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浙教版（2024）七上一周一测（十九）期末专题训练（二）方程思想
一．选择题（共5小题）
1．定义运算“*”，其规则为，则方程5*x＝7的解为（　　）
A．x＝12 B．x＝11 C．x＝﹣11 D．x＝﹣12
2．若3x﹣1的值与3（x+1）的值互为相反数，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
3．关于x的方程2x+4＝0与x+3a＝2的解相同，则a的值是（　　）
A．0 B． C．2 D．
4．某市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等，如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（　　）
A．5（x+21﹣1）＝6（x﹣1） B．5（x+21）＝6（x﹣1）
C．5（x+21﹣1）＝6x D．5（x+21）＝6x
5．如表是2025年11月的月历，现用“凸”在月历中框出4个数，它们的和为73．不改变“凸”图形的大小，将“凸”图形在该月历上移动，所得4个数的和可能是（　　）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
A．9 B．25 C．33 D．57
二．填空题（共3小题）
6．已知一个角的补角是它的余角的2.5倍，则这个角的度数为 　 　 ．
7．已知y1＝3x+2，y2＝4﹣x，若y1+y2＝4，则x的值为　 　 ．
8．如图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长29cm的木条上钻有6个圆孔，每个圆孔的直径均为2.5cm．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为xcm，则x为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
9．为丰富学生课后服务活动，某校准备花5800元添置篮球和足球共60个，已知篮球每个120元，足球每个80元，求新添置篮球和足球各多少个？
为解决问题，明明和雯雯给出了两种方法如下：
（1）填空：
【明明】解：设 　 　 ，根据题意，得：
【雯雯】解：设 　 　 ，根据题意，得：
（2）学校准备制作篮球和足球置物架各一个安放新添置的球，已知篮球置物架一层最多能放6个篮球，足球置物架一层最多能放7个足球，问篮球置物架和足球置物架各至少做几层？
10．已知线段AB．延长线段AB至C．使BC，反向延长线AB至D，使ADAB，P为线段CD的中点，已知AP＝17cm，求线段CD，AB的长．
11．如图，已知AM⊥AN，AE⊥AF，∠EAN∠MAF，求∠EAN的大小．
12．如图，B、C两点把线段AD分成2：4：3三部分，点P是AD的中点，已知CD＝5，求线段PC的长．
13．定义一种新运算，规定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|：
（1）计算1⊙（﹣3）的值：
（2）表示数m的点M在数轴上的位置如图所示，且2⊙m＝6，求m的值．
14．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有．注：古代一斗是10升．大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．请问各位，壶中原有多少升酒？
15．甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后经3小时两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了60千米，相遇后再经1小时乙到达A地．
（1）甲、乙两人的速度分别是多少？
（2）若乙晚1小时出发，问乙出发后经过多少时间后两人相距20千米？
16．已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角的度数的，则称射线OC是∠AOB的奇分线．
（1）判断一个角的平分线是否是这个角的奇分线；
（2）如图，∠MPN＝54°．
①若射线PQ是∠MPN的奇分线，求∠QPN的度数；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°的速度绕点P按逆时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇分线．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024）七上一周一测（十九）期末专题训练（二）方程思想
一．选择题（共5小题）
1．定义运算“*”，其规则为，则方程5*x＝7的解为（　　）
A．x＝12 B．x＝11 C．x＝﹣11 D．x＝﹣12
【分析】根据新定义可得方程，解方程即可得到答案．
【解答】解；∵，
∴5*x，
解得：x＝11．
故选：B．
2．若3x﹣1的值与3（x+1）的值互为相反数，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据互为相反数的定义，两数之和为零，列出方程（3x﹣1）+3（x+1）＝0求解即可得到答案．
【解答】解：由条件可知（3x﹣1）+3（x+1）＝0，
去括号得3x﹣1+3x+3＝0，
合并同类项得6x+2＝0，
移项得6x＝﹣2，
解得，
故选：A．
3．关于x的方程2x+4＝0与x+3a＝2的解相同，则a的值是（　　）
A．0 B． C．2 D．
【分析】先求得方程2x+4＝0的解x＝﹣2，然后将x＝﹣2代入方程x+3a＝2即可求得a的值．
【解答】解：由2x+4＝0得：x＝﹣2，
将x＝﹣2代入方程x+3a＝2得；﹣2+3a＝2，
解得：a．
故选：B．
4．某市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等，如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（　　）
A．5（x+21﹣1）＝6（x﹣1） B．5（x+21）＝6（x﹣1）
C．5（x+21﹣1）＝6x D．5（x+21）＝6x
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
5（x+21﹣1）＝6（x﹣1），
故选：A．
5．如表是2025年11月的月历，现用“凸”在月历中框出4个数，它们的和为73．不改变“凸”图形的大小，将“凸”图形在该月历上移动，所得4个数的和可能是（　　）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
A．9 B．25 C．33 D．57
【分析】根据月历中各数的排列特征，得出“凸”图形所框各数和的规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
设“凸”图形所框数字的最上面一个数为x，
则其余各数为x+6，x+7，x+8，
所以4数之和为：x+x+6+x+7+x+8＝4x+21．
由4x+21＝9得，x，
故A选项不符合题意；
由4x+21＝25得，x＝1，
此时所框的数为1，7，8，9，
所以B选项符合题意；
由4x+21＝33得，x＝3，
此时3的左下方没有数字，
所以C选项不符合题意；
由4x+21＝57得，x＝9，
此时9的右下方没有数字，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
二．填空题（共3小题）
6．已知一个角的补角是它的余角的2.5倍，则这个角的度数为 　30°　 ．
【分析】设这个角为x°，则这个的补角的度数为（180﹣x）°，它的余角的度数为（90﹣x）°，最后，依据这个角的补角是它的余角的2.5倍列方程求解即可．
【解答】解：设这个角为x°，则这个的补角的度数为（180﹣x）°，它的余角的度数为（90﹣x）°，
则根据题意，得180﹣x＝2.5（90﹣x）．
去括号得180﹣x＝225﹣2.5x，
化简得x＝30．
∴这个角的度数是30°，
故答案为：30°．
7．已知y1＝3x+2，y2＝4﹣x，若y1+y2＝4，则x的值为　﹣1　 ．
【分析】根据y1＝3x+2，y2＝4﹣x，y1+y2＝4，可以求得x的值，本题得以解决．
【解答】解：∵y1＝3x+2，y2＝4﹣x，y1+y2＝4，
∴（3x+2）+（4﹣x）＝4，
解得，x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
8．如图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长29cm的木条上钻有6个圆孔，每个圆孔的直径均为2.5cm．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为xcm，则x为　2cm ．
【分析】根据等量关系：所有圆孔的直径+7×两孔边缘之间的距离＝29，即可解决问题．
【解答】解：由题意得；
7x+2.5×6＝29，
解得：x＝2．
故该题答案为2cm．
三．解答题（共8小题）
9．为丰富学生课后服务活动，某校准备花5800元添置篮球和足球共60个，已知篮球每个120元，足球每个80元，求新添置篮球和足球各多少个？
为解决问题，明明和雯雯给出了两种方法如下：
（1）填空：
【明明】解：设 　新添置篮球有x个　 ，根据题意，得：
【雯雯】解：设 　新添置篮球花费y元　 ，根据题意，得：
（2）学校准备制作篮球和足球置物架各一个安放新添置的球，已知篮球置物架一层最多能放6个篮球，足球置物架一层最多能放7个足球，问篮球置物架和足球置物架各至少做几层？
【分析】（1）分别利用设新添置篮球有x个，设新添置篮球花费y元，两种方法进行列式即可；
（2）设新添置篮球有x个，根据题意列方程分别求出篮球和足球的数量，再利用有理数除法进行求解即可．
【解答】解：（1）明明：设新添置篮球有x个，根据题意，得：120x+80（60﹣x）＝5800，
雯雯：设新添置篮球花费y元，根据题意，得，
故答案为：新添置篮球有x个，60﹣x；新添置篮球花费y元，5800﹣y；
（2）设新添置篮球有x个，根据题意得：
120x+80（60﹣x）＝5800，
解得：x＝25，
60﹣25＝35（个），
∴所以篮球有25个，足球有35个，
25÷6＝4 1，4+1＝5（层），
35÷7＝5（层），
答：篮球架要5层，足球架要5层．
10．已知线段AB．延长线段AB至C．使BC，反向延长线AB至D，使ADAB，P为线段CD的中点，已知AP＝17cm，求线段CD，AB的长．
【分析】首先设AB的长度为xcm，则BCxcm，ADxcm，DC＝（xxx）cm，DPCD，APCD﹣DA，从而可求解出x的值即AB的值，进而求出CD的值．
【解答】解：设AB长度为：xcm，则BCxcm，ADxcm，DC＝xxxxcm，
因为点P是CD中点，则DPxcm，AP＝DP﹣DAxxx＝17cm，
所以x＝AB＝24cm，DC＝50cm．
11．如图，已知AM⊥AN，AE⊥AF，∠EAN∠MAF，求∠EAN的大小．
【分析】直线AM与AN互相垂直，则AM与AN相交所成的四个角都是直角．
【解答】解：∵AM⊥AN，
∴∠MAE+∠EAN＝90°．
∵AE⊥AF，
∴∠FAN+∠EAN＝90°．
∴∠MAE+∠FAN+2∠EAN＝180°，
∴（∠MAE+∠EAN+∠FAN）+∠EAN＝180°，
∴∠MAF+∠EAN＝180°，
∴2∠EAN+∠EAN＝180°，
即3∠EAN＝180°，
∴∠EAN＝60°．
12．如图，B、C两点把线段AD分成2：4：3三部分，点P是AD的中点，已知CD＝5，求线段PC的长．
【分析】根据AB：BC：CD＝2：4：3，可得AB、BC的长，根据线段的和差，可得AD的长，根据线段中点的性质，可得PD的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：由AB：BC：CD＝2：4：3，CD＝5，得
AB，BC，
由线段的和差，得
AD＝AB+BC+CD5＝15，
由点P是AD的中点，得
PDAD15，
由线段的和差，得
PC＝PD﹣CD5．
13．定义一种新运算，规定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|：
（1）计算1⊙（﹣3）的值：
（2）表示数m的点M在数轴上的位置如图所示，且2⊙m＝6，求m的值．
【分析】（1）根据规定得出1⊙（﹣3）＝|1﹣3|+|1﹣（﹣3）|，再进一步计算即可；
（2）由2⊙m＝6知|2+m|+|2﹣m|＝6，结合数轴知m＜﹣2，再去绝对值符号、解方程可得答案．
【解答】解：（1）1⊙（﹣3）
＝|1﹣3|+|1﹣（﹣3）|
＝2+4
＝6；
（2）∵2⊙m＝6，
∴1×2+m+2﹣m＝6，
由数轴知m＜﹣2，
∴﹣2﹣m+2﹣m＝6，
解得m＝﹣3．
14．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有．注：古代一斗是10升．大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．请问各位，壶中原有多少升酒？
【分析】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程．
【解答】解：设壶中原有x升酒，
根据题意得：2[2（2x﹣5）﹣5]＝5，
解得x．
答：壶中原有升酒．
15．甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后经3小时两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了60千米，相遇后再经1小时乙到达A地．
（1）甲、乙两人的速度分别是多少？
（2）若乙晚1小时出发，问乙出发后经过多少时间后两人相距20千米？
【分析】（1）根据题意可知乙比甲每小时快20千米，设甲的速度是x千米/时，则乙的速度是（x+20）千米/时，再根据相遇后再经1小时乙到达A地，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设乙出发后经过y小时后两人相距20千米，根据题意分别列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，乙比甲每小时快20千米，
设甲的速度是x千米/时，则乙的速度是（x+20）千米/时，
由题意得：x+20＝3x，
解得：x＝10，
∴x+20＝30，
答：甲的速度是10千米/时，乙的速度是30千米/时；
（2）设乙出发后经过y小时后两人相距20千米，
由题意得：30y+10（y+1）＝4×30﹣20或30y+10（y+1）＝4×30+20，
解得：y＝2.25或y＝3.25，
答：乙出发后经过2.25小时或3.25小时后两人相距20千米．
16．已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角的度数的，则称射线OC是∠AOB的奇分线．
（1）判断一个角的平分线是否是这个角的奇分线；
（2）如图，∠MPN＝54°．
①若射线PQ是∠MPN的奇分线，求∠QPN的度数；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°的速度绕点P按逆时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇分线．
【分析】（1）根据奇分线的定义即可求解；
（2）①分3种情况，根据奇分线的定义得到方程求解即可；
②分3种情况，根据奇分线的定义得到方程求解即可．
【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的奇分线；
（2）①∠MPN＝54°，若射线PQ是∠MPN的奇分线，则根据奇分线的定义可知有3种情况符合题意：
当时，，
解得∠QPM＝36°，
则∠QPN＝18°；
当时，，
解得∠QPN＝36°；
当时，；
综上，∠QPN的度数为18°或36°或27°；
②当时，解得t＝27；
当3t＝54×2时，解得t＝36；
当3t＝54+2×54时，解得t＝54；
综上，当t为27或36或54时，射线PM是∠FPN的奇分线．

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