资源简介

专题八：概率与统计
【必备知识】
【高考规律】
年份 题号 核心考点 题型 难度层级
2025全国一卷 12、20 条件概率、独立性检验、分布列与期望 多选+解答 中档+压轴
2024全国一卷 9、19 频率分布直方图、线性回归方程 单选+解答 基础+中档
2023全国一卷 11、21 独立事件概率、二项分布期望 多选+解答 中档+压轴
2022全国一卷 5、18 分层抽样、古典概型 单选+解答 基础+中档
2021全国一卷 8、20 正态分布、条件概率与分布列 单选+解答 中档+压轴
概率与统计为高考必考模块，稳定呈现“1道小题+1道解答题”的命题结构，总分值约17-22分。小题侧重基础概念辨析（如互斥与独立事件、正态分布）和简单计算；解答题以真实情境为载体，考查统计分析（线性回归、独立性检验）或概率模型（分布列、期望），强调对题意的理解和建模能力，整体难度中等，计算复杂度适中，核心考查“统计思想+概率模型识别”的综合应用。
【易错点提醒】
1、互斥事件与对立事件概念混淆
判断“抛掷一枚硬币，‘正面朝上’与‘反面朝上’”和“抛掷两枚硬币，‘均正面朝上’与‘均反面朝上’”两组事件的关系。
【错解】对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立；对立事件需满足 “不能同时发生且必有一个发生”。
【正解】第一组：对立事件（必发生其一，不能同时发生）。第二组：互斥但不对立事件（不能同时发生，但可以都不发生）。
2、条件概率公式误用
已知求。
【错解】直接用作为结果，或错误使用公式；正确公式为：
【正解】
3、超几何分布与二项分布模型混淆
从含有3件次品的10件产品中，不放回抽取3件，求次品数的分布类型。
【错解】将不放回抽样的超几何分布误判为二项分布；核心区别：超几何分布为不放回有限总体抽样，二项分布为独立重复试验（放回抽样）。
【正解】服从超几何分布；不放回有限总体抽样→超几何分布；放回/独立重复→二项分布。
4、频率分布直方图中位数计算错误
已知某频率分布直方图，组距为5，各区间依次为0.02,0.04,0.06,0.05,0.03，求中位数。
【错解】误将纵轴数值直接当作频率，或计算中位数时未从左到右累加频率至 0.5。
【正解】各组频率：0.1，0.2，0.3，0.25，0.15。累计频率：（超0.5），中位数在第3组。中位数.
【典型真题】
1、计数原理与排列组合
【2023年新高考Ⅰ卷第13题】某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，学生需从这门课中选修门或门课，并且每类选修课至少选修门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
【分析】利用分类加法计数原理，分类讨论选修门或门课，对选修门，再讨论体育类选修几门，结合分步乘法计数原理求解．
【详解】（1）当从门课中选修门，则不同的选课方案共有种；（2）当从门课中选修门，①若体育类选修课门，则不同的选课方案共有种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；综上所述：不同的选课方案共有种 ．
2、统计图表与数字特征
【2023年新高考Ⅰ卷第9题】有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A ．的平均数等于的平均数
B ．的中位数等于的中位数
C ．的标准差不小于的标准差
D ．的极差不大于的极差
【分析】本题考查平均数、中位数、标准差以及极差的概念,注意特值法的使用，如A选项 ．同时，不仅要会算具体数据的平均数、中位数、方差等，更要理解概念的意义，如C选项分析标准差时，回归标准差的本质——反映数据波动性的大小 ．
【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，例如，可得，故A错误；对于选项B：不妨设，可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；
对于选项C：因为是最小值，是最大值，则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差，即；故C错误；
对于选项D：不妨设，则，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选BD．
3、离散型随机变量及其分布列
【2024·新课标Ⅱ卷第18题】某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，，
，，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为，则，，则，
应该由甲参加第一阶段比赛.
4、正态分布
【2024新高考Ⅰ卷第9题】随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B． C． D．
【分析】正态分布具有对称性，清楚正态分布的期望和方差后，借助于正态密度曲线根据区间的对称性求得相应范围内的概率 ．
【详解】依题可知，，所以，
故，C正确，D错误；
因为，所以，
因为，所以，
而，B正确，A错误，
【教材好题】
1、(人教A版选择性必修第三册P74·例2)如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
【解析】设“向右下落”，则“向左下落”，且.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以．于是，X的分布列为
2、(人教A版选择性必修第三册P91·T11)某单位有10 000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者.假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10 000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验.如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.
（1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？
（2）如果携带病毒的人只占，按照k个人一组，k取多大时化验次数最少？
【解析】
（1）设每个人需要的化验次数为X.若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则因此，的分布列为.说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.426 2次，10 000个人大约需要化验4 262次，新的化验方法能减少化验次数．
（2）假设k个人一组，设每个人需要的化验次数为Y.若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则.因此，的分布列为
利用计算器或计算机，对k取1，2，3，…逐一计算，发现当k取8时，取到最小值0.274 2.此时，10 000个人大约需要化验2 742次．
3、(人教B版选择性必修第二册P97练习AT2)设两个正态分布和的密度函数图象如图所示.则有(　　)
【答案】A【解析】根据正态分布函数的性质:是正态分布曲线的对称轴;σ反应的正态分布的离散程度,σ越大,越分散,曲线越“矮胖”,σ越小,越集中,曲线越“瘦高”,由图象可得.故选A.专题八：概率与统计
【必备知识】
【高考规律】
年份 题号 核心考点 题型 难度层级
2025全国一卷 12、20 条件概率、独立性检验、分布列与期望 多选+解答 中档+压轴
2024全国一卷 9、19 频率分布直方图、线性回归方程 单选+解答 基础+中档
2023全国一卷 11、21 独立事件概率、二项分布期望 多选+解答 中档+压轴
2022全国一卷 5、18 分层抽样、古典概型 单选+解答 基础+中档
2021全国一卷 8、20 正态分布、条件概率与分布列 单选+解答 中档+压轴
概率与统计为高考必考模块，稳定呈现“1道小题+1道解答题”的命题结构，总分值约17-22分。小题侧重基础概念辨析（如互斥与独立事件、正态分布）和简单计算；解答题以真实情境为载体，考查统计分析（线性回归、独立性检验）或概率模型（分布列、期望），强调对题意的理解和建模能力，整体难度中等，计算复杂度适中，核心考查“统计思想+概率模型识别”的综合应用。
【易错点提醒】
1、互斥事件与对立事件概念混淆
判断“抛掷一枚硬币，‘正面朝上’与‘反面朝上’”和“抛掷两枚硬币，‘均正面朝上’与‘均反面朝上’”两组事件的关系。
2、条件概率公式误用
已知求。
3、超几何分布与二项分布模型混淆
从含有3件次品的10件产品中，不放回抽取3件，求次品数的分布类型。
4、频率分布直方图中位数计算错误
已知某频率分布直方图，组距为5，各区间依次为0.02,0.04,0.06,0.05,0.03，求中位数。
【典型真题】
1、计数原理与排列组合
【2023年新高考Ⅰ卷第13题】某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，学生需从这门课中选修门或门课，并且每类选修课至少选修门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
2、统计图表与数字特征
【2023年新高考Ⅰ卷第9题】有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A ．的平均数等于的平均数
B ．的中位数等于的中位数
C ．的标准差不小于的标准差
D ．的极差不大于的极差
3、离散型随机变量及其分布列
【2024·新课标Ⅱ卷第18题】某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
4、正态分布
【2024新高考Ⅰ卷第9题】随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B． C． D．
【教材好题】
1、(人教A版选择性必修第三册P74·例2)如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
2、(人教A版选择性必修第三册P91·T11)某单位有10 000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者.假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10 000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验.如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.
（1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？
（2）如果携带病毒的人只占，按照k个人一组，k取多大时化验次数最少？
3、(人教B版选择性必修第二册P97练习AT2)设两个正态分布和的密度函数图象如图所示.则有(　　)

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