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浙江省温州市乐清市2024—2025学年下学期七年级数学期末试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，其中第8小题为多选题，其他小题为单选题，不选、多选、错选，均不给分）
1．如图，，被所截，则的内错角是（　　）
A． B． C． D．
2．我国科研团队于今年研发的全球首例128比特光量子芯片登上《自然》封面．芯片每个组件定位精度达到0.00000002米．数据0.000000002用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，统计七年级部分女生的跳远成绩，得到频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．跳远成绩在（含）以上的人数为（　　）
A．13 B．20 C．33 D．46
4．要使分式的值为0，则的值是（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
5．下列运算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．测量跳远项目的成绩时，老师会测量学生后脚跟落地点到起跳线的垂线段长度．现一学生跳远训练情况如图所示，点表示后脚跟落点，点表示前脚跟落点，垂直于起跳线，垂足分别为，则测量成绩的线段是（　　）
A． B． C． D．
7．用代入消元法解二元一次方程组时，将代入，得（　　）
A． B． C． D．
8．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
9．马拉松赛是全民健身的热门项目，2025年乐清半程马拉松的总赛程约为21公里，在同一场比赛中选手甲每小时比选手乙快3千米，最终甲冲刺终点的时间比乙早30分钟，若乙的平均速度为每小时x千米，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x2+3x=　 　．
12．计算：　 　．
13．某校对七年级某班20名男生进行跑测试，经统计，成绩在秒这小组的频数为4，则该小组的频率是　 　．
14．若方程组的解也是方程的解，则的值是　 　．
15．将一副三角板按如图所示的方式放置，边在直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转，当第一次与平行时，的度数是　 　度．
16．将三张大小一样的正方形纸片按如图所示两种不同方式重叠地放置在长方形中，，图，图中阴影部分面积分别为，图中间的正方形纸片上下平移时，不变．设正方形的边长为，试用含的代数式表示，则　 　；若，则的值是　 　．
三、解答题（本题有7小题，共52分，解答需写出必要的文字说明或演算步骤）
17．计算：
（1）．
（2）．
18．解下列方程（组）：
（1）
（2）．
19．先化简，再求值：，并从，1，2中选一个恰当的数作为的值代入求值．
20．某校为了更合理地开设棋类拓展课程，需要了解同学们对棋类项目的喜好程度，故随机抽选部分学生做一次棋类项目问卷调查（每人只能选一种），并制作统计图如图所示．
（1）求本次抽样调查学生的总人数，并补全条形统计图．
（2）若该校七年级选择棋类拓展课的学生有200人，请估计该校七年级学生选择象棋的人数．
21．在一些日历牌上，我们可以发现日期数满足某些规律．如图是2025年6月的日历牌．若任意选择纵向的连续三个日期数，计算第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方，发现：；．
（1）根据题目所给规律，再选择一个试一试，看看结果是否都相同．
（2）请用代数式运算的知识说明理由．
22．如图，在四边形中，，点在边上，平分，延长至点，连结，使得．
（1）请说明的理由．
（2）连结，若，，求的度数．
23．如图所示的甲、乙、丙三种长方形木板可以用来制作无盖长方体木箱，其中甲木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成三块刚好能做箱底和两个短侧面，丙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面．设甲木板有块，乙木板有块．
（1）已知丙木板有12块．
①根据题意填写下表：
木板种类 长侧面 短侧面 箱底
甲 ______ /
乙 / ______
丙 12 12 /
合计 ______ ______
②将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，求，的值．
（2）已知三种木板共有块（），用它们去做无盖长方体木箱，要求材料无剩余，求能做多少个长方体木箱？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：由图可知，的内错角为；
故答案为：D．
【分析】根据内错角的定义，找出即可．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.000000002用科学记数法表示为，
故答案为：A．
【分析】根据科学记数法的一般表示形式：，其中，为整数，小数点向右移动即为，n的绝对值就是几，写出即可．
3．【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由频数直方图可知，跳远成绩在（含）以上的人数为（人）
故答案为：D.
【分析】根据频数直方图找到符合题意的频数求和即可．
4．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 要使=0，则x-1=0，且x+3≠0，
∴ x=1，且x≠-3.
故答案为：C.
【分析】根据分式的值为零的条件是分子为零而分母不为零，即可求得.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：、，A错误；
、，B正确；
、，C错误；
、，D错误；
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法法则可判断A；根据幂的乘方可判断B；根据积的乘方可判断C；根据同底数幂的除法法则可判断D．
6．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由图和题意可得：测量成绩的线段是；
故答案为：B．
【分析】根据垂线段最短和测试时量学生后脚跟落地点到起跳线的垂线段长度，写出即可．
7．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入得，，
故答案为：．
【分析】将y的值换为x-4代入②式即可．
8．【答案】A,C
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A ，故A项符合题意；
B 不能分解因式，故B项不符合题意；
C ，故C项符合题意；
D 不能分解因式，故D项不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】利用完全平方式分解因式，逐一判断即可.
9．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙的平均速度为每小时x千米，则甲的平均速度为每小时（x+3）千米，
根据题意可得， .
故答案为：D.
【分析】设乙的平均速度为每小时x千米，则甲的平均速度为每小时（x+3）千米，根据时间=路程÷速度计算出选手所用时间， 根据甲冲刺终点的时间比乙早30分钟， 列出分式方程即可.
10．【答案】A
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：对于图1，由折叠可知：，
∵长方形纸条，
∴，
∴，，
∴度，
对于图2，由折叠可知：度，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为定值；
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的定义和两直线平行，内错角相等、同旁内角互补得到x，y的关系式，进行判断即可．
11．【答案】x（x+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+3x=x（x+3）．
【分析】观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
12．【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据分式乘法法则：将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母，进而约分化简即可．
13．【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：已知总数是名男生（即数据总数为 ），该小组频数为．
频率频数总数，这里频数，总数
该小组频率
故答案为： ．
【分析】根据频率等于频数除以总数计算即可．
14．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
用式减去式可得：
把代入式可得：
∵方程组的解也是方程的解，把，代入得：
故答案为：．
【分析】先根据加减消元法解二元一次方程组求出、，再将其代入含的方程求解即可．
15．【答案】75
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠ABC，再两直线平行，同位角相等得到∠AFE，最后根据平角的定义计算求解即可．
16．【答案】；
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的其他应用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得，
∵图中间的正方形纸片上下平移时，不变．
∴，
∴，
∵即
∴
由图可得，由图可得，且
∵，
∴
∴
，
∴，
∴
故答案为：，．
【分析】先根据图中间的正方形纸片上下平移时，不变得到，进而即可表示，再根据图形分别求出，最后根据其关系列出一元一次方程求解得到，再计算比值即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先根据乘方、负整数指数幂和零指数幂化简，再进行有理数的加减运算即可．
（2）先利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可．
（1）解：
（2）解：
18．【答案】（1）解：
解：，得．③
③②，得，解得．
把代入①，得，解得．
∴原方程组的解是
（2）解：．
解：方程两边同乘，得．
去括号，．
化简，得．
经检验，是原方程的根．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据加减消元法先求出y，再代入①式求出x即可；
（2）先去分母、去括号，再系数化为1，最后进行检验即可．
（1）解：
解：，得．③
③②，得，解得．
把代入①，得，解得．
所以原方程组的解是
（2）．
解：方程两边同乘，得．
去括号，．
化简，得．
经检验，是原方程的根．
19．【答案】解：原式
原式分母不能为，即，，，
，，．
当时，．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号内分式通分，再将除法转化为乘法，进而因式分解约分化简，最后选取使原式有意义的值代入即可．
20．【答案】（1）解： 五子棋人数为人，占抽样总人数的，
抽样总人数为（人）．
跳棋人数为（人），补全条形统计图如下：
（2）解：（人）．
估计选择象棋的人数为（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据五子棋的“部分量÷对应占比 = 总量”求出总人数；再用总人数减去已知棋类项目的人数，得到跳棋人数，最后补全条形统计图即可．
（2）先计算抽样中象棋人数占总人数的比例，再用七年级选棋类拓展课的总人数乘以该比例，求解即可．
（1）解： 五子棋人数为人，占抽样总人数的，
抽样总人数为（人）．
跳棋人数为（人），补全条形统计图如下：
（2）解：（人）．
估计选择象棋的人数为（人）．
21．【答案】（1）解：，
∴结果都相同
（2）解：设连续的三个数分别为．
则
．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）选星期二的连续三个纵向的数，计算判断即可．
（2）设连续的三个数分别为，再根据第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方列式计算即可．
（1）解：依题意，，
∴结果都相同
（2）解：依题意，设连续的三个数分别为．
则
．
22．【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
设度，
∴，
解得．
∴的度数是．
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而利用角的等量代换得，最后根据同旁内角互补，两直线平行证出即可；
（2）线根据角平分线的定义和角的关系得到，再根据垂直的定义和两直线平行，同旁内角互补得到，最后根据角的关系列出一元一次方程求解即可．
（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
设度，
∴，
解得．
∴的度数是．
23．【答案】（1）解：①
木板种类 长侧面 短侧面 箱底
甲 /
乙 /
丙 12 12 /
合计
②解：由题意可得：
解得
（2）解：设甲木板有块，乙木板有块，则丙木板有块．
此时长侧面有块，短侧面有块，箱底有块．
解得
∵，
当时，，
当时，，
当时，．
则能做45个或48个或51个长方体木箱．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；长方体纸盒的制作
【解析】【分析】（1）①根据三种木板制作木箱各部分（长侧面、短侧面、箱底 ）的数量关系，填写表格即可；
②根据长侧面、短侧面数量关系列出二元一次方程组，求解即可．
（2）设甲木板有块，乙木板有块，则丙木板有块，根据长侧面、短侧面、箱底数量关系列出方程，再根据取值范围确定木箱数量即可．
（1）解：①
木板种类 长侧面 短侧面 箱底
甲 /
乙 /
丙 12 12 /
合计
②解：
解得
（2）解：方法一：设甲木板有块，乙木板有块，则丙木板有块．
此时长侧面有块，短侧面有块，箱底有块．
根据题意，得①，②
由①得，，代入②得，．
因为，由尝试检验可知：或或，
对应的分别为30，32，34，这时或48或51．
答：能做45个或48个或51个长方体木箱．
方法二：设甲木板有块，乙木板有块，则丙木板有块．
此时长侧面有块，短侧面有块，箱底有块．
解得
因为，
当时，，
当时，，
当时，．
则能做45个或48个或51个长方体木箱．
1 / 1浙江省温州市乐清市2024—2025学年下学期七年级数学期末试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，其中第8小题为多选题，其他小题为单选题，不选、多选、错选，均不给分）
1．如图，，被所截，则的内错角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：由图可知，的内错角为；
故答案为：D．
【分析】根据内错角的定义，找出即可．
2．我国科研团队于今年研发的全球首例128比特光量子芯片登上《自然》封面．芯片每个组件定位精度达到0.00000002米．数据0.000000002用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.000000002用科学记数法表示为，
故答案为：A．
【分析】根据科学记数法的一般表示形式：，其中，为整数，小数点向右移动即为，n的绝对值就是几，写出即可．
3．如图，统计七年级部分女生的跳远成绩，得到频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．跳远成绩在（含）以上的人数为（　　）
A．13 B．20 C．33 D．46
【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由频数直方图可知，跳远成绩在（含）以上的人数为（人）
故答案为：D.
【分析】根据频数直方图找到符合题意的频数求和即可．
4．要使分式的值为0，则的值是（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 要使=0，则x-1=0，且x+3≠0，
∴ x=1，且x≠-3.
故答案为：C.
【分析】根据分式的值为零的条件是分子为零而分母不为零，即可求得.
5．下列运算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：、，A错误；
、，B正确；
、，C错误；
、，D错误；
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法法则可判断A；根据幂的乘方可判断B；根据积的乘方可判断C；根据同底数幂的除法法则可判断D．
6．测量跳远项目的成绩时，老师会测量学生后脚跟落地点到起跳线的垂线段长度．现一学生跳远训练情况如图所示，点表示后脚跟落点，点表示前脚跟落点，垂直于起跳线，垂足分别为，则测量成绩的线段是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由图和题意可得：测量成绩的线段是；
故答案为：B．
【分析】根据垂线段最短和测试时量学生后脚跟落地点到起跳线的垂线段长度，写出即可．
7．用代入消元法解二元一次方程组时，将代入，得（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入得，，
故答案为：．
【分析】将y的值换为x-4代入②式即可．
8．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A ，故A项符合题意；
B 不能分解因式，故B项不符合题意；
C ，故C项符合题意；
D 不能分解因式，故D项不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】利用完全平方式分解因式，逐一判断即可.
9．马拉松赛是全民健身的热门项目，2025年乐清半程马拉松的总赛程约为21公里，在同一场比赛中选手甲每小时比选手乙快3千米，最终甲冲刺终点的时间比乙早30分钟，若乙的平均速度为每小时x千米，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙的平均速度为每小时x千米，则甲的平均速度为每小时（x+3）千米，
根据题意可得， .
故答案为：D.
【分析】设乙的平均速度为每小时x千米，则甲的平均速度为每小时（x+3）千米，根据时间=路程÷速度计算出选手所用时间， 根据甲冲刺终点的时间比乙早30分钟， 列出分式方程即可.
10．已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：对于图1，由折叠可知：，
∵长方形纸条，
∴，
∴，，
∴度，
对于图2，由折叠可知：度，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为定值；
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的定义和两直线平行，内错角相等、同旁内角互补得到x，y的关系式，进行判断即可．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x2+3x=　 　．
【答案】x（x+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+3x=x（x+3）．
【分析】观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
12．计算：　 　．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据分式乘法法则：将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母，进而约分化简即可．
13．某校对七年级某班20名男生进行跑测试，经统计，成绩在秒这小组的频数为4，则该小组的频率是　 　．
【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：已知总数是名男生（即数据总数为 ），该小组频数为．
频率频数总数，这里频数，总数
该小组频率
故答案为： ．
【分析】根据频率等于频数除以总数计算即可．
14．若方程组的解也是方程的解，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
用式减去式可得：
把代入式可得：
∵方程组的解也是方程的解，把，代入得：
故答案为：．
【分析】先根据加减消元法解二元一次方程组求出、，再将其代入含的方程求解即可．
15．将一副三角板按如图所示的方式放置，边在直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转，当第一次与平行时，的度数是　 　度．
【答案】75
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠ABC，再两直线平行，同位角相等得到∠AFE，最后根据平角的定义计算求解即可．
16．将三张大小一样的正方形纸片按如图所示两种不同方式重叠地放置在长方形中，，图，图中阴影部分面积分别为，图中间的正方形纸片上下平移时，不变．设正方形的边长为，试用含的代数式表示，则　 　；若，则的值是　 　．
【答案】；
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的其他应用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得，
∵图中间的正方形纸片上下平移时，不变．
∴，
∴，
∵即
∴
由图可得，由图可得，且
∵，
∴
∴
，
∴，
∴
故答案为：，．
【分析】先根据图中间的正方形纸片上下平移时，不变得到，进而即可表示，再根据图形分别求出，最后根据其关系列出一元一次方程求解得到，再计算比值即可.
三、解答题（本题有7小题，共52分，解答需写出必要的文字说明或演算步骤）
17．计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先根据乘方、负整数指数幂和零指数幂化简，再进行有理数的加减运算即可．
（2）先利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可．
（1）解：
（2）解：
18．解下列方程（组）：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：
解：，得．③
③②，得，解得．
把代入①，得，解得．
∴原方程组的解是
（2）解：．
解：方程两边同乘，得．
去括号，．
化简，得．
经检验，是原方程的根．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据加减消元法先求出y，再代入①式求出x即可；
（2）先去分母、去括号，再系数化为1，最后进行检验即可．
（1）解：
解：，得．③
③②，得，解得．
把代入①，得，解得．
所以原方程组的解是
（2）．
解：方程两边同乘，得．
去括号，．
化简，得．
经检验，是原方程的根．
19．先化简，再求值：，并从，1，2中选一个恰当的数作为的值代入求值．
【答案】解：原式
原式分母不能为，即，，，
，，．
当时，．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号内分式通分，再将除法转化为乘法，进而因式分解约分化简，最后选取使原式有意义的值代入即可．
20．某校为了更合理地开设棋类拓展课程，需要了解同学们对棋类项目的喜好程度，故随机抽选部分学生做一次棋类项目问卷调查（每人只能选一种），并制作统计图如图所示．
（1）求本次抽样调查学生的总人数，并补全条形统计图．
（2）若该校七年级选择棋类拓展课的学生有200人，请估计该校七年级学生选择象棋的人数．
【答案】（1）解： 五子棋人数为人，占抽样总人数的，
抽样总人数为（人）．
跳棋人数为（人），补全条形统计图如下：
（2）解：（人）．
估计选择象棋的人数为（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据五子棋的“部分量÷对应占比 = 总量”求出总人数；再用总人数减去已知棋类项目的人数，得到跳棋人数，最后补全条形统计图即可．
（2）先计算抽样中象棋人数占总人数的比例，再用七年级选棋类拓展课的总人数乘以该比例，求解即可．
（1）解： 五子棋人数为人，占抽样总人数的，
抽样总人数为（人）．
跳棋人数为（人），补全条形统计图如下：
（2）解：（人）．
估计选择象棋的人数为（人）．
21．在一些日历牌上，我们可以发现日期数满足某些规律．如图是2025年6月的日历牌．若任意选择纵向的连续三个日期数，计算第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方，发现：；．
（1）根据题目所给规律，再选择一个试一试，看看结果是否都相同．
（2）请用代数式运算的知识说明理由．
【答案】（1）解：，
∴结果都相同
（2）解：设连续的三个数分别为．
则
．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）选星期二的连续三个纵向的数，计算判断即可．
（2）设连续的三个数分别为，再根据第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方列式计算即可．
（1）解：依题意，，
∴结果都相同
（2）解：依题意，设连续的三个数分别为．
则
．
22．如图，在四边形中，，点在边上，平分，延长至点，连结，使得．
（1）请说明的理由．
（2）连结，若，，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
设度，
∴，
解得．
∴的度数是．
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而利用角的等量代换得，最后根据同旁内角互补，两直线平行证出即可；
（2）线根据角平分线的定义和角的关系得到，再根据垂直的定义和两直线平行，同旁内角互补得到，最后根据角的关系列出一元一次方程求解即可．
（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
设度，
∴，
解得．
∴的度数是．
23．如图所示的甲、乙、丙三种长方形木板可以用来制作无盖长方体木箱，其中甲木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成三块刚好能做箱底和两个短侧面，丙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面．设甲木板有块，乙木板有块．
（1）已知丙木板有12块．
①根据题意填写下表：
木板种类 长侧面 短侧面 箱底
甲 ______ /
乙 / ______
丙 12 12 /
合计 ______ ______
②将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，求，的值．
（2）已知三种木板共有块（），用它们去做无盖长方体木箱，要求材料无剩余，求能做多少个长方体木箱？
【答案】（1）解：①
木板种类 长侧面 短侧面 箱底
甲 /
乙 /
丙 12 12 /
合计
②解：由题意可得：
解得
（2）解：设甲木板有块，乙木板有块，则丙木板有块．
此时长侧面有块，短侧面有块，箱底有块．
解得
∵，
当时，，
当时，，
当时，．
则能做45个或48个或51个长方体木箱．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；长方体纸盒的制作
【解析】【分析】（1）①根据三种木板制作木箱各部分（长侧面、短侧面、箱底 ）的数量关系，填写表格即可；
②根据长侧面、短侧面数量关系列出二元一次方程组，求解即可．
（2）设甲木板有块，乙木板有块，则丙木板有块，根据长侧面、短侧面、箱底数量关系列出方程，再根据取值范围确定木箱数量即可．
（1）解：①
木板种类 长侧面 短侧面 箱底
甲 /
乙 /
丙 12 12 /
合计
②解：
解得
（2）解：方法一：设甲木板有块，乙木板有块，则丙木板有块．
此时长侧面有块，短侧面有块，箱底有块．
根据题意，得①，②
由①得，，代入②得，．
因为，由尝试检验可知：或或，
对应的分别为30，32，34，这时或48或51．
答：能做45个或48个或51个长方体木箱．
方法二：设甲木板有块，乙木板有块，则丙木板有块．
此时长侧面有块，短侧面有块，箱底有块．
解得
因为，
当时，，
当时，，
当时，．
则能做45个或48个或51个长方体木箱．
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