3， 3 x 3，
t 2 (x1 3)(t 2)
1 2
t 3 y1 y y
因为 k1， k2， k3成等差数列，所以 2k2 k1 k3 2
1 2
x ，1 3 t 2 x1 3 x2 3
t 8 y1 y2
化简，得 x x 3 t 2 x 3，把 1
my1 2, x2 my2 2代入化简，得10my1y2 t 8 y1 y2 4t 18 y2，
1 2
20m 10m 2t 9
把 y1 y2 2 , y
25 9
1y2 2 代入，得 2 2 2t 9 y2 ，因为m R，所以有 2t 9 0，即 t .5m 9 5m 9 5m 9 2
答案第 2页，共 2页
{#{QQABRYUx4ggQ0hTACB5LQUWSCwgYkpAhLOgMBRAcuARCCQNABAA=}#}

展开更多......

收起↑