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浙教版（2024）七上一周一测（二十）期末专题训练（三）归纳与猜想
一．选择题（共6小题）
1．一列数：1、2、3、5、8、13、□，则□中的数是（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
【分析】观察题中所给各数可知：后面的数＝前面的两数之和，继而即可得出答案．
【解答】解：观察题中所给各数可知：3＝1+2，5＝2+3，8＝3+5，13＝5+8，
∴□中的数＝8+13＝21．
故选：D．
2．如图所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，当图形中含有2025个三角形时，需要的火柴棍根数为（　　）
A．4039 B．4049 C．4051 D．2025
【分析】根据所给图形，依次求出所需火柴棍的根数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
图形中含1个三角形时，需要的火柴棍的根数为：3＝1×2+1；
图形中含2个三角形时，需要的火柴棍的根数为：5＝2×2+1；
图形中含3个三角形时，需要的火柴棍的根数为：7＝3×2+1；
…，
所以图形中含n个三角形时，需要的火柴棍的根数为（2n+1）根．
当n＝2025时，
2n+1＝4051（根），
即图形中含2025个三角形时，需要的火柴棍的根数为4051根．
故选：C．
3．如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中玫瑰花的数量为（　　）
A．n2 B．（n+1）2 C．4n D．（n+1）2﹣4
【分析】根据图形的变化找到规律即可．
【解答】解：观察图形发现规律：第n个图形中有4n朵玫瑰花；
故选：C．
4．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2026应标在（　　）
A．第506个正方形的左下角
B．第506个正方形的右下角
C．第507个正方形的左上角
D．第507个正方形的右上角
【分析】根据所给图象，观察正方形每个位置数的变化，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图象可知，
正方形左下角的数依次为4，8，12，…，
所以第n个正方形中的左下角数字可表示为4n．
因为4×506＝2024，且每个正方形四个角的数字从左上角按顺时针依次增大，
则2026﹣2024＝2，
所以数2026在第507个正方形的右上角．
故选：D．
5．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①x3＝3；②x5＝1；③x108＜x104；④x2018＞x2019．其中，正确的结论的序号是（　　）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
【分析】本题应先解出机器人每5秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导出答案．
【解答】解：①依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5个对应的数是1，2，3，2，1；6～10是2，3，4，3，2．根据此规律即可推导判断①和②，显然正确；
③中，108＝5×21+3，故x108＝21+1+1+1＝24，104＝5×20+4，故x104＝20+3﹣1＝22，24＞22，故③错误；
④中，中，2018÷5＝403……3，故x2018＝403+3＝406，2019÷5＝÷5＝403……4，故x2019＝403+2＝405，故④正确．
所以正确的结论的序号为：①②④．
故选：D．
6．已知一列数a1，a2，a3，…an…中，a1＝2，a2＝2a1﹣1，a3＝2a2﹣1，…，an+1＝2an﹣1，…则a2026﹣a2025的个位数字是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】根据所给计算方式，依次求出运算结果的个位数字，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为a1＝2，
所以a2＝2a1﹣1＝3，
a3＝2a2﹣1＝5，
a4＝2a3﹣1＝9，
a5＝2a4﹣1＝17，
a6＝2a5﹣1＝33，
a7＝2a6﹣1＝65，
…，
由此可见，这列数字的个位数字除了第一项，后续按3，5，9，7循环，
又因为（2025﹣1）÷4＝506，
所以a2025的个位数字为7．
因为（2026﹣1）÷4＝506…1，
所以a2026的个位数字为3，
所以a2026﹣a2025的个位数字是13﹣7＝6．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
7．观察下列各式，你能发现什么规律？
①3×5＝42﹣1，
②5×7＝62﹣1，
③7×9＝82﹣1，
…
将你猜想到的规律用含字母n的式子表示第n等式：　（2n+1）（2n+3）＝（2n+2）2﹣1（n为正整数）　 ．
【分析】根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为3×5＝42﹣1，5×7＝62﹣1，7×9＝82﹣1，…，
所以第n个等式可表示为：（2n+1）（2n+3）＝（2n+2）2﹣1（n为正整数）．
故答案为：（2n+1）（2n+3）＝（2n+2）2﹣1（n为正整数）．
8．由一些正整数组成的数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：
第1行 2
第2行 4 6
第3行 8 10 12 14
… …
若规定坐标号（m，n）表示第m行从左向右第n个数，则（5，6）所表示的数是　42　 ；数2022对应的坐标号是　（10，500）　 ．
【分析】观察表格可得规律为每行第一个数为2m，从左到右每个数字增加2，即第m行第n个数为2m+2（n﹣1）．
【解答】解：由表格可得第m行第一个数字为2m，
第m行第n个数为2m+2（n﹣1），
∴（5，6）表示的数为25+2×（6﹣1）＝42，
∵210＜2022＜211，
∴210+2（n﹣1）＝2022，
解得n＝500，
∴2022对应的坐标号为（10，500）．
故答案为：42，（10，500）．
9．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记n#表示不大于n的最大完全平方数，记nΔ＝n﹣n#；例如：7#＝8#＝4，7Δ＝7﹣4＝3，则2024Δ的值为 　88　 ，计算...　2024　 ．
【分析】（1）2024Δ＝2024﹣2024#，2024#表示不大于2024的最大完全平方数，442＝1936，452＝2025，1936＜2024＜2025，那么2024#＝1936，代入求解即可；
（2）分别求得1Δ，1#；2Δ，2#...2024Δ，2024#的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可．
【解答】解：（1）∵2024#表示不大于2024的最大完全平方数，1936＜2024＜2025，
∴2024#＝1936．
∴2024Δ＝2024﹣2024#＝2024﹣1936＝88．
（2）由题意得：1#＝1，
∴1Δ＝1﹣1#＝1﹣1＝0，1；
∵2#＝1，
∴2Δ＝2﹣2#＝2﹣1＝1，1；
∵3#＝1，
∴3Δ＝3﹣3#＝3﹣1＝2，1；
∵4#＝4，
∴4Δ＝4﹣4#＝4﹣4＝0，2；
∵5#＝4，
∴5Δ＝5﹣5#＝5﹣4＝1，2；
∵6#＝4，
∴6Δ＝6﹣6#＝6﹣4＝2，2；
∵7#＝4，
∴7Δ＝7﹣7#＝7﹣4＝3，2；
∵8#＝4，
∴8Δ＝8﹣8#＝8﹣4＝4，2；
..．
∵2024#＝1936，
∴2024Δ＝2024﹣2024#＝2024﹣1936＝88，44．
分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束．
∴...
...+（...）
...
＝3+5+7+9+...+（2×44+1）
＝3+5+7+9+...+89
2024．
故答案为：88，2024．
10．在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图甲所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求的值为　1　 ．
（2）请你利用图乙，再设计一个能求的值的几何图形．
【分析】（1）根据图形分析，用“面积法”解题；即面积为，可看作用正方形的面积减去第n个矩形的面积，为1．
（2）仿照（1）依次将四边形的面积平分即可．
【解答】解：（1）由图形可得：
s11；
s21；
s31；
…
∴1；
（2）如图：
三．解答题（共5小题）
11．如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据角平分线的定义可得答案；
（2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60﹣x，再利用AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠DOE∠AOD＝40°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣40°＝20°；
（2）∠BOD＝3∠COE，
设∠COE＝x，则∠DOE＝60°﹣x，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60°﹣x）＝180°﹣3x，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣3x）＝3x，
∴∠BOD＝3∠COE．
12．（1）填空：
21﹣20＝　2﹣1　 ＝2 　（1）　
22﹣21＝　4﹣2　 ＝2 　（2﹣1）　
23﹣22＝　8﹣4　 ＝2 　（22﹣2）　
…
（2）探索（1）中的式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）计算20+21+22+…21000．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算；
（2）根据（1）的算式得到第n个等式；
（3）根据2a﹣a＝a，同底数幂的乘法法则计算．
【解答】解：（1）21﹣20＝2﹣1＝2（1）
22﹣21＝4﹣2＝2（2﹣1）
23﹣22＝8﹣4＝2（22﹣2），
故答案为：2﹣1；1；4﹣2；2﹣1；8﹣4；22﹣2；
（2）第n个等式为：2n﹣2n﹣1＝2（2n﹣1﹣2n﹣2），
理由如下：2（2n﹣1﹣2n﹣2）＝2×2n﹣1﹣2×2n﹣2＝2n﹣2n﹣1；
（3）20+21+22+..+21000
＝2×（20+21+22+..+21000）﹣（20+21+22+..+21000）
＝21﹣20+22﹣21+23﹣22+…+21001﹣21000
＝21001﹣1．
13．某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：
方式一：
方式二：
（1）对于方式一，4张桌子拼在一起可坐多少人？n张桌子呢？对于方式二，4张桌子拼在一起可坐多少人？n张桌子呢？
（2）该餐厅有40张这样的长方形桌子，按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？按方式二呢？
（3）在（2）中，若改成每8张拼成一张大桌子，则可坐多少人？
（4）一天中午，该餐厅来了98名顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选用哪种方式来摆餐桌呢？
【分析】（1）仔细观察图形并找到规律求解即可．
（2）分别代入4n+2时和2n+4时两种情况求得数值即可；
（3）解法同第（2）题；
（4）中，分别求出两种对应的n的值，或分别求出n＝25时，两种不同的摆放方式对应的人数，即可作出判断．
【解答】解：（1）第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．4张桌子可以坐18人，有n张桌子时是6+4（n﹣1）＝4n+2．
第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，四桌子可以坐12人，n张桌子可以坐6+2（n﹣1）＝2n+4．
（2）方式一：40张桌子拼成8张大桌子可以坐8×[6+16]＝176人，
方式二：40张桌子拼成8张大桌子可以坐8×[6+8]＝112人；
（3）方式二：40张桌子拼成5张大桌子可以坐5×[6+14]＝100人；
（4）第一种，因为，当n＝25时，4×25+2＝102＞98，
当n＝25时，2×25+4＝54＜98．
所以，选用第一种摆放方式．
14．设一列数x1，x2，x3，…，x2024中，对于1≤n≤2022，均有连续三个数之和为一个定值，即xn+xn+1+xn+2＝s（s是常数），已知x1＝3，x2＝3t+1，x9＝2t，x99＝3﹣t．
（1）直接写出下列数中相等的数：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9．
（2）求出s和t的值．
（3）计算：．
【分析】（1）由x1+x2+x3＝x2+x3+x4得x1＝x4，同理可求：x1＝x4＝x7，x2＝x5＝x8，x3＝x6＝x9；
（2）由（1）中规律得x9＝x99，即2t＝3﹣t，求出t＝1，进而可求出s和t的值；
（3）由（1）中规律得，代入数值即可求解．
【解答】解：（1）由条件可知x1＝x4，
同理可求：x1＝x4＝x7，x2＝x5＝x8，x3＝x6＝x9；
（2）x9＝x99，即2t＝3﹣t，
解得：t＝1；
∴x2＝4，x3＝x9＝2，
s＝x1+x2+x3＝3+4+2＝9；
（3）原式．
15．已知：O为直线AB上的一点，OC⊥OE于点O，射线OF平分∠AOE．
（1）如图1，判断∠COF和∠BOE之间的数量关系？并说明理由；
（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试问（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明，若发生变化，请你说明理由；
（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠COE＝90°，再根据角的和差关系可得∠BOE＝90°﹣∠AOC，∠COF∠AOC，进而得到∠BOE＝2∠COF；
（2）不发生变化，根据角平分线的性质可得∠EOF＝2∠AOE，再根据角的和差关系可得∠COF＝90°﹣∠EOF，∠BOE＝180°﹣2∠EOF，进而可得答案；
（3）首先表示出∠COF＝90°+∠EOF，再表示∠BOE＝90°+∠BOC＝90°+90°﹣2∠EOF＝180°﹣2∠EOF，进而得到∠BOE+2∠COF＝360°．
【解答】解：（1）∵OC⊥OE，
∴∠COE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠AOC，∠COF∠AOC．
∴∠BOE＝2∠COF．
（2）不发生变化．证明如下：
∵射线OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF，
∵∠COE＝90°，
∴∠COF＝90°﹣∠EOF，∠BOE＝180°﹣2∠EOF＝2（90°﹣∠EOF）．
∴∠BOE＝2∠COF．
（3）∠BOE+2∠COF＝360°．
理由：∵射线OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF，
∵∠COE＝90°，
∴∠COF＝90°+∠EOF，
∴2∠COF＝180°+2∠EOF
∠BOE＝90°+∠BOC＝90°+90°﹣2∠EOF＝180°﹣2∠EOF．
∴∠BOE+2∠COF＝360°．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024）七上一周一测（二十）期末专题训练（三）归纳与猜想
一．选择题（共6小题）
1．一列数：1、2、3、5、8、13、□，则□中的数是（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
2．如图所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，当图形中含有2025个三角形时，需要的火柴棍根数为（　　）
A．4039 B．4049 C．4051 D．2025
3．如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中玫瑰花的数量为（　　）
A．n2 B．（n+1）2 C．4n D．（n+1）2﹣4
4．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2026应标在（　　）
A．第506个正方形的左下角
B．第506个正方形的右下角
C．第507个正方形的左上角
D．第507个正方形的右上角
5．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①x3＝3；②x5＝1；③x108＜x104；④x2018＞x2019．其中，正确的结论的序号是（　　）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
6．已知一列数a1，a2，a3，…an…中，a1＝2，a2＝2a1﹣1，a3＝2a2﹣1，…，an+1＝2an﹣1，…则a2026﹣a2025的个位数字是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
二．填空题（共4小题）
7．观察下列各式，你能发现什么规律？
①3×5＝42﹣1，
②5×7＝62﹣1，
③7×9＝82﹣1，
…
将你猜想到的规律用含字母n的式子表示第n等式：　 　 ．
8．由一些正整数组成的数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：
第1行 2
第2行 4 6
第3行 8 10 12 14
… …
若规定坐标号（m，n）表示第m行从左向右第n个数，则（5，6）所表示的数是　 　 ；数2022对应的坐标号是　 　 ．
9．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记n#表示不大于n的最大完全平方数，记nΔ＝n﹣n#；例如：7#＝8#＝4，7Δ＝7﹣4＝3，则2024Δ的值为 　 　 ，计算...　 　 ．
10．在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图甲所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求的值为　 　 ．
（2）请你利用图乙，再设计一个能求的值的几何图形．
三．解答题（共5小题）
11．如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
12．（1）填空：
21﹣20＝　 　 ＝2 　 　
22﹣21＝　 　 ＝2 　 　
23﹣22＝　 　 ＝2 　 　
…
（2）探索（1）中的式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）计算20+21+22+…21000．
13．某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：
方式一：
方式二：
（1）对于方式一，4张桌子拼在一起可坐多少人？n张桌子呢？对于方式二，4张桌子拼在一起可坐多少人？n张桌子呢？
（2）该餐厅有40张这样的长方形桌子，按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？按方式二呢？
（3）在（2）中，若改成每8张拼成一张大桌子，则可坐多少人？
（4）一天中午，该餐厅来了98名顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选用哪种方式来摆餐桌呢？
14．设一列数x1，x2，x3，…，x2024中，对于1≤n≤2022，均有连续三个数之和为一个定值，即xn+xn+1+xn+2＝s（s是常数），已知x1＝3，x2＝3t+1，x9＝2t，x99＝3﹣t．
（1）直接写出下列数中相等的数：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9．
（2）求出s和t的值．
（3）计算：．
15．已知：O为直线AB上的一点，OC⊥OE于点O，射线OF平分∠AOE．
（1）如图1，判断∠COF和∠BOE之间的数量关系？并说明理由；
（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试问（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明，若发生变化，请你说明理由；
（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并加以证明．

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