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南部东辰高2024级第一次期末模拟考试
数学试题
一、单选题
1、在等差数列中，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2、已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
3、已知随机变量的概率分布如下表，则（ ）
x 1 2 3
P
A．2 B．0.6 C．5 D．2.4
4、有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲乙不相邻，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
5、记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．9 B．15 C．21 D．27
6．在的展开式中，含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
7、已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8、已知，则下列正确的是（ ）
A B、 C、 D、
二、多选题
9、如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（ ）
A B．
C．是等差数列 D．为偶数
10已知，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
已知数列且，为前n项和，下列说法正确的是（ ）
A. B. 偶数项是等比数列
C. D.
三、填空题
12、在正项等比数列中，，，求= .
13、若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为________．
14、如图是一块高尔顿板的示意图．黑点表示木钉。小球下落过程中，每次碰到木钉后可能向左或向右下落，其中向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入________号格子的概率最大．
四、解答题
15. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求在点处的切线方程．
记Sn为数列{an}的前n项和，记
(1)求{an}的通项公式；
(2)设，证明：
17、已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值.
18、某学校有、两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐．此后，如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天还去餐厅的概率为；如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天去餐厅的概率为．
(1)记甲、乙、丙3位同学中第2天选择餐厅的人数为，求随机变量的分布列和期望；
(2)甲同学第天去餐厅就餐的概率为，求的通项公式
(3)记甲同学前天去餐厅就餐的次数为，求（提示：）
19、已知函数f (x)＝a ln x－x＋1(a∈R)，
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若，存在，满足，证明：
(3)当时，，求的取值范围。
4

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