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北京市北京中学2025-2026学年高二第二学期6月质量调研
数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知是偶函数，则实数( )
A. B. C. D.
3.从位男生，位女生中选择人到三个场馆做志愿者，每个场馆各人，且至少有位女生入选，则不同安排方法的种数为( )
A. B. C. D.
4.为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点( )
A. 向右平移个单位，再向上平移个单位 B. 向左平移个单位，再向上平移个单位
C. 向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位
5.甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用局胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，已知，，则电池健康度从衰减到，循环次数大约需要增加( )参考数据：，，
A. B. C. D.
9.设函数，若不等式的解集为，则( )
A. B. C. D.
10.甲盒中有个红球，个白球和个黑球，乙盒中有个红球，个白球和个黑球先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，分别以，，表示由甲盒取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒中随机取出一球，以表示由乙盒取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
，，是两两互斥的事件；
事件与事件相互独立；
；
．
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
11.函数，则 ．
12.“京八件”是北京最具有代表性的传统糕点，包括福字饼、禄字饼、寿字饼、喜字饼、太师饼、椒盐饼、枣花糕和萨其马，每种口味互不相同．某同学不喜欢萨其马，计划从其余种糕点中任意选取种品尝，每种最多选一个．则该同学不同的选法种数为 ．
13.的展开式中的系数为 ．
14.某学校参加社会实践活动的名教师和甲、乙、丙、丁、戊名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为 ．
15.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象位于图象的上方，则的一个取值为 ，的最大值为 ．
16.若集合，其中为非空集合，，，则称集合为集合的一个划分．例如：集合，，均为集合的一个划分．设为有理数集的一个划分，且满足对任意，任意，都有则对于有：
中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；
中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；
中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；
中的元素存在最大值，中的元素存在最小值；
对于以上四种情况，可能成立的序号有 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知函数，．
从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定．求函数的零点；
讨论函数的单调性．
条件：函数的图象过点；
条件：是函数的零点．
注：如果选择的条件不符合要求，本题得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.某企业招聘员工，其中，，，，五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例精确到如下：
岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例
总计
从表中所有应聘人员中随机选择人，试估计此人被录用的概率；
从应聘岗位的人中随机选择名男性和名女性，记为这人中被录用的人数，求的分布列和数学期望；
表中，，，，各岗位的男性、女性录用比例都接近二者之差的绝对值不大于，但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位只需直接写出结论
19.已知椭圆：的一个顶点坐标为，且离心率为．
求椭圆的方程；
已知直线与椭圆有两个不同的交点，为轴上一点．是否存在实数，使得以为直径的圆经过点，且？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由．
20.已知函数．
求函数在处的切线方程；
求证：当时，恒成立；
设函数的定义域为，求证：对，且，都有．
21.对于正整数，，，集合，，，，给定集合的一个子集，对于中的元素，，若存在，且，，使得集合，，，，，，，与的交集所含元素个数为或，则称，为的一个“同形点”．
当时，写出集合，的所有“同形点”；
当只有一个元素时，求其“同形点”的个数；
若的任意子集都有“同形点”，求的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：条件：函数的图象过点，
，则，故不能唯一确定，
条件：是函数的零点，
，则，解得，
，
，令，解得或舍去；
故选择条件，的零点为；
，
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得或舍去，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．

18.【答案】解：因为表中所有应聘人员总数为，
被该企业录用的人数为，
所以从表中所有应聘人员中随机选择人，此人被录用的概率约为．
应聘岗位的人中，男性有人，录用人，女性有人，录用人，
则可取，
，
的分布列为
期望；
分析图表可得，岗位中男女录取比例，但男性应聘人数明显更多，因此影响了总录取率，
除去岗位则男性应聘人数为，录用人数为，录用率约为；
女性应聘人数为，录用人数为，录用率约为，二者之差的绝对值不大于，
故只考虑其中四种岗位，男性、女性的总录用比例也接近．

19.【答案】解：由椭圆：的一个顶点坐标为，得，
又离心率，所以，
由，得，
所以椭圆的方程为；
存在实数，使得以为直径的圆经过点，且，
该直线的方程为或．
理由如下：
假设存在实数，使得以为直径的圆经过点，且，
由，得，
，解得，
设，，则，，
设中点，则，，
由以为直径的圆经过点，得，
又，所以为等腰直角三角形，
所以，且，
因为直线的斜率为，所以的斜率为，
所以所在直线的方程为，
令，得，解得，所以，
，
，
由，得，解得，
，，
由，得，即，
所以，
，
所以，
化简得
解得，
综上，存在实数，使得以为直径的圆经过点，且，
且该直线的方程为或．

20.【答案】解：由，得，，所以，
所以函数在处的切线方程为，
即．
要证时，，即证，即，
所以只需证明令，，，
所以当时，，单调递减，所以，即，
所以当时，恒成立．
由，得或
即时，或时，，
因为，
所以函数对，且，都有时，
在定义域上单调递增．
下面证明函数在定义域上单调递增：
函数的定义域为且，即，，
令，，则，
所以在上，单调递减，在上，单调递增，
所以当时，，所以，所以在上单调递增．
下面证明时，．
为此先证明．．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以当时取等
所以时，，，
时，，．
所以．
综合得，当，，且，都有．

21.【答案】解：Ⅰ，，，
当“同形点”为时，取，
此时，，，，，，，
显然其与，交集所含元素个数为；
当“同形点”为时，取，
此时，，，，，，，
显然其与，交集所含元素个数为，
故其“同形点”为，．
Ⅱ的“同形点”的个数为证明如下：
设，由题：取集合，，，．
若为的“同形点”，应有，且．
当，时，若且，取为，
则，，，与的交集元素个数为，
此时为的“同形点”，共有个；
当，时，同理可得中除外，
其余元素都是的“同形点”，共有个；
当，时，同理可得中除外，
其余元素都是的“同形点”，共有个；
当，时，同理可得中除外，
其余元素都是的”同形点”，共有个．
综上可得的“同形点”的个数为．
Ⅲ的最小值为证明如下：
首先当，时，，由对称性不妨设中元素个数不少于，
对于，，，，设的元素个数为，
若存在，因为，所以存在，有，
不妨设，则，中至少一个是的“同形点”；
若恒成立，因为，所以存在，
有，因为，
所以存在，，使得，，，，不妨设，则为的“同形点”，
其次当时，不妨设：
若，则，取，，，，，，，，，可得其无“同形点”；
若，则，取，，，，，，，，，，
可得其无”同形点”．
综上，的最小值为．
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