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北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年第二学期6月诊断
高二数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则( )
A. ：，，且为真命题
B. ：，，且为真命题
C. ：，，且为假命题
D. ：，，且为假命题
3.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则是( )
A. 偶函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是增函数
C. 偶函数，且在上是减函数 D. 奇函数，且在上是减函数
5.已知函数，甲同学将的图象向左平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变，得到图象若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是( )
A. B. C. D.
6.小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的个红球、个白球、个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为( )
A. B. C. D.
7.设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则“”是“在上为单调函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭除燃料外的质量间的关系为若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是 参考数据：
A. B. C. D.
10.已知函数是上的奇函数，当时，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知，且，则 ．
13.已知函数的定义域为，且，，写出满足条件的一个函数解析式 ．
14.已知函数且若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ．
15.若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质将具有性质的函数所构成的集合记为给出下列四个结论：
存在，使得；
存在，使得且；
若，且为增函数，则；
若，且为奇函数，为偶函数，则．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数的最大值与最小值．
17.某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过的正整数，选手甲参加轮比赛，分数如下表：
轮次
第一次分数
第二次分数
若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于分，且二者之差的绝对值不超过分，则称其在该轮“稳定发挥”．
若从以上轮比赛中任选轮，求这轮均“稳定发挥”的概率；
假设甲再参加轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率．记为甲在这轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望；
假设选手乙参加轮射击比赛，恰有轮“稳定发挥”，从这十轮比赛中任选轮，记为乙在这轮比赛中“稳定发挥”的轮数，直接写出与的大小关系用“”、“”或“”连接，结论不要求证明．
18.已知函数的定义域为，，函数对任意，曲线在点处的切线方程为．
证明：；
求的单调区间；
已知，求过点且与曲线相切的直线的条数．
19.给定项数为的数列，其中，，，若存在一个正整数，若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”，例如数列，，，，，，因为，，，与，，，按次序对应相等，所以数列是“阶可重复数列”．
Ⅰ分别判断下列数列
，，，，，，，，，．
，，，，，，，，，．
是否是“阶可重复数列”如果是，请写出重复的这项
Ⅱ若项数为的数列一定是“阶可重复数列”，则的最小值是多少说明理由
Ⅲ假设数列不是“阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项或，均可使新数列是“阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 答案不唯一
14.【答案】

15.【答案】
16.【答案】解：函数，，
，
，
曲线在点处的切线方程为，化为；
，
令，则在单调递增，
又，，
存在唯一，使得，．
函数在上单调递减，在上单调递增．
函数在时取得极小值即最小值，．
又，．
．
时，函数取得最大值．
综上可得：函数的最小值为，最大值为．
17.【答案】解：轮比赛中，除第二、六两轮不是“稳定发挥”，“稳定发挥”的有轮．
所以从以上十轮比赛中任选两轮，这两轮均“稳定发挥”的概率为：
．
用频率估计概率，每轮能“稳定发挥”的概率为，
因为甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，所以“稳定发挥”的轮数，
即，，
，．
所以的分布列为：
且．
的值可以为：，
且，，．
所以．
所以．

18.【答案】解：由题意可知曲线在点处的切线斜率为，
所以，
令，得，
单调递减 极小值 单调递增
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，得证；
，
令，，则，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数在处有最小值，即函数在处有最小值，
所以，故函数在区间上单调递增；
由题意可得点在切线上，
所以，
令，
，
由可知，当时，，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因为，所以是方程的一个解；
又，，
所以函数在处有一个零点且在区间内存在唯一零点，
所以有两个解，
即过点且与曲线相切的直线的条数有条．

19.【答案】解：Ⅰ记数列为，因为与按次序对应相等，所以数列是“阶可重复数列”，
重复的这五项为，，，，
记数列为，因为、、、、 、没有完全相同的，
所以不是“阶可重复数列”
Ⅱ因为数列的每一项只可以是或，所以连续项共有种不同的情形若，则数列中有组连续项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为的数列一定是“阶可重复数列”；若，数列，，，，，，，，，不是“阶可重复数列”；则时，均存在不是“阶可重复数列”的数列所以，要使数列一定是“阶可重复数列”，则的最小值是．
由于数列在其最后一项后再添加一项或，均可使新数列是“阶可重复数列”，
即在数列的末项后再添加一项，则存在，
使得与按次序对应相等，
或与按次序对应相等，
如果与不能按次序对应相等，那么必有，，使得、与按次序对应相等．
此时考虑和，其中必有两个相同，这就导致数列中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列是“阶可重复数列”，这和题设中数列不是“阶可重复数列”矛盾所以与按次序对应相等，从而

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