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苏州市2025-2026学年第二学期初二数学期末模拟卷（15）
一．选择题（共10小题）
1．下列事件中，是随机事件的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°；B．x＝3是不等式2（x﹣1）＞3的解；
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上； D．从装满红球的袋子中取出白球。
2．x＝1是关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0一个实数根，则方程的另一个根是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
3．如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若AB＝5，AD＝6，OE＝3，则四边形ADFE的周长为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
4．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：3：5的比计算学期成绩．某同学本学期的三项成绩（百分制）依次为95分、90分、86分，则该同学本学期的体育成绩是（　　）
A．87分 B．89分 C．90分 D．92分
第3题第5题
5．如图，某养鸡户用一段14m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为28m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（　　）A．3.5m或4m B．7m或8m C．4m D．7m
6．关于x的一元二次方程a（x﹣h）2＝k（a≠0）的两根分别为﹣1，3，则关于x的一元二次方程a（2x﹣h+1）2＝k的两根分别为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝0，x2＝2
C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
7．如图，在边长为6的正方形ABCD中，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转45°到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
第7题第9题第10题
8．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．有下列条件：①OA＝OC，OB＝OD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD．
则下列推理正确的是（　　）
A．②③ ⑥ B．①② ⑤ C．①③ ④ D．②⑤ ⑥
9．如图，点P是△ABC的边AC上的一点，AP＝2，，当AC的值是多少时，△APB∽△ABC（　　）A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BC上一点，作EF∥AC交AB于点F，作EG∥BD交CD于点G，若AB＝12，BC＝5，则EG+EF的长为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．17
二．填空题（共8小题）
11．已知a，b是两个不相等的实数，且满足：（a+1）（b+1）＝2k+7，（a﹣1）（b﹣1）＝2k+1，则k的取值范围是 　 　 ．
12．若有意义，则x的取值范围为　 　 ．
13．已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的黄色、白色乒乓球共100个．通过多次摸球试验后，发现摸到黄色球的频率是0.4．则可估计纸箱中白色球有　 　 个．
14．已知x1，则代数式x2﹣2x+1的值为　 　 ．
15．分式方程a有增根，则a的值是　 　 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　 　 ．
17．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：AD＝1：2，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为　 　 ．
第16题第17题第18题
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD交于点O，点E是CD的中点，连接BE交AC于点F，则OF的长为 　 　 ．
三．解答题（共10小题）
19．计算：
（1）3； （2）（3）（）．
20．解方程：3．
21．先化简，再求值：，其中．
22．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？
23．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了　 　 名学生；
（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　 　 ；
（3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　 　 ；
（4）若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数．
24．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADB交AB于点E，BF平分∠CBD交CD于点F．
（1）求证：DE＝BF；
（2）当△ABD满足什么条件时，四边形DEBF是矩形？证明你的结论．
25．在 ABCD中，点E为AD中点，连接BE，CE，∠BEC＝α．
（1）如图1，当α＝90°时，下列说法正确的是 　 　 ．（填序号）
①BC＝2AB； ②∠A＝120°； ③BE平分∠ABC．
（2）如图2，当时，求证： ABCD是矩形；
（3）如图3，当α＝45°且时，求CE 的长及∠ABE的度数．
26．将一张边长为8的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕与AD，BC分别交于点M，N，继续进行折纸实验．
【尝试与感悟】
（1）如图1，将纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点A′处，此时折痕与AD交于点Q，则∠ABA′＝　 　 °；
（2）如图2，折叠正方形纸片ABCD，使得点A落在点N处，点D落在点H处，NH与CD交于点G，此时折痕分别交AB，CD于点E，F，求BE的长；
【拓展与延伸】
（3）在图2的折叠过程中，有同学猜想点G是CD的三等分点，这个猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请求出的值．
27．近期，江苏省首届城市足球联赛火爆出圈，被球迷和网友戏称为“苏超”．某中学在全校七、八年级学生中开展了足球知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100）．下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100．
八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的
数据是：90，91，91，92，93，94．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 89 89.5 a
八年级 89 b 91
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，m＝ 　 　 ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（x＞90）的学生共有多少人？
28．在数学活动课上，老师给每个数学小组发放了一张长为8cm，宽为6cm的长方形纸片，组织同学们以“长方形的折叠”为主题进行探究活动．
（1）如图①，连接对角线AC，沿着DE折叠，使得点A落在对角线AC上，点A的对应点记为A′，AC与DE的交点记为O．求证：AA′⊥DE；
（2）如图②，将长方形纸片ABCD对折，使得边AD与BC重合，边AB与DC重合．展开后再沿直线EF折叠，使得点A落在对折线的交点处，点A的对应点记为A′，连接AA′，求折痕EF的长度；
（3）如图③，折叠长方形纸片ABCD，点A的对应点记为A′，当△A′BC是以BC为斜边的等腰直角三角形时，直接写出折痕的长度．
作IL⊥AC于点L，作DH⊥LI交LI的延长线于点H，则∠ALI＝∠ABP＝90°，
在△ALI和△ABP中，，∴△ALI≌△ABP（AAS），∴AL＝AB＝6，
∴点I在经过点L且与AC垂直的直线IL上运动，
∵∠H＝∠OLH＝∠DOL＝90°，∴四边形ODHL是矩形，
∴DH＝OL＝AL﹣OA＝6﹣3，∵DI≥DH，∴BQ≥6﹣3，
∴线段BQ的最小值为6﹣3，故选：B．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
8．【解答】解：A、由②③对角线相等，对角线互相垂直，不能判断四边形是正方形，不符合题意；B、由①得，四边形是平行四边形，再由②，对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；C、由①③，对角线相等的平行四边形是菱形，不符合题意；D、由②⑤得，对角线相等的菱形是正方形，符合题意．故选：D．
【点评】考查矩形、菱形、正方形的判定定理，灵活掌握这些判定定理是解本题的关键．
9．【解答】解：∵∠A＝∠A，∴当时，△APB∽△ABC，
∵，∴，∴，故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键．
10．【解答】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AC＝BD，AB＝CD＝12，AD＝BC＝5，∠ABC＝90°，∴，
∵EF∥AC，GE∥BD，∴△BFE∽△BAC，△CGE∽△CDB，
∴，，∴，∴，
∴EF+EG＝13，故选：C．
【点评】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．【解答】解：∵（a+1）（b+1）＝2k+7，（a﹣1）（b﹣1）＝2k+1，
∴ab+a+b+1＝2k+7①，ab﹣a﹣b+1＝2k+1②．
∴①+②得，2ab＝4k+8﹣2，即ab＝2k+3；①﹣②得，2（a+b）＝6，即a+b＝3．
∴a，b可看作方程x2﹣3x+2k+3＝0的两个解．
∵a，b是两个不相等的实数，∴Δ＝9﹣4（2k+3）＞0．∴k．故答案为：k．
【点评】本题主要考查了根的判别式的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意构造出一元二次方程是关键．
12．【解答】解：根据已知，得x+7≥0且x﹣3≠0，
解得x≥﹣7且x≠3．故答案为：x≥﹣7且x≠3．
【点评】考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
13．【解答】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到黄色球的频率是0.4．．
∴估计摸到白球的频率为1﹣0.4＝0.6，
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
22．【解答】解：设原来每天制作x件，根据题意得：10，
解得：x＝16，经检验x＝16是原方程的解，答：原来每天制作16件．
【点评】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，本题的等量关系是原来用的时间﹣现在用的时间＝10．
23．【解答】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%
∴共调查人数为：40÷40%＝100（人），故答案为：100；
（2）爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10＝30，
补全条形统计图，如图所示，
阅读部分圆心角＝360108°，故答案为：108°；
（3）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，
∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为0.3，故答案为：0.3；
（4）1500＝600（人）答：其中爱好运动的学生大约是600人．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．
24．【解答】（1）证明：在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，
∴∠ADB＝∠CBD，∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠ADE＝∠FBC，
在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF；
（2）解：当△ABD满足AD＝BD时，四边形DEBF是矩形．
证明：∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，AE＝CF，又∵AB＝CD，∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，∴平行四边形DEBF是矩形．
【点评】考查矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．【解答】（1）解：取BC的中点F，连接EF，如图，
∵E、F分别是AD、BC的中点，四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BF，
即四边形ABFE为平行四边形．∵∠BEC＝90°，F为BC的中点，
∴EFBC＝BF．∴四边形ABFE为菱形，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠ABE＝∠EBC，∴BE平分∠ABC，故③正确；
又∵AE＝DE，∴AD＝2AB，∴BC＝2AB．故①正确；
∠A的度数不确定，故②不正确．故答案为：①③；
（2）证明：延长BE，CD交于点F，如图1，．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠F．
在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴BA＝FD，∠ABE＝∠F，∴CD＝FD．∵∠BEC＝∠F+∠ECF，
∴α∠ECF，∴∠ECF∠F，∴EC＝EF，∴ED⊥CF，
∴∠CDA＝90°，∴ ABCD是矩形；
图1图2
（3）解：延长BE，CD交于点F，过点F作FH⊥CE，交CE的延长线于点H，如图2，
∵时，∴EB，AB＝CD＝1，由（2）知：△ABE≌△DFE，
∴EF＝BE，DF＝AB＝1，∵∠HEF＝∠BEC＝α＝45°，FH⊥CE，
∴△EFH为等腰直角三角形，∴EH＝FHEF＝1，∴CF＝CD+DF＝2，
∵FH⊥CE，∴CH．∴CE＝CH﹣EH1．
∵FH⊥CE，HFCF，∴∠HCF＝30°．∴∠CFH＝60°，
∵∠HFE＝45°，∴∠EFD＝∠HFC﹣∠HFE＝15°．
∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠EFD＝15°．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．【解答】解：（1）∵将一张边长为8的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，
∴BN＝CNBC＝4，∠A′NB＝90°，∵将纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点A′处，∴A′B＝AB＝8，∴BNA′B，∴∠BA′N＝30°，
∴∠ABA′＝30°；故答案为：30；
（2）∵折叠正方形纸片ABCD，使得点A落在点N处，点D落在点H处，
∴AE＝EN，由（1）知BN＝4，∵∠B＝90°，∴EN2＝BE2+BN2，
∴（8﹣BE）2＝BE2+42，∴BE＝3，
（3）这个猜想正确，
理由：∵折叠正方形纸片ABCD，使得点A落在点N处，点D落在点H处，
∴∠ENG＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴∠BEN+∠BNE＝∠BNE+∠CNG＝90°，
∴∠BEN＝∠CNG，∴△BEN∽△CNG，∴，∴，
∴CG，∴DG，∴点G是CD的三等分点．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，正方形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
27．【解答】解：（1）根据七年级成绩可知90分的最多有3人，所以众数为a＝90，八年级A、B组的频数和为20×（20%+25%）＝9，
所以将八年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在C组，分别为90，91，则其中位数b90.5，
∵m%＝100%﹣20%﹣25%100%＝25%，即m＝25；故答案为：90，90.5，25；
（2）八年级的成绩更好，理由如下：
七、八年级的平均数相同，但八年级成绩的中位数和众数都比七年级的大，
所以八年级的更好；
（3）500600175+300＝475（人），
答：估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（x＞90）的学生共有475人．
【点评】考查用样本估计总体，算术平均数，中位数，众数，掌握相关知识是解题关键．
28．【解答】（1）证明：∵ΔDA'E由△DAE 折叠得到，∴DA＝DA'，
∴△DAA'是等腰三角形．又∵OA＝OA'，∴DO⊥AA'，即AA'⊥DE；
（2）∵长方形ABCD对折后，边AD与BC重合，AB与DC重合，
∴点A'是长方形对角线的中点．设AA′交EF于点O，AD的中点为点H，如图1，
∵AB＝8，AD＝6，∴，A'HAB＝4．
∴AA′5，∴AO．
由（1）得：EF⊥AA'，∴∠AOE＝90°，∴∠AOE＝∠AHA′＝90°，
∵AB∥A′H，∴∠EAO＝∠AA′H，∴△AOE∽△A'HA，
∴，∴．∵四边形ABCD为矩形，∴∠FAE＝90°，
∵EF⊥AA'，∴△AOE∽△FAE，∴，∴；
图1图2
（3）折痕的长度为或．
①作BC的垂直平分线，交AD于点H，交BC于点G，如图2，
则HG＝AB＝CD＝8，AH＝HD3，BG＝GC3，
∵△A′BC是以BC为斜边的等腰直角三角形，BC＝6，∴A′G3，
∴A′H＝5，∴AA′．∴AO＝OA′，
由（1）得：EF⊥AA'，∴∠AOE＝90°，∴∠AOE＝∠AHA′＝90°，
∵AB∥A′H，∴∠EAO＝∠AA′H，∴△AOE∽△A'HA，
∴，∴AE，OE．∵四边形ABCD为矩形，∴∠FAE＝90°，
∵EF⊥AA'，∴△AOE∽△FAE，∴，∴EF；
②作BC的垂直平分线，交AD于点H，交BC于点G，EF与GH交于点M，如图3，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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