资源简介

专题九：解析几何
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
直线与圆 2025年Ⅰ卷7 圆上到直线距离为定值的点的个数与半径范围
2024年Ⅰ卷11 轨迹方程、曲线与方程概念
2023年Ⅰ卷6 相切、切线夹角正弦值
2022年Ⅰ卷14 直线与圆相切、圆心到直线距离
2021年Ⅰ卷11 位置关系、弦长、切线方程
圆锥曲线 2025年Ⅰ卷3 2025年Ⅰ卷10 2025年Ⅰ卷18 双曲线离心率、几何性质 ； 抛物线定义、标准方程、焦点弦、等积法 ； 直线与椭圆联立、韦达定理、定点定值、面积最值
2024年Ⅰ卷12 2024年Ⅰ卷16 双曲线焦点三角形、定义、离心率； 椭圆直线与椭圆、弦长、三角形面积最值
2023年Ⅰ卷5 2023年Ⅰ卷16 2023年Ⅰ卷22 椭圆离心率、基本量计算； 双曲线离心率、焦点三角形； 抛物线轨迹方程、矩形周长最值证明
2022年Ⅰ卷11 2022年Ⅰ卷16 2022年Ⅰ卷21 抛物线 定义、标准方程、焦点弦、长度/位置关系；椭圆 标准方程、定义、弦长计算；直线与双曲线联立、斜率、三角形面积
2021年Ⅰ卷5 2021年Ⅰ卷14 2021年Ⅰ卷21 直线与圆 位置关系、弦长、切线方程； 抛物线 标准方程、焦点弦性质； 双曲线 轨迹方程、直线与双曲线、斜率和为定值
近五年新高考中, 小题：椭圆、双曲线离心率最高频，其次是抛物线定义/焦点弦、直线与圆位置关系。大题：椭圆必考（2021-2025年4年考查），双曲线2次，抛物线1次。 解答题固定考查直线与圆锥曲线综合，围绕轨迹方程、定点定值、弦长面积、最值/范围、存在性五大类轮换。 强调几何直观+代数运算融合，高频考查设而不求、韦达定理、弦长公式、点到直线距离等通性通法。二级结论（焦点三角形、中点弦、切线方程）可显著提升解题效率。运算量与思维层次双增，突出压轴区分功能。
【易错点提醒】
易错点01：忽略圆锥曲线定义中的限制条件
1.（24-25高三上·陕西榆林·期中）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”；若动点的轨迹是双曲线，则为定值，所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”.
因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.
易错提醒：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上.
易错点02：忽略圆锥曲线焦点的位置
2.（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，此时，椭圆的标准方程为；若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，此时，椭圆的标准方程为.综上所述，椭圆的标准方程为或.
易错提醒： 由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求或的值．
易错点03：求离心率范围时忽略离心率本身范围
3.（24-25高三上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ．
【答案】
【详解】因为动点满足，所以在以为直径的圆上.又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，所以，则，即，
同除得，解之得.故答案为：.
易错提醒：圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是，而双曲线的离心率范围是，在求范围的时候要时刻注意.
易错点04：求轨迹方程时忽略变量的取值范围
4.（24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案.
【详解】如图，设与圆的切点分别为，则有，所以.
根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外），即，又，所以，所以方程为.故选：B.
易错提醒：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．
【典型真题】
1.直线与圆
1.（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
2．（2025·新高考1卷）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A． B． C． D．
3.(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　)
A.1 B. C. D.
4.(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________.
5.(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________.
【参考答案】
1.【答案】2
【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，圆的半径为，圆心到直线的距离为，故，解得；故答案为：2.
2.【答案】B
【详解】由题意，在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，
故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B.
3.答案　B
解析　如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，
所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2.
由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，
又，所以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2××＝，故选B.
4.答案　2(答案不唯一，可以是±，±2中任意一个)
解析　设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心为C(1，0)，半径R＝2，
则圆心C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝.
由S△ABC＝，得××＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，
解得m＝±2或m＝±，故答案可以为2.
5.答案　(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x－)2＋(y－)2＝
或(x－)2＋(y－1)2＝
解析　依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0.
若过(0，0)，(4，0)，(－1，1)，则解得满足D2＋E2－4F＞0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
若过(0，0)，(4，0)，(4，2)，则解得满足D2＋E2－4F＞0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0，0)，(－1，1)，(4，2)，则解得满足D2＋E2－4F＞0，
所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，即；
若过(－1，1)，(4，0)，(4，2)，则解得满足D2＋E2－4F＞0，
所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即.
【命题规律】弦长、切线长是高考题目当中经常考查的两种题型，难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.
【通性通法】
1、解决弦长问题，有以下两种方法：法一：代数法：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，利用两点距离公式求弦长；法二：几何法（又称垂径定理）：利用半径、半弦、弦心距构成直角三角形的三边，利用勾股定理求解.在解题时要根据题意选择合适的解题方法，必要时画图帮助理解.
2、切线长、半径、圆外点到圆心的距离，三者同样构成直角三角形的三边，因此可以利用勾股定理求解.
2.圆锥曲线的基本问题
1.（2025·新高考1卷）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
2.(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A.1 B.2 C.4 D.5
3.（2025·新高考2卷）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
5.(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【参考答案】
1.【答案】D
【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，，
于是，则，即.故选：D
2.答案　B
解析　法一　因为·＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2tan，
得|PF1|·|PF2|＝1×tan，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
法二　因为·＝0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，
所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
3.【答案】C
【详解】对，令，则，所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，故，则，代入抛物线得.
所以.故选：C
4.答案　
解析　由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.
5.答案　A
解析　设点，则，因为为的中点，所以，即，又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为.故选A.
【命题规律】
（1）圆锥曲线的方程基本属于每年的必考知识点，常出现在解答题的第一问，有时也出现在选择或者填空题当中，难度中等或偏易.
（2）圆锥曲线的几何性质是高考考查的热点问题，常围绕以下几个角度命题：求离心率的值；求离心率的范围；双曲线的渐近线方程等.命题常以选择、填空形式出现，难度中下.
【通性通法】
根据条件求圆锥曲线的方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足圆锥曲线的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定参数值.椭圆、双曲线当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求方程为mx2＋ny2＝1，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
求椭圆或双曲线离心率或取值范围的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
（3）条件中有明显的等式或者不等关系，可以直接转化为含a，b，c的等式或者不等式
（4）要合理利用圆锥曲线本身的几何性质，以及一些常用结论、不等关系
3.直线与圆锥曲线的位置关系
1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知和为椭圆上两点.
(1)求的离心率；
(2)若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程.
2.（2025·新高考2卷）已知椭圆的离心率为，
长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求．
3.(2024·全国甲卷）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
【参考答案】
1.答案　（1）（2）或.
解析　(1)由题意得：，解得：
所以（或），所以.
(2)【解法一】(弦长公式法)
①当直线垂直于轴时，，得面积为，不合题意；
②设直线方程为，由，
得：，设，则，，
所以，又到直线的距离为（或），
故的面积，所以，解得：或，
故直线的方程为或.
【解法二】(类解法一)
①当直线垂直于轴时，，得面积为，不合题意
②设直线方程为，由，
得，
设，则，，
所以，所以，
直线方程，
又到直线的距离为，故的面积
所以，解得：或，故直线的方程为或.
2.【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故，故椭圆方程为：.
（2）由题设直线的斜率不为0，故设直线，，
由可得，
故即，
且，
故， 解得，
故.
3.答案　（1）（2）见详解　
解析　(1)设，由题设有且，故，故，故，
故椭圆方程为.
(2)直线的斜率必定存在，设，，，
由可得，
故，故，又，
而，故直线，故，
所以
，故，即轴.
【命题规律】近几年的解析几何大题，利用圆锥曲线与直线的位置关系求长度、面积、斜率等或证明等式、或不等式已成热点.
【通性通法】解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题的通法是联立直线与圆锥曲线的方程，结合根与系数的关系进行求解.
4.最值、范围问题
1.（2025·新高考1卷）已知椭圆的离心率为，椭圆下顶点为，右顶点为，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点不在轴上，在射线上，且满足．
设，求的坐标（用，表示）；
设为坐标原点，是上的动点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，求的最大值．
2.(2023新高考I卷)在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【参考答案】
1．【解析】：（1）由题意知，，，所以，所以；
又因为，所以，所以，所以；
所以，，椭圆；
（2）解法一 ：设点，，由题意知，，；
则，解得，
所以点的坐标为，；
解法二 ：设点，，由题意知，，；
在射线上，且满足使得，且.
点的坐标为，.
解法一 ：直线的斜率为，直线的斜率为，
若，则，即，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，又为椭圆上一点，
设，所以的最大值为，
因为，所以时，取得最大值为．
2.【思路探求】
（1）设矩形的三个顶点或矩形一边；
（2）表示出矩形的周长，
（3）利用放缩法、换元法及求导等求最值的方法求出周长最值，再排除边界值.
【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，
故. ………4分
（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
则,令，………6分
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则，……8分
易知则令,
令，解得，当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，则，………11分
故,即.当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,得证. ………12分
法二：不妨设在上，且，
依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，
直线的方程为，则联立
得，，则，………6分
则，同理，………7分
…8分
令，则，设，
则，令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，则，………11分
，但，此处取等条件为，
与最终取等时不一致，故.………12分
【方法优化】为了计算方便,可以将抛物线向下移动个单位得抛物线,
矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.
【通性通法】
圆锥曲线中的最值问题的求解方法：
几何法——题目中的条件带有明显的几何特征，则考虑用几何性质来解决，特别要注意到利用圆锥曲线的定义及平面几何中的定理、性质等进行求解；
代数法——题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则考虑先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值常见的方法有：配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法以及导数等方法.
圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法：
函数法——用其他变量表示参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解；
不等式法——根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围；
判别式法——建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的取值范围；
数形结合法——研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.
5.定点、定值、定线问题
1.(2023全国乙卷)已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
2.(2023新高考II卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【参考答案】
1.【思路探求】
（1）设直线的方程；
（2）求直线 的方程，进而可求点的坐标；
（3）结合韦达定理验证为定值.
【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.………4分
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得，
则，解得，
可得，………6分
因为，则直线，
令，解得，即，同理可得，………9分
则
，所以线段的中点是定点.………12分
【点睛】求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
2.【思路探求】
（1）设出直线方程，与双曲线方程联立；
（2）由点的坐标分别写出直线与的方程；
（3）联立直线方程，解出交点横坐标.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，双曲线方程为.………4分
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，
且，与联立可得，
且，则， ………8分
直线的方程为，直线的方程为，………7分
联立直线与直线的方程可得：
，………10分
由可得，即，据此可得点在定直线上运动. ………12分
【点睛】求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
【通性通法】
定点定值问题的常见解法：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【教材好题】
1.双曲线（，）的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点，
由双曲线的定义可得，所以，的周长为，
当且仅当、、三点共线时，的周长取得最小值，即，解得.
因此，该双曲线的离心率为.故选：D.
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
(1)求的方程；(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，的周长为，所以，所以，故的方程为．
（2）易知的斜率不为0，设，
联立，得，所以．
所以，由，
解得，所以的方程为或．
（3）由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，得．
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．
3.已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且.
(1)求的方程；(2)是上两点（异于点），以为直径的圆过点为的中点，求直线斜率的最大值.
【详解】（1）由抛物线的定义可知.因为，所以.
因为，所以，解得，故的方程为.
（2）由题意知AB斜率不为0，设，
联立方程得，，则
因为以为直径的圆过点，所以，则，
即，解得，所以.
又，所以当时，，
当时，.故直线斜率的最大值为.
4.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（ ）
A．12 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【详解】依题意，周长，解得，
而椭圆的离心率，则其半焦距，因此，
椭圆C：，，显然直线不垂直于y轴，设其方程为，
由消去x得：，设，
则有，
，
令，函数在上单调递增，因此当时，取得最小值4，
即，的面积，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为12.故选：A
5.已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为.
(1)求的标准方程；(2)若，求点的坐标；
(3)若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值.
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）设，则，且，
由题意可知：，解得，所以椭圆的标准方程.
（2）由（1）可知：，且，
由余弦定理可得，
即，解得，设，
由的面积可得，即，解得，
且，则，可得，所以点的坐标为.
（3）因为直线过定点，且点在椭圆C内，
则直线与椭圆C必相交，设，
联立方程，消去x可得，则，
可得，
则的面积为，解得（负值舍去），
所以的值为.
6.已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为，
右焦点到渐近线的距离，解得，
由离心率，又，解得，双曲线的方程为.
（2）设直线的方程为：，
联立，
恒成立，，
直线与双曲线的右支交于两点，，解得.
，
.
专题九：解析几何
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
直线与圆 2025年Ⅰ卷7 圆上到直线距离为定值的点的个数与半径范围
2024年Ⅰ卷11 轨迹方程、曲线与方程概念
2023年Ⅰ卷6 相切、切线夹角正弦值
2022年Ⅰ卷14 直线与圆相切、圆心到直线距离
2021年Ⅰ卷11 位置关系、弦长、切线方程
圆锥曲线 2025年Ⅰ卷3 2025年Ⅰ卷10 2025年Ⅰ卷18 双曲线离心率、几何性质 ； 抛物线定义、标准方程、焦点弦、等积法 ； 直线与椭圆联立、韦达定理、定点定值、面积最值
2024年Ⅰ卷12 2024年Ⅰ卷16 双曲线焦点三角形、定义、离心率； 椭圆直线与椭圆、弦长、三角形面积最值
2023年Ⅰ卷5 2023年Ⅰ卷16 2023年Ⅰ卷22 椭圆离心率、基本量计算； 双曲线离心率、焦点三角形； 抛物线轨迹方程、矩形周长最值证明
2022年Ⅰ卷11 2022年Ⅰ卷16 2022年Ⅰ卷21 抛物线 定义、标准方程、焦点弦、长度/位置关系；椭圆 标准方程、定义、弦长计算；直线与双曲线联立、斜率、三角形面积
2021年Ⅰ卷5 2021年Ⅰ卷14 2021年Ⅰ卷21 直线与圆 位置关系、弦长、切线方程； 抛物线 标准方程、焦点弦性质； 双曲线 轨迹方程、直线与双曲线、斜率和为定值
近五年新高考中, 小题：椭圆、双曲线离心率最高频，其次是抛物线定义/焦点弦、直线与圆位置关系。大题：椭圆必考（2021-2025年4年考查），双曲线2次，抛物线1次。 解答题固定考查直线与圆锥曲线综合，围绕轨迹方程、定点定值、弦长面积、最值/范围、存在性五大类轮换。 强调几何直观+代数运算融合，高频考查设而不求、韦达定理、弦长公式、点到直线距离等通性通法。二级结论（焦点三角形、中点弦、切线方程）可显著提升解题效率。运算量与思维层次双增，突出压轴区分功能。
【易错点提醒】
易错点01：忽略圆锥曲线定义中的限制条件
1.（24-25高三上·陕西榆林·期中）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
易错点02：忽略圆锥曲线焦点的位置
2.（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（ ）
A． B． C．或 D．
易错点03：求离心率范围时忽略离心率本身范围
3.（24-25高三上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ．
易错点04：求轨迹方程时忽略变量的取值范围
4.（24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【典型真题】
1.直线与圆
1.（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
2．（2025·新高考1卷）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A． B． C． D．
3.(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　)
A.1 B. C. D.
4.(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________.
5.(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________.
2.圆锥曲线的基本问题
1.（2025·新高考1卷）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
2.(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A.1 B.2 C.4 D.5
3.（2025·新高考2卷）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
5.(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为
A．（） B．（）
C．（） D．（）
3.直线与圆锥曲线的位置关系
1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知和为椭圆上两点.
(1)求的离心率；
(2)若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程.
2.（2025·新高考2卷）已知椭圆的离心率为，
长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求．
3.(2024·全国甲卷）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
4.最值、范围问题
1.（2025·新高考1卷）已知椭圆的离心率为，椭圆下顶点为，右顶点为，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点不在轴上，在射线上，且满足．
设，求的坐标（用，表示）；
设为坐标原点，是上的动点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，求的最大值．
2.(2023新高考I卷)在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
5.定点、定值、定线问题
1.(2023全国乙卷)已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
2.(2023新高考II卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【教材好题】
1.双曲线（，）的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
(1)求的方程；(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
3.已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且.
(1)求的方程；(2)是上两点（异于点），以为直径的圆过点为的中点，求直线斜率的最大值.
4.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（ ）
A．12 B．2 C．4 D．8
5.已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为.
(1)求的标准方程；(2)若，求点的坐标；
(3)若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值.
6.已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围.

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