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2025-2026 学年度下学期高二 6 月练习
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D D C C A AB BC
题号 11
答案 ABC
1
12． 0,20) 13.3 14
2n 2
．3 2 2
15．（1）设等差数列 an 的公差为d ，且d 0，
因为a3 = 6，且a2、 a4、a8 成等比数列，
a1 + 2d = 6 a1 = 2
所以 2 ，解得： ，
(a1 +3d ) = (a1 + d )(a1 + 7d ) d = 2
则an = a1 + d = 2+ 2(n 1) = 2n，
故数列 an 的通项公式为an = 2n；——————————————————6 分
a 2n n
（2）因为b = a + 2 nn n = 2n+ 2 = 2n+ 4 ，
所以 Sn = (2 1+ 41 )+ (2 2+ 42 )+ + (2 n+ 4n )
= 2(1+ 2+ + n)+ (41 + 42 + + 4n )
n
n (1+ n) 4(1 4 )
= 2 +
2 1 4
4
= n2 + n+ (4n 1) .——————————————————————————13 分
3
2 2 2(x 1) (x +1)
16．（1）当a =1时， f (x) = x 2lnx，则 f (x) = 2x = , x 0 ，
x x
由 f (x) 0，得0 x 1；由 f (x) 0，得 x 1，
则函数 f (x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为 (1,+ )；————————5 分
2a 2(x2 a)（2） f (x) = 2x = , x 0，
x x
当 a 0时， f (x) 0，函数 f (x)在 (0,+ )上单调递增，此时函数 f (x)无极值；
当 a 0时，由 f (x) 0，得0 x a ；由 f (x) 0，得 x a ，
答案第 1 页，共 5 页
由 f (x) = 0得 x = a ，
则函数 f (x)在 (0, a ) 上单调递减，在 ( a ,+ )上单调递增，
所以 x = a 是函数 f (x)的极小值点，
2
由题意 f ( a ) = ( a ) 2aln a = a a ln a =1，——————————10 分
记 g (x) = x x ln x 1(x 0)，即 g (a) = a a ln a 1= 0，
则 g (x) =1 1 ln x = ln x，
由 g (x) 0，得 x 1；由 g (x) 0，得0 x 1，由 g (x) = 0得 x =1，
则函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在 (1,+ )上单调递减，
所以函数 g (x) g (1) = 0，当且仅当 x =1时等号成立，
所以a =1 .————————————————————————————————15 分
1+ 2+3+ 4+5 120+100+80+70+55
17．（1） x = = 3， y = = 85，
5 5
i=1
(xi x )( yi y ) = ( 2) 35+ ( 1) 15+ 0 ( 5)+1 ( 15)+ 2 ( 30) = 160，
5
5
2 2 2
(x x ) = ( 2) + ( 1) + 02 +12i + 2
2 =10，
i=1
5
2 2 2 2 2 2 ( yi y ) = 35 +15 + ( 5) + ( 15) + ( 30) = 2600，
i=1
样本相关系数：
5
(xi x )( yi y )
r = i=1
160 160 160
= = 0.99
5 5 ，
2 2 10 2600 10 260 161.2
(xi x ) ( yi y )
i=1 i=1
因为 r 非常接近 1，所以变量 x与 y之间具有很强的线性相关关系.—————————7
分
（2）5 天中取件人数小于 100 的天数有 3 天，
从这 5 天中随机选取 3 天， X 的可能取值为 1，2，3.
C13C
2
P (X =1) = 2
3 1 3
= =
3 ， C5 10 10
C2C1 3 2 3
P (X = 2) = 3 2 = =
C3
，
5 10 5
答案第 2 页，共 5 页
C3C0 1 1 1
P (X = 3) = 3 2 = =3 ， C5 10 10
所以 X 的分布列为：
X 1 2 3
3 3 1
P
10 5 10
————————————————————————————————————13 分
3 3 1 18
X 的数学期望E (X ) =1 + 2 +3 = =1.8——————————————15 分
10 5 10 10
18．（1）设事件 Ai (i =1,2,3)为第 i次投中，
则小溪同学在前3次投篮中就通过测试的概率为：
2 2
2 1 2 16
P = P (A1A2 )+ P (A1A2 A3 )

= + = ．————————————————5 分
3 3 3 27
（2） X 的所有可能取值为：2,3,4,5．
2 2
2 4 1 2 4
P (X = 2) = = ， P (X = 3) = = ，
3 9 3 3 27
2 2 2
1 2 2 1 2 4 4 4 4 7
P(X = 4) = + = ，P(X = 5) =1 + + = ．
3 3 3 3 3 27 9 27 27 27
则 X 的分布列为：
X 2 3 4 5
4 4 4 7
P
9 27 27 27
4 4 4 7 29
E(X ) = 2 +3 + 4 +5 = ．————————————————11 分
9 27 27 27 9
（3）设事件 A：小溪同学通过测试，事件 B：小溪同学恰好投篮了三次，
2
4 1 2 20
因为投篮五次通过概率为P = 1 = ，
9 3 3 243
2
4 4 4 20 200 1 2 4
则P(A) = + + + = ，P(AB) = P(X = 3) = = ，
9 27 27 243 243 3 3 27
答案第 3 页，共 5 页
4
9
则在通过测试的情况下，小溪同学投篮了三次的概率为：P(B∣A) = 27 = ．———17
200 50
243
分
x
19．（1）由a = 0，得 f (x) = 2e ．要证 f (x) 2x+ 2，只需证ex x 1 0．
x
令 g (x) = e x 1 g (x) = ex，则 1．
当 x ( ,0)时， g (x) 0，则 g (x)单调递减；当 x (0,+ )时， g (x) 0，则 g (x)单调
递增.
所以函数 g (x)在 x = 0取得极小值也是最小值，因此 g (x) g (0) = 0，
所以 xex x 1 0，即e x +1，因此 f (x) 2x+ 2．——————————5 分
x
（2）若a = 0， f (x) = 2e 在R 上单调递增，因为 f (x)在R 上有两个零点，所以a 0 .
x 2 x 1 x
由 f (x) = 0得 = ，令m(x) = x ，则m (x) = ，
ex a e e
x
所以m (1) = 0， x 1，时，m (x) 0； x 1时，m (x) 0，
所以m(x)在 ( ,1)上单调递增，在 (1,+ )上单调递减，
1
m(x)有极大值，也就是最大值为m(1) = ，
e
又m(0) = 0， x 无限趋近+ 时，m(x)无限趋近于 0，
2 1
所以 f (x)在R 上有两个零点时，0 ，解得a 2e ，
a e
故 a的取值范围是 (2e,+ )．————————————————————————10 分
1 a
（3）因为 g (x) = f (x) x2 = ex x2 x有两个极值点 x1, x2，
2 2
x a
所以 g (x) = e 2x = 0，有两个实数根 x1, x2，
2
答案第 4 页，共 5 页
a a x x
所以e
x1 2x1 = ， e
x2 2x = ，可得e 2 e 1 = 2(x2 x2 1 )，
2 2
x 2t1
e = et 1
设 t = x2 x1 0，将 x2 = x1 + t 代入，得 ，
x 2t e
t
e 2 =
e
t 1
x x 2t 2t e
t 2t + 2t et
所以e 1 + e 2 = + = ，
et 1 et 1 et 1
t t
所以要证ex
2t + 2t e t + t e
1 + ex2 4，只需证 4， 2，即 (t 2)et + (t + 2) 0．
et 1 et 1
设h(t ) = (t 2)et + (t + 2)(t 0)，则h (t ) = (t 1)et +1．
(t ) = (t 1)et +1 (t ) = tet令 ，则 0，
所以h (t ) = (t 1)et +1在 (0,+ )上为增函数．
又h (0) = 0，所以 t 0时，h (t ) 0，h(t ) = (t 2)et + (t + 2)在 (0,+ )上为增函数．
t
所以h(t ) h(0) = 0，即 (t 2)e + (t + 2) 0成立，
所以ex1 + ex2 4成立．—————————————————————————17 分
答案第 5 页，共 5 页2025-2026学年度下学期高二6月练习
数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．已知p： q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（ ）
（参考数据：，）
A．变量服从正态分布 B．
C． D．
6．已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．已知为数列的前项和，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的（ ）
A．中位数是3 B．第80百分位数是4
C．平均数是3.5 D．方差是11
10．记是等差数列的前项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（ ）
A． B． C．最小 D．
11．已知函数，．令，，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得最小值
B．为偶函数，且
C．方程在区间内有且仅有两个实根
D．对任意，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________．
13．已知数列的前n项和为 则 _________.
14．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且、、成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．（15分）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若的极小值为1，求的值．
17．（15分）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据：
天数(序号)x 1 2 3 4 5
每日取件人数 120 100 80 70 55
(1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)；
(2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望.
注: （1）样本的相关系数
（2）参考数据：
18．（17分）小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为．
(1)求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率；
(2)记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望；
(3)求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率．
19．（17分）已知函数，．
(1)当时，求证：；
(2)若在上有两个零点，求实数的取值范围；
(3)若函数有两个极值点，证明：．

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