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浙江省桐浦富兴2025-2026学年高二下学期6月学考模拟数学试题
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数其中为虚数单位的虚部为( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.若集合，，则( )
A. B. C. D.
4.向量与共线，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知某圆柱的轴截面是面积为的正方形，则该圆柱的侧面积为( )
A. B. C. D.
6.若函数为奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.从这个数中随机选取个不同的数，则这个数的中位数为的概率为( )
A. B. C. D.
8.在长方体中，，，则二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.设，则( )
A. B. C. D.
10.如图，某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系为，关于下列说法：
浮萍每月的增长率为；
第个月时，浮萍面积就会超过；
浮萍每月增加的面积都相等；
若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则．
其中正确的说法是( )
A. B. C. D.
11.已知正方体的棱长为，点为的中点过三点的平面与正方体的表面相交，则其交线围成的几何图形的面积为( )
A. B. C. D.
12.已知定义在上的函数满足当时，，其中，当时，，若方程有无穷多个解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.对于事件，，下列命题正确的是 ( )
A. 如果，互斥，那么与也互斥
B. 如果，对立，那么与也对立
C. 如果，独立，那么与也独立
D. 如果，不独立，那么与也不独立
14.已知函数，下列说法中正确的是( )
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于对称
C. 在区间上单调递增
D. 由函数图象向右平移个单位可得到函数的图象
15.如图，正方形的边长为，，分别是，的中点，交于，现沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为下列说法中正确的是( )
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正切值为
C. 点到面的距离为
D. 四面体的内切球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
16.已知函数，则 ．
17.已知正实数，满足，则的最小值为 ．
18.已知中，点在边上，，，当取得最小值时， ．
四、解答题：本题共3小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
某校为了调查学生的身体素质情况，从全校学生中随机抽取名学生，将他们的周平均体育锻炼时间单位：小时数据按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
求图中的值，并根据频率分布直方图估计全校学生周平均体育锻炼时间的平均数同一组中的数据用该组区间的中间值为代表；
根据此数据，估计该校全体名学生中每周平均体育锻炼超过小时的人数．
20.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知且满足．
求角；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求的面积．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21.本小题分
已知函数，
若，求函数的值域；
若方程有两个不同的根，．
若，求实数的取值范围；
证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】解：因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为，
所以，解得，
估计全校学生周体育锻炼时间的平均数为：
小时；
由频率分布直方图可知，每周平均体育锻炼超过小时的学生占比为，
用频率估计概率可知，该校全体名学生中每周平均体育锻炼超过小时的学生约为
名．
20.【答案】解：由正弦定理可知：可转化为．
根据余弦定理，得，
因为，则．
条件：由正弦定理得：．
由条件可知，则为锐角，即，
所以．
．
条件：由条件可得，，由于，则，
根据三角函数的有界性可知，三角形不存在，不符合要求．
条件：，，由余弦定理：，
，解得．
．

21.【答案】解：当时，在上单调递增，
因此值域为．
方程有两个不同的根，，即有两个不同的根，．
等式两边取对数，可得，
两边平方整理可得，．
其中，
韦达定理可得：，，
由以上可知，
若，即，因此，
则，解得．
记，则，
，
令，，即，
又，则，
，由于，则．
可得，
式中，，即，
化简可得：，即．
式中，，即，
化简可得：，即．
因此．

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