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山东省临沂市兰山区2025年九年级数学中考一模平行卷
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在实数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
2．据统计，某旅游景点去年接待旅游人数约为890000人，890000这个数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个几何体中，主视图与其它三个不同的是（ ）
A． B． C． D．
5．将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列运算一定正确的是（ ）
A．3a+3a＝6a2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a3）4＝a7 D．a2 a3＝a6
7．圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正八边形的两条对角线相交形成，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是半圆的直径，，则的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
10．如图，由七个完全一样的小长方形组成的大长方形ABCD， CD=7，长方形ABCD的周长为(　　)
A．32 B．33 C．34 D．35
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如果代数式有意义，那么实数x的取值范围 ．
12．若多项式的值为5，则多项式的值为 ．
13．曲线，如图所示，且曲线是轴对称图形，其对称轴为．直线交曲线于点，且．则的值为 ．
14．如图，中，，D为的中点，点F是边上一点，且，连接并延长，交延长线于点E，若，则的长为 ．
15．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……依次规律，第6个图形有 个小圆．
三、解答题（本大题共8个小题，75分）
16．计算
(1)
(2)
17．如图，中，的垂直平分线分别交、于点M、D，的垂直平分线分别交于点N、E，的周长是7．

(1)求的长度；
(2)若，则度数是多少？请说明理由．
18．“感受数学魅力，提升数学素养”，我校在数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分分，分及分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息：
七年级名学生的竞赛成绩为：；
八年级名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 b
八年级 a
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______．
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)若八年级共有名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
19．函数在生活中无处不在。图1展示了两种水杯的外形，号水杯为厚底圆柱形，号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形。图描述的是号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离的函数图象；
(1)求与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
(2)号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离之间的关系如下表所示．在图中，画出与之间的函数图象，并直接写出函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
(3)求出当为多少时，号杯和号杯中水的体积相差？
20．如图，从高楼C点测得地面A，B两点的俯角分别为、，如果此时高楼C点的高度CD 为100米，点A，D，B在同一直线上，求AB两点的距离．（结果保留根号）
21．如图，在中，直线，垂足为C，点D在上，以为直径作与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的半径．
22．规定：若关于x的二次函数与同时满足，且，则称函数与函数互为“反序对称”函数．根据以上规定，解答下列问题：
(1)已知关于x的二次函数，写出它的“反序对称”函数______；
(2)对于任意非零实数m，n，已知点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“反序对称”函数．
①函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
②若直线在x轴的下方，求直线与x轴间距离的最大值．
23．【定义学习】
过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”．
如图1，，，垂足分别为A、B，则为“点足三角形”，为“垂角”．
【性质探究】
（1）两条直线相交且所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为______度（用表示）．
（2）如图2，点O为平面内一点，，，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，连接CD．
求证：．
【迁移运用】
（3）如图3，，点A在射线PM上，点B是射线PN上的点，且，．则的外部是否存在一点O使得“点足三角形OAB”的面积为，若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
《山东省临沂市兰山区2025年九年级数学中考一模平行卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D B A B B D C C
11．
12．8
13．或
14．
15．46.
16．解：（1）原式
．
（2）原式
．
17．（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
同理，，
∵的周长为7，
∴，
∴；
（2）解：度数是60°，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（1）解：由题可得：八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有名，等级中有5人，
∴八年级名学生的竞赛成绩的中位数为：，
∵七年级名学生的竞赛成绩为：；
∴众数，
∵八年级名学生的竞赛成绩中，等级有2名，等级中有5人，
∴等级有3名，
∴等级所占的百分比为：，
∴，
故答案为：．
（2）解：七年级的成绩更好，理由如下：
∵两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于八年级的，
∴七年级的成绩更好．
（3）解：由题可得：（人）
答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数450人．
19．（1）解：设与之间的函数表达式为（、为常数，且），
将和分别代入，
得，
得，
解得：，
把代入①得，
解得：，
二元一次方程组的解为，
与h之间的函数表达式为；
（2）解：描点并连线如图所示：
与之间的函数表达式为；
（3）解：根据题意：，
①当时，
，，
②当时，，，，
答：当为或时，号杯和号杯中水的体积相差．
20．解：从高楼C点测得地面A，B两点的俯角分别为，，
，，
，米，
是等腰直角三角形，
米，
在中，
米，，
，
米，
答：AB两点的距离是米．
21．（1）证明：连接，
，
，
∵与相切于点E，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为．
22．（1）解：根据定义，
二次函数的“反序对称”函数为．
（2）解：①是过两个定点，
∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
函数的对称轴为．
，
令，
解得或，
∴过函数图象过定点，，
∴函数的图像过定点，
②点与点可知，轴，
将代入得
，
，
即直线与x轴间距离的最大值为．
23．解：（1）当两条直线所夹锐角为度，即，
当定点O在两直线的同侧，且在直线的下方时，令两直线交点为点与交于点D，如图：
∵，垂足分别为，且
∴
即点足三角形垂角度数为度；
当定点O在两直线的同侧，且在直线的上方时，如图：
∵垂足分别为，且
∴
即点足三角形垂角度数为度；
当定点O在直线的下方，直线的上方时，如图：
∵在四边形中，
∴，
∴度，
即点足三角形垂角度数为度度；
综上：点足三角形垂角度数为或度
（2）∵将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与相交于
∴
∵，
∴在中，，
在中，，
∴
即，
又∵，
∴
（3）当定点O在两直线的同侧，且在PN的下方时，令与交于点D，过点A作于点E，如图：
∵
∴，
又∵
∴
在中，，，
∴，
∴
在中，，
即，即，
设则，且，
在中，，
即，
解得：，
故，
在中，，
即，
设，则，
∵
即
解得：（舍去），，
故，
∴；
当定点O在两直线的同侧，且在的上方时，令与交于点D，过点B作于点E，如图：
∵，且，
∴
又∵
∴
在中，
，
即
在中，，
即，
在中，，
即，，
且，
整理得：，
设，则，
∵
即
解得：（舍去），，
故，
∴；
在中，
故设，则，
在中
即
解得：（舍去），
∴；
当定点O在直线的下方，直线的上方时，过点B作于点E，延长交于点D，如图：
∵在四边形中，，
∴，
∴，
在中，，且，
∴，
在中，
在中，
即，
设，则，，
在中，
即，
在中，，
即，
整理得：
故
∵，
即：
整理得：，
，
故无解；
综上，的长为或．
答案第1页，共2页

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