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专题七：立体几何
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
空间几何体 2025年Ⅰ卷9 2025年Ⅱ卷14 线面平行、垂直的判定与性质定理 空间几何体嵌套
2024年Ⅰ卷5 2024年Ⅱ卷7 圆柱、圆锥的体积和面积公式 台体、线面角
2023年Ⅰ卷12 2023年Ⅰ卷14 2023年Ⅱ卷9 2023年Ⅱ卷14 空间几何体嵌套 台体体积 圆锥的体积和面积公式 椎体体积
2021年Ⅰ卷3 圆锥的表面积和侧面积
2022年Ⅰ卷8 2022年Ⅰ卷9 2022年Ⅱ卷7 2022年Ⅱ卷11 四棱锥与球外接 线线角、线面角 台体与外接球 台体体积、线面角
2021年Ⅰ卷12 2021年Ⅱ卷10 正方体、直棱柱、正多面体的特殊的线面位置关系
空间点、线、面的位置关系 2025年Ⅰ卷9 2025年Ⅰ卷 2025年Ⅰ卷 2025年Ⅱ卷 线线垂直、线面垂直、线面平行 面面垂直 空间角的综合问题 线面平行
2024年Ⅰ卷 2024年Ⅱ卷 线面平行 线面垂直的判定和性质
2023年Ⅰ卷 线线平行
2022年Ⅰ卷9 2022年Ⅱ卷 线线角、线面角 线面平行
2021年Ⅱ卷10 2021年Ⅰ卷 2021年Ⅱ卷 线面垂直 面面垂直 面面垂直
空间中的角、距离 2025年Ⅱ卷 二面角
2024年Ⅰ卷 2024年Ⅱ卷 二面角 已知二面角求线段长度
2023年Ⅰ卷 2023年Ⅱ卷 已知二面角求线段长度 二面角的计算
2022年Ⅰ卷 2022年Ⅰ卷 2022年Ⅱ卷 点到平面的距离 利用向量求解二面角 二面角的计算
2021年Ⅰ卷 2021年Ⅱ卷 空间几何体体积 二面角的计算
【易错点提醒】
1.对判定定理及性质定理理解不到位，判断位置关系时思维不够全面。
（1）(2019·全国Ⅱ·理)设、为两个平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面
【错解】没有全面考虑必要性和充分性，错选A
【正解】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B.
（2）已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【错解】 A选项应得到相交或平行或异面，故A错；C选项应得到或，故C错；D选项应得到平行，相交，都有可能，故D错．
【正解】由线面垂直性质定理可知B正确。
2. 空间几何体求体积时高的求解出现问题
(2023·新高考全国Ⅰ) 在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________．
【错解】找不准，求不对四棱台的高，错选
【正解】如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，
易知A1M为四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，A1O1＝A1C1＝×A1B1＝，
AM＝(AC－A1C1)＝，则A1M＝＝＝，V＝×(4＋1＋)×＝.
3.空间向量的夹角与所求角之间的转化错误导致失误.
（1）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是 .
【错解】处理夹角问题时，没有完全回扣定义，凭主观感受、主观认识来处理问题.
【正解】在中，，由于三棱柱为正棱柱，底面与侧面垂直，所以正三角形ABC中AC边的高即为到侧面的距离，点到平面的距离为，所以，.
（2）已知二面角的大小为，，为异面直线，且，则，所成的角（ ）
（A） (B) (C) (D )
【错解】对两条直线所成角的定义理解不准确，错选D。
【正解】如图，设于，过m的点P引n的平行线交于，设平面PAB与交于点，连结、，由可知面面PAB，所以，.所以是二面角的平面角，所以＝，可得＝，则，所成的角为，又异面直线所成的角小于等于，所以＝，故选B.
【典型真题】
1.空间几何体的表面积、体积
[2025·湖北黄冈二模] 已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.若直线l满足l⊥m,l⊥n,l α,l β,则 ( B )
A.α∥β,l∥α B.α与β相交,且交线平行于l
C.α⊥β,l⊥α D.α与β相交,且交线垂直于l
[解析] 假设α∥β,则由m⊥平面α,n⊥平面β,可得m∥n,这与m,n是异面直线矛盾,
故α与β相交,A错误;如图,设α∩β=a,过直线n上一点,作b∥m, 设b与n确定的平面为γ.
因为l⊥m,所以l⊥b,又l⊥n,b与n相交,b,n γ,所以l⊥γ,因为m⊥α,所以b⊥α,又a α,所以a⊥b,因为n⊥β,a β,所以a⊥n,又b与n相交,b,n γ,所以a⊥γ,又因为l α,l β,所以l与a不重合,所以l∥a,B正确,D错误;因为l∥a,l α,a α,所以l∥α,C错误.故选B.
2.几何图形的内切球、外接球
（2025全国Ⅱ卷）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值是 cm.
答案:2.5
解析:当两个铁球半径最大时，两球外切且分别与圆柱上下底面相切，同时与圆柱侧面相切。设铁球半径为r，圆柱底面半径R=4，高h=9.两球心水平距离：每个球心到圆柱中心轴距离为R-r=4-r，所以水平距离为2（4-r），两球心垂直距离：圆柱高减去上下球半径，即h-2r=9-2r，由勾股定理：，化简得：4(16-8r+)+(81-36r+4)=4，得到4-68r+145=0,由判别式，解得r=2.5.
点线面的位置关系
(2019·全国Ⅲ理)如图，点为正方形的中心，为正三角形，
平面平面，是线段的中点，则（ ）
A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线
正确答案 B
【解题思维导图】
【详细解析】连结，因为点为正方形的中心，所以点为的中点，可知直线都是平面内的直线，且不平行，即直线是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：
，
，所以，故选B。
4.空间几何体的截面问题
1.正方体中，、分别是棱和上的点，，，那么正方体的过、、的截面图形是　　
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
解析：正方体中，、分别是棱和上的点，，，延长交于，延长交于，连结交于，于，连结，，则正方体的过、、的截面图形是五边形．故选：．
5.空间向量与空间角
1.（2023全国乙卷理科9）已知为等腰直角三角形，为斜边，为等边三角形，若二面角为 ，则直线与平面所成角的正切值为 （ ）
A. B. C. D.
解析：如图所示，取中点，连接，则，.
为二面角的平面角，即，
且平面，平面平面.
的大小即为直线与平面所成角的大小.
不妨设，则，.
在中，.
所以，，. 故选C.
6.空间距离
[2025·湖南湘潭联考] 如图,△ABC,△DBC,△EBC都是等边三角形,点D,E分别在平面ABC的上方和下方,点O为BC的中点.
(1)求证:A,D,O,E四点共面;
(2)若AD=AB=2,求直线OE与平面ACD所成角的正弦值的最大值.
解:(1)证明:连接DO,AO, 因为△ABC,△DBC,△EBC都是等边三角形,
所以AO⊥BC,EO⊥BC,DO⊥BC,
又AO,EO都在平面AOE内且交于点O,AO,DO都在平面AOD内且交于点O,
所以BC⊥平面AOE,BC⊥平面AOD.因为过O只有一个平面与BC垂直,
且平面AOE与平面AOD有公共点O, 所以平面AOE与平面AOD是同一平面,即A,D,O,E四点共面.
(2)以O为原点,OA,OB所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则O(0,0,0),A(3,0,0),C(0,-,0),B(0,,0),
设D(x,y,z),因为DO===3,AD=2,
所以
解得所以D(1,0,2).
设E(x1,y1,z1),因为EO===3, 所以解得+=9.
由(1)得∠AOE为二面角A-BC-E的平面角,设∠AOE=θ,则点E(3cos θ,0,-3sin θ),
故=(3cos θ,0,-3sin θ),=(-3,-,0),=(-2,0,2),
设平面ACD的法向量为n=(x2,y2,z2), 则即
取x2=,得y2=-,z2=1,所以n=(,-,1).
设直线OE与平面ACD所成的角为α,则
sin α=|cos<,n>|====,其中cos φ=,sin φ=,
故当|cos(θ+φ)|=1时,sin α取得最大值,所以直线OE与平面ACD所成角的正弦值的最大值为.
7.立体几何探索问题
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.△PBC是等腰三角形，且PB＝PC＝3.在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3.
(1)求证：AB∥平面PCD；
(2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值；
(3)棱BC上是否存在点Q到平面PBA的距离为，若存在，求出的值；
若不存在，说明理由．
(1)证明　∵AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，∴AB∥平面PDC. ……2分
(2)解　∵ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3，
∴BC＝＝2，又PB＝PC＝3，∴点P到直线BC的距离为＝2，
∵平面PBC⊥平面ABCD，∴点P到平面ABCD的距离为2.
以D为原点，以DA，DC及平面ABCD过D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系(图略)．
∴A(4,0,0)，B(4,5,0)，C(0,3,0)，P(2,4,2)，∴＝(2,1，－2)，＝(0,5,0)，＝(4,2,0)，
设平面APB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则
令x1＝1，x2＝1可得m＝(1,0,1)，n＝(1，－2,0)，
设平面APB与平面PBC的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝.
∴平面APB与平面PBC夹角的余弦值为. ……7分
(3)解　假设棱BC上存在点Q到平面PBA的距离为，
设＝λ＝λ(4,2,0)＝(4λ，2λ，0)，λ∈[0,1]，∴Q(4λ，2λ＋3,0)，∴＝(4λ－4,2λ＋3,0)，
由(2)知平面PBA的一个法向量为m＝(1,0,1)，
∴点Q到平面PBA的距离d＝＝＝，∴|4λ－4|＝，∴λ＝1－，
∴棱BC上存在点Q到平面PBA的距离为，＝1－. ……12分
【教材好题】
1某厂生产一批圆台形灯罩,灯罩的上、下底面都是空的,上、下底面的半径之比为1∶2,高为15 cm,母线长为25 cm.现要对100个这样的灯罩的内、外表面都涂上一层防潮涂料,若每平方米需要100克涂料,则共需涂料 ( C )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.750π克 B.1500π克 C.3000π克 D.6000π克
[解析] 如图,圆台上、下底面中心分别为O1,O2,连接O1O2,作CF⊥AB,设圆台的上底面半径为r cm,则下底面半径为2r cm,因为高CF=15 cm,母线CA=25 cm,所以由(2r-r)2+152=252,得r=20,可得圆台的侧面积为25(20+40)π=1500π(cm2),所以100个灯罩内、外表面面积为2×1500π×100=300 000π(cm2)=30π(m2),则共需涂料30π×100=3000π(克).故选C.
2 已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.若直线l满足l⊥m,l⊥n,l α,l β,则 ( B )
A.α∥β,l∥α B.α与β相交,且交线平行于l
C.α⊥β,l⊥α D.α与β相交,且交线垂直于l
[解析] 假设α∥β,则由m⊥平面α,n⊥平面β,可得m∥n,这与m,n是异面直线矛盾,故α与β相交,A错误;如图,设α∩β=a,过直线n上一点,作b∥m, 设b与n确定的平面为γ.
因为l⊥m,所以l⊥b,又l⊥n,b与n相交,b,n γ,所以l⊥γ,
因为m⊥α,所以b⊥α,又a α,所以a⊥b,因为n⊥β,a β,所以a⊥n,
又b与n相交,b,n γ,所以a⊥γ,又因为l α,l β,所以l与a不重合,
所以l∥a,B正确,D错误;因为l∥a,l α,a α,所以l∥α,C错误.故选B.专题七：立体几何
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
空间几何体 2025年Ⅰ卷9 2025年Ⅱ卷14 线面平行、垂直的判定与性质定理 空间几何体嵌套
2024年Ⅰ卷5 2024年Ⅱ卷7 圆柱、圆锥的体积和面积公式 台体、线面角
2023年Ⅰ卷12 2023年Ⅰ卷14 2023年Ⅱ卷9 2023年Ⅱ卷14 空间几何体嵌套 台体体积 圆锥的体积和面积公式 椎体体积
2021年Ⅰ卷3 圆锥的表面积和侧面积
2022年Ⅰ卷8 2022年Ⅰ卷9 2022年Ⅱ卷7 2022年Ⅱ卷11 四棱锥与球外接 线线角、线面角 台体与外接球 台体体积、线面角
2021年Ⅰ卷12 2021年Ⅱ卷10 正方体、直棱柱、正多面体的特殊的线面位置关系
空间点、线、面的位置关系 2025年Ⅰ卷9 2025年Ⅰ卷 2025年Ⅰ卷 2025年Ⅱ卷 线线垂直、线面垂直、线面平行 面面垂直 空间角的综合问题 线面平行
2024年Ⅰ卷 2024年Ⅱ卷 线面平行 线面垂直的判定和性质
2023年Ⅰ卷 线线平行
2022年Ⅰ卷9 2022年Ⅱ卷 线线角、线面角 线面平行
2021年Ⅱ卷10 2021年Ⅰ卷 2021年Ⅱ卷 线面垂直 面面垂直 面面垂直
空间中的角、距离 2025年Ⅱ卷 二面角
2024年Ⅰ卷 2024年Ⅱ卷 二面角 已知二面角求线段长度
2023年Ⅰ卷 2023年Ⅱ卷 已知二面角求线段长度 二面角的计算
2022年Ⅰ卷 2022年Ⅰ卷 2022年Ⅱ卷 点到平面的距离 利用向量求解二面角 二面角的计算
2021年Ⅰ卷 2021年Ⅱ卷 空间几何体体积 二面角的计算
【易错点提醒】
1.对判定定理及性质定理理解不到位，判断位置关系时思维不够全面。
（1）(2019·全国Ⅱ·理)设、为两个平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面
（2）已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2. 空间几何体求体积时高的求解出现问题
(2023·新高考全国Ⅰ) 在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________．
3.空间向量的夹角与所求角之间的转化错误导致失误.
（1）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是 .
（2）已知二面角的大小为，，为异面直线，且，则，所成的角（ ）
（A） (B) (C) (D )
【典型真题】
1.空间几何体的表面积、体积
[2025·湖北黄冈二模] 已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.若直线l满足l⊥m,l⊥n,l α,l β,则 ( B )
A.α∥β,l∥α B.α与β相交,且交线平行于l
C.α⊥β,l⊥α D.α与β相交,且交线垂直于l
2.几何图形的内切球、外接球
（2025全国Ⅱ卷）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值是 cm.
点线面的位置关系
(2019·全国Ⅲ理)如图，点为正方形的中心，为正三角形，
平面平面，是线段的中点，则（ ）
A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线
4.空间几何体的截面问题
1.正方体中，、分别是棱和上的点，，，那么正方体的过、、的截面图形是　　
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5.空间向量与空间角
1.（2023全国乙卷理科9）已知为等腰直角三角形，为斜边，为等边三角形，若二面角为 ，则直线与平面所成角的正切值为 （ ）
A. B. C. D.
6.空间距离
[2025·湖南湘潭联考] 如图,△ABC,△DBC,△EBC都是等边三角形,点D,E分别在平面ABC的上方和下方,点O为BC的中点.
(1)求证:A,D,O,E四点共面;
(2)若AD=AB=2,求直线OE与平面ACD所成角的正弦值的最大值.
7.立体几何探索问题
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.△PBC是等腰三角形，且PB＝PC＝3.在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3.
(1)求证：AB∥平面PCD；
(2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值；
(3)棱BC上是否存在点Q到平面PBA的距离为，若存在，求出的值；
若不存在，说明理由．
【教材好题】
1某厂生产一批圆台形灯罩,灯罩的上、下底面都是空的,上、下底面的半径之比为1∶2,高为15 cm,母线长为25 cm.现要对100个这样的灯罩的内、外表面都涂上一层防潮涂料,若每平方米需要100克涂料,则共需涂料 ( )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.750π克 B.1500π克 C.3000π克 D.6000π克
2 已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.若直线l满足l⊥m,l⊥n,l α,l β,则 ( )
A.α∥β,l∥α B.α与β相交,且交线平行于l
C.α⊥β,l⊥α D.α与β相交,且交线垂直于l

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