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河南洛阳市第一高级中学英才部2025-2026学年高二下学期6月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
2．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（　　）
A． B．
C． D．
3．设两个正态分布和曲线如图所示，则有（ ）

A． B．
C． D．
4．为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为
A． B． C． D．
5．在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
7．设集合，选择集合的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）.
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
8．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D．的面积为
10．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
11．已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
三、填空题
12．已知二项式，则展开式中的系数为_____．
13．已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．
14．记的内角的对边分别为．已知，，若的面积为，则______．
四、解答题
15．已知数列满足，，数列满足，.
（1）证明：是等比数列；
（2）数列满足，求数列的前项的和.
16．如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，.
（1）若为中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望．
18．已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
19．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）．
(1)求的离心率；
(2)是否存在常数，使得总成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(3)若为定值，直线经过，求的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《河南洛阳市第一高级中学英才部2025-2026学年高二下学期6月月考数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C D A B B AC BD
题号 11
答案 ABC
12． 13． 14．/
15．（1）
，又因为，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
（2）
满足上式.
16．
（Ⅰ）∵四边形为菱形，，连结，则为等边三角形，
又∵为中点∴，由得∴
∵底面，底面∴，又∵
∴平面
（Ⅱ）∵四边形为菱形，，，
得，，∴ 又∵底面，
分别以，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系
、、、
∴，，
设平面的一个法向量，
则有，令，则
∴直线与平面所成角的正弦值
．
17．【详解】（1）因为甲获胜有两种情况：第三第四两局都是甲胜，或者第三第四两局甲乙各胜一局，第五局甲胜，故甲胜的概率为；
（2）由已知的可能值为2或3，
，
．
故分布列如下：
2 3
0.52 0.48
．
18．【详解】（1）因为，故，故，故，
故即为，
设，则，故在上为增函数，
而即为，故，
故原不等式的解为.
（2）在有极大值即为有极大值点.
，
若，则时，，时，，
故为的极小值点，无极大值点，故舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
若，则时，，无极值点，舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
综上，且.
19．【详解】（1）由题意，所以，
所以的离心率.
（2）①当时，，，
此时，有.
②当时，可得的斜率都存在，设，
则，
因为，
即，其中为锐角，
即，，
所以，即.
所以存在常数，使得总成立.
（3）由对称性，设直线的方程为，代入，
得，即，
所以，
令，则，
令，则，
所以单调递增，所以的最小值为，
所以，当且仅当“”时，取等号.
由（2）可知，
所以.
所以
，
当且仅当“且”时，取等号．
所以的最小值为.
答案第1页，共2页
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