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河南省叶县高级中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
3．已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（ ）
1 2 3
A．4 B．5 C．6 D．9
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．设，这两个正态曲线如图所示.则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知某地10月份第x天的平均气温为y（单位：℃），x，y线性相关，由x，y的前7天样本数据求得的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．x，y负相关
B．第8天的平均气温为18℃
C．前7天平均气温的平均数为19℃
D．若剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点，则相关系数变大
10．若展开式中所有二项式系数之和为1024，且，则（ ）
A．
B．
C．能被200整除
D．除以7所得的余数为2
11．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题
12．设随机变量的概率分布列为，其中，那么的值为______.
13．已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为______.
14．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和，例如正整数.设，其中，，，均为自然数，则满足条件的有序数组的个数为__________.（用数字作答）
四、解答题
15．已知数列 .
(1)令 ，证明数列 是等差数列，并求出通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
16．近年来，国家鼓励德智体美劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程之一，某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计，跳舞与性别情况如下表：（单位：人）
喜欢跳舞 不喜欢跳舞
女性 25 35
男性 5 25
(1)根据表中数据并依据小概率值的独立性检验，分析喜欢跳舞与性别是否有关联？
(2)用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中喜欢跳舞的人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：，.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
17．在正三棱柱中，已知分别是棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)求函数的极值；
(3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值．
19．椭圆：（）经过点，左、右焦点分别为，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点.
（ⅰ）过点做椭圆的切线，当切线平行时，求：切线方程.
（ⅱ）求面积的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《河南省叶县高级中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B C D B C AC ACD
题号 11
答案 AD
12． 13． 14．48
15．(1)证明： ，
两端除以 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，
所以数列 是以 4 为首项，3 为公差的等差数列，
（2） ，
，①
由①-②，得 ，
.
16．【详解】（1）零假设：：喜欢跳舞与性别无关联，
由题意，，
依据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为喜欢跳舞与性别有关联.
（2）由题知，考生喜欢跳舞的概率，不喜欢跳舞的概率为
X的可能取值为0，1，2，3
，，
，
所以X的分布列如下：
0 1 2 3
由，数学期望.
17．【详解】（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则，
在与中，易得，，因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理，，因为平面，平面，所以平面，
又因平面，故平面平面.
（2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向，
过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
因，，
则，即令，则，
设平面的法向量为，
则，即令，则，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．则，
令，即，解得，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，当时，函数取得最小值，即，
所以当时，的最小值为，此时.
（2）由题意得，，其定义域为，
则，
①当时，恒成立，所以函数在上单调递增，
所以不存在极值；
②当时，令，解得，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，当时，存在极大值，无极小值；
综上所述，当时，函数不存在极值；
当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值.
（3）由题意知，当时，不等式在上恒成立，
即，等价于在上恒成立，
设，即
则，
令，则，
当时，恒成立，则在上单调递增，
又，，
所以，使，即，
当，，即，
当，，即，
即在上单调递减，在上单调递增，
当，存在最小值，即，
由，得，
，
所以，
又，所以的最大值为4.
19．【详解】（1）由题意可得，
又，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）（ⅰ）由（1）可得：，，
设，，，
可知直线方程为：.
设切线方程为，
代入,得到
令，解得，
因 P 在第一象限，切线斜率为负，故
所以切线方程为：.
（ⅱ）直线：，到直线的距离为
且，
当且仅当时等号成立.
因为在椭圆上，所以，
则：，令，，
则：，令，，
则，
.
故四边形面积为定值2.
所以的面积，
所以面积的最大值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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