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第4章 三角形
4.6 线段垂直平分线
第2课时 作垂直平分线和角平分线
1.能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线．
2.能够利用直尺和圆规作已知直线的垂线．
3.会在已知三角形底边及底边上的高线的条件下
作等腰三角形，会作一个角的平分线.
说一说：已知线段AB，如果要作线段AB的垂直平分线，可以怎样作?根据是什么?
作线段AB的垂直平分线
两点必须到线段AB两端的距离相等
两点
两点确定一条直线
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
A
B
例1 作一条线段的垂直平分线.
已知：如图，线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线.
作法：
(1)分别以点A，B为圆心，以相同长度(大于????????AB的长)为半径画圆弧，两弧相交于点C和点D.
(2)过点C，D作直线CD，则直线CD就是
段AB的垂直平分线.
?
A
B
C
D
想一想：如何用尺规过一点P作已知直线l的垂线呢?
点P在直线l外
需要在直线l上找一条线段AB
过点P作线段AB的垂直平分线
点P在直线l上
(1)点P在直线l上.
作 法：
①以点P为圆心，以任意长为半径画圆弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，以相同长度(大于????????AB的长)为半径画圆弧，两弧相交于点C；
?
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
P
A
B
C
l
·
(2)点P在直线l外.
作 法：
①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的长度为半径画|圆弧，交直线l于点A，B;
②分别以点A，B为圆心，以相同长度(大于????????AB的长)为半径画圆弧，两弧相交于点C;
?
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
P
A
B
C
l
·
例2 已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
已知：如图，线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
先作出该等腰三角形的底边及底边的垂直平分线，然后在垂直平分线上以底边中点为一端点，截取长为h的线段就可确定三角形的另一个顶点.
分析：
等腰三角形的三线合一
等腰△ABC的底边BC上的高线AD也是底边上的中线，
直线AD是底边的垂直平分线
例2 已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
已知：如图，线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
作法 ：
(1)作线段BC=a;
(2)作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D;
(3)在射线DM(或DN)上截取线段DA，使DA=h;
(4)连接AB，AC，则△ABC为所求作的等腰三角形
例3 求作一个角的平分线.
已知：如图，∠AOB，求作：∠AOB的平分线.
先以∠AOB的顶点0为顶点，两腰分别在射线OA，OB上，构造等腰△ODE，
分析
等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线
然后过点O作底边DE的垂直平分线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线.
例3 求作一个角的平分线.
已知：如图，∠AOB，求作：∠AOB的平分线.
作法: (1)以点0为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别与OA，OB交于点D，E，连接DE;
(2) 分别以点D，E为圆心，以相同长度(大于????????DE的长)为半径画圆弧，在∠AOB内部两弧交于点C;
(3)作射线OC，则OC为所求作的∠AOB的平分线.
?
1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　）
A. ∠A的平分线
B. AC边的中线
C. BC边的高线
D. AB边的垂直平分线
D
2.如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=35°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG的度数为( )　　　　　　　　　　
A.40° B.45°
C.50° D.55°
D
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
3.如图，在 △???????????? 中， ????????=???? ， ????????=???? .分别以点 ???? ， ???? 为圆心，
以大于 ???????????????? 的长为半径画弧，两弧相交于点 ???? ， ???? ；作直线 ????????
交 ???????? 于点 ???? ，连接 ???????? .则 △???????????? 的周长为___．
?
9
4.用尺规完成下列作图(保留作图痕迹，不要求写出作法).
(1)如图，在直线l上求作一点P，使PA=PB.
(2) 如图，作出△ABC的边BC上的高
(3)任意画一个钝角，作它的平分线.
A
B
l
P
线段垂直平分线的作法
过一点作直线的垂线
点在直线上
点在直线外
方法与步骤
角平分线的作法

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