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江西吉安市九校联考2025-2026学年高二下学期6月阶段训练
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，当自变量由变到时，的平均变化率为( )
A. B. C. D.
2.已知数列，下列不是该数列的通项公式的是( )
A. B.
C. D.
3.已知数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
4.函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为( )
A. B.
C. D.
5.已知等差数列的前项和分别为，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知为坐标原点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.某工厂制作一个底面为正方形的无盖长方体储物箱，容积为立方米，底面每平方米的造价为元，侧面每平方米的造价为元，当总造价最低时，底面正方形的边长为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.某班某日共节课，计划安排上语文、数学、外语、美术、体育这门课，若体育课必须安排在第节或第节，且语文课、数学课相邻，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 有个零点 B. 当时，
C. 既有极大值又有极小值 D. 的图象关于点中心对称
10.已知随机变量服从二项分布，若，则( )
A. B.
C. D.
11.已知数列满足，且存在实数，使得恒成立，则( )
A. 是递增数列 B.
C. D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列中，，则 ．
13.已知函数在上单调递增，则的取值范围为 ．
14.在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，，．
求的通项公式；
求的前项和．
16.本小题分
如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，点，均在圆柱的下底面圆周上，与交于点，点在线段上，平面，点在圆柱的上底面圆周上，，．
求的长度；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
若，求的值；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
求的方程；
已知分别为的左、右顶点，是上的一个动点，且在第一象限．
证明：直线与直线的斜率的乘积为定值．
为坐标原点，是的上顶点，求四边形面积的最大值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在上单调递减，求的取值范围；
已知，若存在，使得在上恰有个零点，求的取值范围．
附：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由，得，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，解得；
，
，
得，
，
所以．

16.【答案】解：连接，因为平面，平面，
所以．
因为∽，所以，解得．
过点作，垂足为，
因为，，
所以，．
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
平面的一个法向量为
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.【答案】解：当时，，符合题意；
对于，则，
当时，，则在上单调递增，且时，
故，当时，
所以，若时，取，此时，不符合，
同理，当时，若时，取，此时，不符合，
综上，的值为．
不等式等价于，
令函数，则原不等式等价于，
而，则函数在上单调递增，
因此，即恒成立，由，解得，
所以的取值范围为．

18.【答案】解：由离心率，得，则．
又点在椭圆上，代入得，即，
即，解得，，故椭圆的方程为．
证明：设，则．
因为，所以直线与直线的斜率分别为．
，
所以直线与直线的斜率的乘积为定值，且定值为．
设，则，．
四边形的面积
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以四边形面积的最大值为．

19.【答案】解：当时，．
所求切线方程为，即．
法一：．
令函数．
记的两个根为，且．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以极大值，又当时，．
由，解得，此时，．
若，则，即．
综上，的取值范围为．
法二：．
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令函数，则．
记的两个根为，且．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
，当时，，即，
所以的最大值为，所以，故的取值范围为．
结合可得，当时，在上单调递减，不符合题意．
当时，，若，则，若，则．
记的两个根为，且，则．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
若，则．
．
．
因为，所以，则，在上单调递增．
，同理可得在上单调递增．
．
要使得在上恰有个零点，则，且当时，．
，即．
当时，，即．
记，则．
在上单调递减．，可得在上单调递增．
，所以的最大值为，所以．
综上，的取值范围为．

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