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(共30张PPT)
8.3 列联表与独立性检验
8.3.1 分类变量与列联表
数值变量的取值为实数，
其大小和运算都有实际含义.
分类变量的取值可用实数表示，
但数值只作为编号使用，没有
大小和运算意义.
本节只讨论取值{0,1}的分类变量的关联性
研究一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或存在差异
研究一定范围内的两个变量的相关关系
思考1：如何利用统计数据判断一对分类变量之间是否具有关联性呢？
∴该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面有差异，且男生更经常锻炼.
问题背景：为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查.全校学生的普查数据如下：523名女生中有331名经常锻炼；601名男生中有473名经常锻炼.
你能利用这些数据，说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗？
用Ω表示表示该校全体学生构成的集合，这是我们所关心的对象的总体.考虑以Ω为
样本空间的古典概型，并定义一对分类变量X和Y如下：对于Ω中的每一位学生，分
别令
全校学生的普查数据如下：523名女生中有331名经常锻炼；601名男生中有473名经常锻炼.
性别对体育锻炼的经常性有影响：
性别对体育锻炼的经常性无影响：
频率稳定于概率
在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成2×2列联表加以保存.
问题背景：全校学生的普查数据如下：523名女生中有331名经常锻炼；601名男生中有473名经常锻炼. 你能利用这些数据，说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗？
性别 锻炼 合计
不经常(Y=0) 经常(Y=1) 女生(X=0) 331 523
男生(X=1) 473 601
合计
2×2列联表
192
128
1124
320
804
列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.
性别对体育锻炼的经常性有影响：
性别对体育锻炼的经常性无影响：
频率稳定于概率
X Y 合计
Y=0 Y=1 X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合计 a+c b+d a+b+c+d
(样本容量n)
若不相等，则推断两个分类变量有关联或存在明显差异.
若相等，则推断两个分类变量无关联或没有明显差异.
1.列联表
[例1] 在对人们饮食习惯的一次调查中，从某一居民小区中共调查了124位居民，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用P(Y＝1|X＝0)与P(Y＝1|X＝1)判断二者是否有关系．
大本P84
X Y 合计
Y＝0 Y＝1 X＝0 10 18 28
X＝1 m 26 m ＋26
合计 10＋m 44 m ＋54
则当m取下面何值时，X与Y之间没有影响 (　　)
A．8
B．9
C．14
D．19
C
对于大多数实际问题，我们无法获得所关心的全部对象的数据，但可利用随机抽样获得一定数量的样本数据，再利用随机事件发生的频率稳定于概率的原理作出推断.
性别 锻炼 合计
不优秀(Y=0) 优秀(Y=1) 甲校(X=0) 33 10 43
乙校(X=1) 38 7 45
合计 71 17 88
甲校学生中数学成绩优秀的频率为：
乙校学生中数学成绩优秀的频率为：
依据频率稳定于概率的原理，可推断
P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).
故可认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异，
甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高.
等高堆积条形图
不优秀的频率为0.7674
不优秀的频率为0.8444
例1.为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生.通过测试得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀.试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异.
2.等高堆积条形图
等高条形图展示可列联表数据的频率特征，依据频率稳定与概率的原理，
我们可以推断结果．
①和表格相比，等高条形图更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响.
②比较同色的条形图高度差，若高度差明显，则判断两个分类变量有关系或存在明显差异.
两个分类变量x，y之间关系最强的是(　　)
吸烟与患肺病有关联
D
练习2. 某学校对高三学生做了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张.作出等高堆积条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系.
从图中可以看出性格内向的样本中考前心情紧张的频率比性格外向的样本中考前心情紧张的频率高，可以认为考前心情紧张与性格类型有关联.
思考2：你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？
甲校学生中数学成绩优秀的频率为：
乙校学生中数学成绩优秀的频率为：
依据频率稳定于概率的原理，
可推断P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).
即甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高，故可认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异.
“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这个结论是根据两个频率间存在差异推断出来的.但有可能在随机抽取的样本中，两个频率间确实存在差异，但两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的.
导致推断放错误的原因：
①样本容量较小，导致频率与概率的误差较大；
②样本具有随机性，因而频率有随机性，频率和概率之间存在误差；
思考3：有多大的把握推断“学校与优秀率有关”？这个推断犯错误的可能性多大？
希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算.
8.3.2 独立性检验
判断两个分类变量是否独立(无关联)的检验方法
课前需知
在合理的假设前提下，小概率事件几乎不会发生.
若小概率事件发生了，则认为原假设不成立.
设X和Y为定义在样本空间Ω上，取值于{0, 1}的成对分类变量.
课本P128-129证明
H0：零假设或原假设
由图知χ2≥xα是小概率事件
找某个值xα来界定χ2的大小
理解：犯错误的概率不超过α
(卡方)独立性检验的步骤
(1)认清分类变量，提出零假设H0：X和Y独立，即…与…无关联(无差异)；
(2)列表：列出2×2列联表.
(3)求值：由表中数据计算χ2的值.
(4)推断：将χ2值与临界值xα比较，根据小概率值α的独立性检验规则，得出结论
若χ2≥xα，则推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
若χ2P(χ2≥xα)=α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
利用χ2的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为χ2独立性检验
①作用：由χ2≥xα是否发生推断分类变量X和Y是否独立.
②独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
P(χ2≥xα)=α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
利用χ2的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为χ2独立性检验
如：若假设H0成立，对于小概率值α=0.05的χ2独立性检验规则如下：
(1)当χ2≥3.841=x0.05时，∵P(χ2≥3.841)=0.05，可推断H0不成立，
即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05；
(2)当χ2<3.841=x0.05时，我们没有充分证据推断H0不成立，可认为X和Y独立.
[例1] (多选)(2025·聊城高二期末)某学校调查学生对神舟二十号的关注与性别是否有关，随机抽样调查了1 000名学生，进行独立性检验，计算得到χ2≈7.936，依据表中给出的χ2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是 (　　 )
ACD
A.零假设H0：对神舟二十号的关注与性别独立
B．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为对神舟二十号的关注与性别无关
C．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为对神舟二十号的关注与性别不独立，此推断犯错误的概率不大于0.005
D．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为对神舟二十号的关注与性别独立
A
A.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
例1.依据小概率值α=0.1的独立性检验，两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异.
性别 锻炼 合计
不优秀(Y=0) 优秀(Y=1) 甲校(X=0) 33 10 43
乙校(X=1) 38 7 45
合计 71 17 88
P(χ2≥xα)=α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
提出原(零)假设
计算χ2
找临界值比较
下结论
没有考虑由样本随机性可能导致的错误，
所以这个推断依据不太充分
独立性检验更理性、更全面，理论依据更充分
[例2] (2025·焦作高二期中)近年来，直播带货逐渐兴起，成为乡村振兴的新动力，为了解甲、乙两个推销农产品的直播间的销售情况，统计了两个直播间一段时间内观众下单的相关数据，得到如下的表格：
下单的观众数 未下单的观众数
甲直播间 120 80
乙直播间 60 80
(1)分别估计甲、乙直播间的观众下单的概率；
[例3] (2025·高考 Ⅰ 卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：
组别 超声波检查结果 合计
正常 不正常 患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
[练3] (2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
合计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
下 课
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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