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浙江省衢州市2024-2025学年七年级下学期数学期末卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确的选项填涂在答题纸上，不选、多选、错选均不给分）
1．下列调查中，适合采取抽查方式的是（　　）
A．了解某班学生的身体健康状况 B．审核书稿中的错别字
C．调查某篮球队队员的身高 D．了解一批日光灯管的使用寿命
2．黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔的厚度为m，则用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
3．若，则分式的值是（　　）
A． B． C．1 D．
4．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，点A到的距离是图中某条线段的长，则这条线段是（　　）
A． B． C． D．
6．小沈同学在计算时，他的第一步计算过程是：
则小沈这一步做法的依据是（　　）
A．乘法的交换律和结合律 B．等式的基本性质1
C．等式的基本性质2 D．分配律
7．已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，一块三角板角的顶点放在直尺的一边上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（　　）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式： ＝　 　．
12．某校对100名女生的身高进行了测量，身高在至的小组有20人，则该组的频率是　 　．
13．若，则的值是　 　．
14．如图，将三角形沿水平方向向右平移到三角形的位置．已知，，则A，D两点之间的距离是　 　．
15．“绿水青山就是金山银山”，某市为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则x满足的方程是　 　．
16．如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是　 　．
三、解答题（本大题共有7小题，共52分．请务必写出解答过程）
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．解方程（组）
（1）
（2）．
19．先化简，再求值：，其中．
20．骑坐电瓶车时佩戴安全头盔对骑行人员和乘坐人员有非常强的保护作用，某校随机抽取部分学生对骑坐电瓶车是否佩戴安全头盔情况进行问卷调查．有以下四种情况：A：每次戴；B：经常戴；C：偶尔戴；D：都不戴．绘制如下的条形统计图和扇形统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
某校部分学生佩戴安全头盔情况条形统计图
某校部分学生佩戴安全头盔情况扇形统计图
（1）计算出情况C的人数，并将条形统计图补充完整．
（2）求出扇形统计图中情况D的圆心角的度数．
（3）若情况A和情况B的同学对交通安全的意识较强，该校共有1800名学生，估计该校交通安全意识较强的学生有多少人？
21．如图，已知于点D，于点F，与互补．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若，平分，求的度数．
22．阅读材料：若两个数的积等于这两个数和的2倍，称这两个数为“伙伴数”．例如：，所以和1就是一对“伙伴数”．
请完成下列问题：
（1）若x与5是一对“伙伴数”，请求出x的值．
（2）若m与n是一对“伙伴数”，且m，n不为0，请判断等式是否成立？如果成立，请说明理由．
（3）是否存在均为正整数的“伙伴数”，若存在，求出所有符合条件的“伙伴数”，若不存在，说明理由．
23．综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？
如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？
素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍．
素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个．
素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价．
任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量，
任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解某班学生的身体健康状况，适用普查，A错误；
B、审核书稿中的错别字，适用普查，B错误；
C、调查某篮球队队员的身高，适用普查，C错误；
D、了解一批日光灯管的使用寿命，适用抽查方式，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据数量少，范围窄或者有特殊意义的调查用普查，范围广或者具有破坏性的用抽样调查，逐一判断即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为：．
故答案为：B．
【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，小数点向右移动几位，n的绝对值就是几，写出即可．
3．【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】将代入分式，再化简计算即可．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B正确；
C、，C错误；
D、，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项可判断A；根据同底数幂的乘法可判断B；根据积的乘方可判断C；根据同底数幂的除法可判断D．
5．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：点A到直线的距离是线段的长，
故答案为：C．
【分析】根据点到直线的距离就是垂线段的长度求解即可．
6．【答案】A
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：根据题意小沈这一步做法的依据是“乘法的交换律和结合律”，
故答案为：A．
【分析】根据单项式乘法法则求解即可．
7．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将方程组中的两个方程相加得，
两边同时除以3得：，
又∵，
故．
故答案为：C．
【分析】先将两个方程相加，得到的值，进而确定k的值即可．
8．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据题意得到，根据两直线平行，同位角相等得到，再利用角的关系计算求出∠2，进而求出即可．
9．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：由题意知，，
故答案为：A．
【分析】根据左右图形的面积相等求解即可．
10．【答案】A
【知识点】求代数式的值-程序框图；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵第次输出的结果为，
第次输出的结果为，
∴第次输出的结果为，
第次输出的结果为，
∴输出结果以、、为一个循环组依次循环，
∵，
∴第2025次输出的结果为1，
故答案为：A．
【分析】先根据程序图计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果四个一循环，再计算2025次结果即可．
11．【答案】a（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-2）
【分析】观察此多项式的特点，含有公因式a，因此提取公因式分解因式即可。
12．【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：，
∴该组的频率为，
故答案为：．
【分析】根据频率等于频数除以总数，求解即可．
13．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式展开计算即可.
14．【答案】3
【知识点】平移的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由平移的性质可得：A，D两点之间的距离为：，
故答案为：3．
【分析】根据平移的性质得到，求解计算即可．
15．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每天植树x棵，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】设原计划每天植树x棵，则加入志愿者后实际每天植树棵，再根据结果比原计划提前4天完成任务列出方程即可．
16．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴长方形的周长是，
故答案为：．
【分析】设，求出GK，FG，MN，MQ，进而得到，，再根据列出计划等式，求出的值，求解即可．
17．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，再进行加减计算即可；
（2）先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，再合并同类项即可．
18．【答案】（1）解：，得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：分式两边同时乘以得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据加减消元法先用求出x，再代入①中计算y即可；
（2）先将分式方程化为整式方程，再计算求解，最后检验即可．
（1）解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：分式两边同时乘以得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴．
19．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号内的分式通分化简，再计算乘法约分，最后把代入化简后的代数式计算求解即可．
20．【答案】（1）解：人，∴本次参与调查的人数为100人，
∴情况C的人数为人，
补全统计图如下所示：
（2）解：，
∴扇形统计图中情况D的圆心角的度数为；
（3）解：人，
∴估计该校交通安全意识较强的学生有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据参与调查的人数=情况B的人数除以其人数占比计算出总人数，进而可求出情况C的人数，再补全统计图即可；
（2）根据360度乘以情况D的人数占比求解即可；
（3）根据1800乘以样本中情况A和情况B的人数之和的占比计算即可．
（1）解：人，
∴本次参与调查的人数为100人，
∴情况C的人数为人，
补全统计图如下所示：
（2）解：，
∴扇形统计图中情况D的圆心角的度数为；
（3）解：人，
∴估计该校交通安全意识较强的学生有人．
21．【答案】（1）解：平行，理由如下：
∵，，
∴，
∴
∴
∵与互补，即
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到，进而根据同位角相等，两直线平行得到，进而得到，，最后根据内错角相等，两直线平行证出即可；
（2）先根据两直线平行，同旁内角互补得到∠BCD，再根据角平分线的定义得到，进入求出，最后根据两直线平行，同位角相等求解即可．
（1）平行，理由如下：
∵，，
∴，
∴
∴
∵与互补，即
∴
∴；
（2）∵
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴．
22．【答案】（1）解：根据“伙伴数”定义，若x与5是一对“伙伴数”，则满足，
整理得：，
解方程得：.
（2）解：若m与n是一对“伙伴数”，则，∵，
∴，
∴当m与n是一对“伙伴数”，且m，n不为0，等式成立．
（3）解：设正整数为伙伴数，则，∴，
等式两边加4得：，
∴，
∵4的正整数因数分解为：，，，
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴存在均为正整数的“伙伴数”，所有正整数的“伙伴数”为，，．
【知识点】因式分解的应用；分式的混合运算；解一元一次方程
【解析】【分析】本题属于新定义运算类问题，核心考查对新定义的理解，以及一元一次方程，分式运算，因式分解的综合应用.
（1）根据“伙伴数”定义，列出关于x的一元一次方程，通过移项、合并同类项求解即可；
（2）根据“伙伴数”定义得到m与n的关系式，再对目标分式进行通分变形，将关系式代入化简，验证等式是否成立，核心是分式的恒等变形；
（3）根据定义列出等式，通过因式分解将式子变形为，再结合正整数的因数分解，分类讨论所有可能的因数组合，求出对应的正整数解，最终得到所有符合条件的“伙伴数”．
（1）解：根据“伙伴数”定义，若x与5是一对“伙伴数”，则满足，
整理得：，
解方程得：，
（2）解：若m与n是一对“伙伴数”，则，
∵，
∴，
∴当m与n是一对“伙伴数”，且m，n不为0，等式成立．
（3）解：设正整数为伙伴数，则，
∴，
等式两边加4得：，
∴，
∵4的正整数因数分解为：，，，
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴存在均为正整数的“伙伴数”，所有正整数的“伙伴数”为，，．
23．【答案】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；
任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，
由题意得，，
解得，
答：购买篮球4个，购买排球12个．
任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，
，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个，
∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个，
∴，
∴
∴，
∵一定是正整数，
∴一定是3的倍数，
设（k为正整数），
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
当时，，
当时，，此时不符合题意；
随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大，
∵当时，，此时，
∴当时，，
∴只有，满足题意，
答：排球中使用抵扣券的数量为1．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍列出二元一次方程组求解即可；
任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球和购买的排球数量比篮球数量多8个列出二元一次方程组求解即可；
任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，列出关于a，b，c的方程，再根据a，b，c是整数得到一定是3的倍数，按结果分析即可．
1 / 1浙江省衢州市2024-2025学年七年级下学期数学期末卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确的选项填涂在答题纸上，不选、多选、错选均不给分）
1．下列调查中，适合采取抽查方式的是（　　）
A．了解某班学生的身体健康状况 B．审核书稿中的错别字
C．调查某篮球队队员的身高 D．了解一批日光灯管的使用寿命
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解某班学生的身体健康状况，适用普查，A错误；
B、审核书稿中的错别字，适用普查，B错误；
C、调查某篮球队队员的身高，适用普查，C错误；
D、了解一批日光灯管的使用寿命，适用抽查方式，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据数量少，范围窄或者有特殊意义的调查用普查，范围广或者具有破坏性的用抽样调查，逐一判断即可．
2．黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔的厚度为m，则用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为：．
故答案为：B．
【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，小数点向右移动几位，n的绝对值就是几，写出即可．
3．若，则分式的值是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】将代入分式，再化简计算即可．
4．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B正确；
C、，C错误；
D、，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项可判断A；根据同底数幂的乘法可判断B；根据积的乘方可判断C；根据同底数幂的除法可判断D．
5．如图，点A到的距离是图中某条线段的长，则这条线段是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：点A到直线的距离是线段的长，
故答案为：C．
【分析】根据点到直线的距离就是垂线段的长度求解即可．
6．小沈同学在计算时，他的第一步计算过程是：
则小沈这一步做法的依据是（　　）
A．乘法的交换律和结合律 B．等式的基本性质1
C．等式的基本性质2 D．分配律
【答案】A
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：根据题意小沈这一步做法的依据是“乘法的交换律和结合律”，
故答案为：A．
【分析】根据单项式乘法法则求解即可．
7．已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将方程组中的两个方程相加得，
两边同时除以3得：，
又∵，
故．
故答案为：C．
【分析】先将两个方程相加，得到的值，进而确定k的值即可．
8．如图，一块三角板角的顶点放在直尺的一边上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据题意得到，根据两直线平行，同位角相等得到，再利用角的关系计算求出∠2，进而求出即可．
9．如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：由题意知，，
故答案为：A．
【分析】根据左右图形的面积相等求解即可．
10．如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】求代数式的值-程序框图；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵第次输出的结果为，
第次输出的结果为，
∴第次输出的结果为，
第次输出的结果为，
∴输出结果以、、为一个循环组依次循环，
∵，
∴第2025次输出的结果为1，
故答案为：A．
【分析】先根据程序图计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果四个一循环，再计算2025次结果即可．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式： ＝　 　．
【答案】a（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-2）
【分析】观察此多项式的特点，含有公因式a，因此提取公因式分解因式即可。
12．某校对100名女生的身高进行了测量，身高在至的小组有20人，则该组的频率是　 　．
【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：，
∴该组的频率为，
故答案为：．
【分析】根据频率等于频数除以总数，求解即可．
13．若，则的值是　 　．
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式展开计算即可.
14．如图，将三角形沿水平方向向右平移到三角形的位置．已知，，则A，D两点之间的距离是　 　．
【答案】3
【知识点】平移的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由平移的性质可得：A，D两点之间的距离为：，
故答案为：3．
【分析】根据平移的性质得到，求解计算即可．
15．“绿水青山就是金山银山”，某市为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则x满足的方程是　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每天植树x棵，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】设原计划每天植树x棵，则加入志愿者后实际每天植树棵，再根据结果比原计划提前4天完成任务列出方程即可．
16．如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴长方形的周长是，
故答案为：．
【分析】设，求出GK，FG，MN，MQ，进而得到，，再根据列出计划等式，求出的值，求解即可．
三、解答题（本大题共有7小题，共52分．请务必写出解答过程）
17．（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，再进行加减计算即可；
（2）先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，再合并同类项即可．
18．解方程（组）
（1）
（2）．
【答案】（1）解：，得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：分式两边同时乘以得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据加减消元法先用求出x，再代入①中计算y即可；
（2）先将分式方程化为整式方程，再计算求解，最后检验即可．
（1）解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：分式两边同时乘以得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴．
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号内的分式通分化简，再计算乘法约分，最后把代入化简后的代数式计算求解即可．
20．骑坐电瓶车时佩戴安全头盔对骑行人员和乘坐人员有非常强的保护作用，某校随机抽取部分学生对骑坐电瓶车是否佩戴安全头盔情况进行问卷调查．有以下四种情况：A：每次戴；B：经常戴；C：偶尔戴；D：都不戴．绘制如下的条形统计图和扇形统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
某校部分学生佩戴安全头盔情况条形统计图
某校部分学生佩戴安全头盔情况扇形统计图
（1）计算出情况C的人数，并将条形统计图补充完整．
（2）求出扇形统计图中情况D的圆心角的度数．
（3）若情况A和情况B的同学对交通安全的意识较强，该校共有1800名学生，估计该校交通安全意识较强的学生有多少人？
【答案】（1）解：人，∴本次参与调查的人数为100人，
∴情况C的人数为人，
补全统计图如下所示：
（2）解：，
∴扇形统计图中情况D的圆心角的度数为；
（3）解：人，
∴估计该校交通安全意识较强的学生有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据参与调查的人数=情况B的人数除以其人数占比计算出总人数，进而可求出情况C的人数，再补全统计图即可；
（2）根据360度乘以情况D的人数占比求解即可；
（3）根据1800乘以样本中情况A和情况B的人数之和的占比计算即可．
（1）解：人，
∴本次参与调查的人数为100人，
∴情况C的人数为人，
补全统计图如下所示：
（2）解：，
∴扇形统计图中情况D的圆心角的度数为；
（3）解：人，
∴估计该校交通安全意识较强的学生有人．
21．如图，已知于点D，于点F，与互补．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若，平分，求的度数．
【答案】（1）解：平行，理由如下：
∵，，
∴，
∴
∴
∵与互补，即
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到，进而根据同位角相等，两直线平行得到，进而得到，，最后根据内错角相等，两直线平行证出即可；
（2）先根据两直线平行，同旁内角互补得到∠BCD，再根据角平分线的定义得到，进入求出，最后根据两直线平行，同位角相等求解即可．
（1）平行，理由如下：
∵，，
∴，
∴
∴
∵与互补，即
∴
∴；
（2）∵
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴．
22．阅读材料：若两个数的积等于这两个数和的2倍，称这两个数为“伙伴数”．例如：，所以和1就是一对“伙伴数”．
请完成下列问题：
（1）若x与5是一对“伙伴数”，请求出x的值．
（2）若m与n是一对“伙伴数”，且m，n不为0，请判断等式是否成立？如果成立，请说明理由．
（3）是否存在均为正整数的“伙伴数”，若存在，求出所有符合条件的“伙伴数”，若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：根据“伙伴数”定义，若x与5是一对“伙伴数”，则满足，
整理得：，
解方程得：.
（2）解：若m与n是一对“伙伴数”，则，∵，
∴，
∴当m与n是一对“伙伴数”，且m，n不为0，等式成立．
（3）解：设正整数为伙伴数，则，∴，
等式两边加4得：，
∴，
∵4的正整数因数分解为：，，，
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴存在均为正整数的“伙伴数”，所有正整数的“伙伴数”为，，．
【知识点】因式分解的应用；分式的混合运算；解一元一次方程
【解析】【分析】本题属于新定义运算类问题，核心考查对新定义的理解，以及一元一次方程，分式运算，因式分解的综合应用.
（1）根据“伙伴数”定义，列出关于x的一元一次方程，通过移项、合并同类项求解即可；
（2）根据“伙伴数”定义得到m与n的关系式，再对目标分式进行通分变形，将关系式代入化简，验证等式是否成立，核心是分式的恒等变形；
（3）根据定义列出等式，通过因式分解将式子变形为，再结合正整数的因数分解，分类讨论所有可能的因数组合，求出对应的正整数解，最终得到所有符合条件的“伙伴数”．
（1）解：根据“伙伴数”定义，若x与5是一对“伙伴数”，则满足，
整理得：，
解方程得：，
（2）解：若m与n是一对“伙伴数”，则，
∵，
∴，
∴当m与n是一对“伙伴数”，且m，n不为0，等式成立．
（3）解：设正整数为伙伴数，则，
∴，
等式两边加4得：，
∴，
∵4的正整数因数分解为：，，，
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴存在均为正整数的“伙伴数”，所有正整数的“伙伴数”为，，．
23．综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？
如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？
素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍．
素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个．
素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价．
任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量，
任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量．
【答案】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；
任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，
由题意得，，
解得，
答：购买篮球4个，购买排球12个．
任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，
，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个，
∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个，
∴，
∴
∴，
∵一定是正整数，
∴一定是3的倍数，
设（k为正整数），
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
当时，，
当时，，此时不符合题意；
随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大，
∵当时，，此时，
∴当时，，
∴只有，满足题意，
答：排球中使用抵扣券的数量为1．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍列出二元一次方程组求解即可；
任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球和购买的排球数量比篮球数量多8个列出二元一次方程组求解即可；
任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，列出关于a，b，c的方程，再根据a，b，c是整数得到一定是3的倍数，按结果分析即可．
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