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专题六：数列
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
数列 2025 年 Ⅰ 卷 17 2025 年 Ⅱ 卷 15 递推求通项；分组求和；等差、等比基本量运算
2024 年 Ⅰ 卷 10、17 2024 年 Ⅱ 卷 17 等差、等比判定与证明；错位相减求和；数列不等式证明
2023 年 Ⅰ 卷 7、20 2023 年 Ⅱ 卷 8、17 等差性质；递推构造；裂项相消；通项与前 n 项和关系
2022 年 Ⅰ 卷 17 2022 年 Ⅱ 卷 3 由 S 与 a 关系求通项；等差基本量计算；简单求和
2021 年 Ⅰ 卷 16 2021 年 Ⅱ 卷 17 等比性质与求和；递推求通项；前 n 项和综合运算
【易错点提醒】
易错点1．已知求时, 易忽略致错．
已知数列的前项和为＝，求的通项公式．
易错点2．利用等比数列前n项和公式时，忽略公比致错．
设等比数列的前项和为，若，求数列的公比.
易错点3．忽略数列与函数的区别致错．
3.已知数列满足，若数列为递增数列，则a的取值范围是_______．
4. 已知数列满足则最小值是_______．
易错点4．数列的定义域是全体的正整数．
5.等差数列的首项，前项和为，当时，,问当为何值时最大？
易错点5．乱用结论致错．
6.已知等差数列的前m项，前2m项，前3m项的和分别为，
， 求．
易错点6．乱设常量致错．
7.两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
易错点7．用归纳代替证明致错．
8.(2023年全国甲卷17题)记为数列的前n项和，已知求的通项公式
易错点8．数列加绝对值后，认为其还是等差数列．
9.已知数列，，，记，求数列的前n项和Tn.
易错点9．使用构造法求数列通项公式时，弄错首项致错．
10.已知数列{an}满足a1＝1，，求的通项公式．
【典型真题】
1.数列的单调性、周期性、最值
[典例1].(2022全国甲卷理)记为数列的前n项和．已知．
证明：是等差数列；
（2）若成等比数列,求的最小值．
2.等差数列、等比数列的综合问题
[典例2].（2018天津） .设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
[典例3]（2023·新高考Ⅰ卷20题）设等差数列的公差为，且.令，记，分别为数列，的前项和.
（1）若求的通项公式；
（2）若为等差数列，且 ，求.
[典例4]（2024北京卷15）15. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是______.
3.数列求和
[典例5]（2023全国甲卷17）17. 设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
[典例6]（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
4.数列综合问题
[典例7]．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个
[典例8] （2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
[典例9]（2006天津）已知数列满足，并且（为非零参数，2，3，4，……）
（1）若成等比数列，求参数的值；
（2）设，常数且，证明（）
【教材好题】
1. 数列概念
1. 已知函数，设数列的通项公式为.
（1）求证.
（2）是递增数列还是递减数列？为什么？
2. 等差数列
1. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由.
2.已知是等差数列的前n项和．
（1）证明是等差数列；
（2）设为数列的前n项和，若，，求．
3. 等比数列
1.在数列的首项为 ，且满足．
（1）求证：是等比数列．
（2）求数列的前n项和．
2.已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足，
求证：
（1）数列为等差数列；
（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列．专题六：数列
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
数列 2025 年 Ⅰ 卷 17 2025 年 Ⅱ 卷 15 递推求通项；分组求和；等差、等比基本量运算
2024 年 Ⅰ 卷 10、17 2024 年 Ⅱ 卷 17 等差、等比判定与证明；错位相减求和；数列不等式证明
2023 年 Ⅰ 卷 7、20 2023 年 Ⅱ 卷 8、17 等差性质；递推构造；裂项相消；通项与前 n 项和关系
2022 年 Ⅰ 卷 17 2022 年 Ⅱ 卷 3 由 S 与 a 关系求通项；等差基本量计算；简单求和
2021 年 Ⅰ 卷 16 2021 年 Ⅱ 卷 17 等比性质与求和；递推求通项；前 n 项和综合运算
【易错点提醒】
易错点1．已知求时, 易忽略致错．
1.已知数列的前项和为＝，求的通项公式．
【错解】an＝Sn－Sn－1＝＝，所以．
【正解】当n＝1时，a1＝S1＝＝-1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝.
当n＝1时不符合上式，所以．
易错点2．利用等比数列前n项和公式时，忽略公比致错．
2.设等比数列的前项和为，若，求数列的公比.
【错解】因为，所以，整理得，
由得方程，所以或
【正解】若则有，，，但，即得，
与题设矛盾故，又依题意得
得，即得又，故
易错点3．忽略数列与函数的区别致错．
3.已知数列满足，若数列为递增数列，则a的取值范围是_______．
【错解】由题有，解得.
【正解】由题有，解得.
4. 已知数列满足则最小值是_______．
【错解】依题意，由，累加法可得设可知在上单调递减，在上单调递增，所以最小值是.
【正解】依题意，由，累加法可得设可知在上单调递减，在上单调递增，又，
则最小值是.
易错点4．数列的定义域是全体的正整数．
5.等差数列的首项，前项和为，当时，,问当为何值时最大？
【错解】由题意知，此函数是以为变量的二次函数，因为，当时，，故，开口向下，所以当时，取得最大值.
【正解】由题意知，此函数是以为变量的二次函数，因为，当时，，故，开口向下，所以当时，取得最大值，但由于，故若为偶数，当时，和最大；当为奇数时，时，和最大.
易错点5．乱用结论致错．
6.已知等差数列的前m项，前2m项，前3m项的和分别为，
， 求．
【错解】因为，， ，所．
【正解】设数列的公差为，则，
，
，，
所以是公差为的等差数列，所以．
即，
易错点6．乱设常量致错．
7.两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ A ）
A． B． C． D．
【错解】则所以.
【正解】设则
，则所以.
易错点7．用归纳代替证明致错．
8.(2023年全国甲卷17题)记为数列的前n项和，已知求的通项公式
【错解】因为 ；
；
所以
【正解】当 时 ， 由 得；两式相减得
即
当时
故当 时， ， 则
整理得
当时，满足
易错点8．数列加绝对值后，认为其还是等差数列．
9.已知数列，，，记，求数列的前n项和Tn.
【错解】依题意，所以为等差数列，也是等差数列，所以前n项和
．
【正解】由得，所以当时，
由得，所以当时，
所以当时，
当时，
所以
易错点9．使用构造法求数列通项公式时，弄错首项致错．
10.已知数列{an}满足a1＝1，，求的通项公式．
【错解】，
是以2为公比的等比数列 ．
【正解】】，
是以为首项，2为公比的等比数列 即　
【典型真题】
1.数列的单调性、周期性、最值
[典例1].(2022全国甲卷理)记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列,求的最小值．
【解析】（1）因为,即①,
当时,②,
①②得,,
即,即,
所以,且,所以是公差的等差数列．
（2）由（1）可得,,,又,,成等比数列,所以,
即,解得,所以,
所以,
所以,当或时取得最小值．
【总结】(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
（3）数列最值问题一般需要先研究数列单调性，可以通过数列单调性定义也可以由相应函数单调性得到数列单调性.注意数列与函数的关系，联系密切但不同.
2.等差数列、等比数列的综合问题
[典例2].（2018天津） .设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
【解析】详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.
因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得 由，可得
从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为
（II）（i）由（I），有，
故.
（ii）因为，
所以.
点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
[典例3]（2023·新高考Ⅰ卷20题）设等差数列的公差为，且.令，记，分别为数列，的前项和.
（1）若求的通项公式；
（2）若为等差数列，且 ，求.
【解析】（1）则，
，，，整理得
即，解得或（舍去）.
若为等差数列，，即整理得
解得或
当时，，，∴
整理得，解得或（舍去）；
当时，，，∴.
整理得，解得或，∵，∴此时无解.
综上可知，
[典例4]（2024北京卷15）15. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是______.
【解析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.
3.数列求和
[典例5]（2023全国甲卷17）17. 设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【解析】（1）因为，当时，，即；当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，，
，即，
【总结】错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
[典例6]（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
【答案】
【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论；
（2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论.
4.数列综合问题
[典例7]．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个
【答案】B
【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得.
[典例8] （2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解；
（2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明；
（ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解；
法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解.
[典例9]（2006天津）已知数列满足，并且（为非零参数，2，3，4，……）
（1）若成等比数列，求参数的值；
（2）设，常数且，证明（）
【解析】（1）解：由已知，且，
若成等比数列，则，即，而，解得
（2）证明：设，由已知，数列是以为首项、为公比的等比数列，故，则
因此，对任意，
当且时，，，所以（）
【教材好题】
1. 数列概念
1. 已知函数，设数列的通项公式为.
（1）求证.
（2）是递增数列还是递减数列？为什么？
【详解】（1）由题意得，因为为正整数，
所以，所以；
（2）是递增数列，
证明：因为，所以，
所以，所以是递增数列.
2. 等差数列
1. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由.
【详解】：（1）设数列的公差为.由题意可知，，，于是.
因为，所以，所以.所以.
所以，数列的通项公式是.
（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则.令，解得.所以，是数列的第8项.
2.已知是等差数列的前n项和．
（1）证明是等差数列；
（2）设为数列的前n项和，若，，求．
【详解】（1）∵∴
∴∴是等差数列；
（2），公差又∵
∴∴
∴.
3. 等比数列
1.在数列的首项为 ，且满足．
（1）求证：是等比数列．
（2）求数列的前n项和．
【详解】（1）由题意，数列满足，即，
则，又由，可得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，所以，
所以，
当为偶数时，可得；
当为奇数时，可得，
综上可得，.
2.已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足，
求证：
（1）数列为等差数列；
（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列．
【详解】解：（1）因为等差数列满足，，所以，所以，所以
所以，即，即为公差为的等差数列；
（2）设数列中任意三项，，
则，假设成等比数列，则
即，因为
所以，所以，即，与矛盾，
所以数列中的任意三项均不能构成等比数列．

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