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4.6 第2课时
作垂直平分线和角平分线
1.能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线．
2.能够利用直尺和圆规作已知直线的垂线．
3.会在已知三角形底边及底边上的高线的条件下
作等腰三角形，会作一个角的平分线.
4.通过作线段的垂直平分线去解决实际问题.
线段的垂直平分线 定义 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线
性质定理 文字语言：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
数学语言：若点P在线段AB的垂直平分线上(AC=BC，PC⊥AB)，则PA=PB
性质定理的逆定理 文字语言：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
数学语言：
如图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
说一说：已知线段 AB，如果要作线段 AB的垂直平分线，可以怎样作？根据是什么？
根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，若能找出到线段 AB 两端距离相等的两个点，则这两点确定的直线就是线段AB的垂直平分线.
A
B
作法：
(1)分别以点A，B为圆心，以相同长度(大于AB的长)为半径画弧，两弧相交于点C 和点D；
②过点 C，D 作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
A
B
C
D
为什么？
如果画的弧小于AB的长，那么两弧没有交点；
如果画的弧等于AB的长，那么两弧只有一个交点.
D
【例1】作一条线段的垂直平分线.
如图，已知线段AB.求作线段AB的垂直平分线.
因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点.
A
B
C
D
想一想：如何用尺规过一点P作已知直线l的垂线呢？
若能找到直线l上一条线段AB，使AB的的垂直平分线经过点P，则该垂直平分线就是所求作的直线.
点P与已知直线l的位置关系有两种:
P
l
P
l
点P在直线l上
点P在直线l外
(1)点P在直线l上.
①以点P为圆心，以任意长为半径画圆弧，交直线l于点A，B；
②分别以A，B为圆心，以相同长度(大于AB的长)为半径画圆弧，两弧相交于点C；
③过点C，P作直线CP,则直线CP为所求作的直线.
l
P
A
B
C
(2)点P在直线l外.
①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的长度为半径画圆弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，以相同长度(大于AB的长)为半径画圆弧，两弧相交于点C；
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
A
B
C
P
l
【例2】已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
如图，已知线段a，b.
求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
分析：由于等腰△ABC的底边BC上的高线AD也是底边上的中线，从而直线AD是底边的垂直平分线，因此，首先作出该等腰三角形的底边及底边的垂直平分线，然后在垂直平分线上以底边中点为一端点，截取长为h的线段就可确定三角形的另一个顶点.
·
·
·
·
h
a
作法： (1)作线段BC=a;
【例2】已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
如图，已知线段a，b.
求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
(2)作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D;
(3)在射线DM(或DN)上截取线段DA，使DA=h；
(4)连接AB，AC，则△ABC为所求作的等腰三角形(如图).
·
·
·
·
h
a
A
D
C
B
N
M
·
·
·
·
【例3】求作一个角的平分线.
如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线.
分析：由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线，故先以∠AOB的顶点O为顶点，两腰分别在射线OA，OB上，构造等腰△ODE，然后过点O作底边DE的垂直平分线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线.
A
B
O
【例3】求作一个角的平分线.
如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线.
A
B
O
A
B
O
D
E
C
·
(2)分别以点D，E为圆心，以相同长度(大于DE的长)为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
作法: (1)以点O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别与OA，OB交于点D，E，连接DE；
(3)作射线 OC，则OC为所求作的∠AOB的平分线（如图).
说一说：为什么OC是∠AOB的平分线？
提示：角内部的全等三角形.
1.在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　）
A.∠A的平分线
B. AC边的中线
C. AB边上的高线
D. AB边的垂直平分线
D
2.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以AB的垂直平分线与公路的交点便是.
A
B
公共汽车站
解：如图，点P即为公共汽车站应建的位置.
P
3.如图，作出等腰△ABC的边BC上的高.
A
B
C
解：如图.
①作已知线段的垂直平分线
本节课你学到了哪些作图？
在作线段的垂直平分线的过程中，弧的半径一定要大于已知线段长的一半.
②过一点P作已知直线l的垂线
规定“以大于已知线段的一半 (AB) 的长为半径”是两弧有两个交点的前提；两弧的交点到线段的两个端点的距离相等.
③已知底边及底边上的高线作等腰三角形
作图依据：等腰三角形的三线合一.
作图思路：运用“作一条线段等于已知线段”和“作线段的垂直平分线”的基本作图方法.
④作一个角的平分线
注意：“ 以大于DE 的长为半径画弧”是因为若以小于DE的长为半径画弧，画出的两弧不能相交； “作射线OC”不能叙述为“ 连接OC”，因为角的平分线是射线而不是线段.

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