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山东省临沂市罗庄区2025年九年级数学中考一模平行卷
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个实数中，绝对值最小的数是( )
A．－5 B． C．1 D．4
2．你知道吗？从2003年开始，中国已有13名航天员出征太空，在轨时长已接近一年，绕地球飞行5461圈，在轨飞行的长度约2321亿米．2321亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．端午节是中国的传统节日之一，有着悠久的历史和丰富的文化内涵，如图是某品牌粽子的一种包装盒，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a+b）2＝a2+b2
C．a a﹣1＝1 D．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4
6．为建设平安校园，某校开展安全宣讲周活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任遗项参加：交通安全宣讲；食品安全宣讲；预防溺水宣讲，则小明和小丽选择参加同一项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐：乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问：几何日相逢 译文：甲从长安出发，5日到齐国：乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问：多久后甲、乙相逢 设甲出发x日，乙出发y日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，平分，，，则下列结论：①，② 平分，③ ，④ ．其中正确的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，正六边形的边长为10，以点B为圆心，的长为半径画圆，则的长度为a，的长度为b，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．a，b大小无法比较
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．多项式因式分解得，则 ．
12．已知、为实数，且，则 ．
13．三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示，若，则这个三角尺的周长与它在墙上形灯泡成的影子们周长的比是 ．

14．如图，将ABC绕点A逆时针旋转角得到ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若，，则旋转角的度数是 ．
15．已知一组数为：，那么这组数的第n 个数是 ．（用含的式子表示）
三、解答题（本大题共8个小题，75分）
16．计算题：
(1)
(2)
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点；
(1)求k与m的值：
(2)观察图象：不等式的解集为__________．
(3)为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求a的值．
18．全民阅读，是一个民族精神发展和文化传承的重要途径，也是一个国家凝聚力和创造力的重要源泉，全民阅读蔚然成风，中华大地充盈书香．为了解学生阅读情况，某校开展了“我爱阅读”的主题活动．学校随机抽取部分学生进行“喜爱的图书类型”和“每周阅读的时间”问卷调查，并绘制成如图所示的统计图，已知喜爱的图书类型是“散文”的人数是40人．
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)本次随机抽取的学生共有_____人，补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，“传记”对应的百分比为______，圆心角度数是______度；
(3)该校共有学生2000人，估计每周阅读的时间在2小时以上（不含2小时）的人数；
(4)请回答你每周阅读的时间，并提出一条阅读的好处．
19．如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．
（1）k＝　　；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：　　．
20．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．

(1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
(2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）
21．已知AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点P为圆O外一点，且，．
(1)求证：PA为圆O的切线；
(2)如果，求AC的长．
22．已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
23．如图，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点D，．
(1)求所对圆心角的度数；
(2)连，求证：；
(3)探究线段之间的数量关系，并证明你的结论．
试卷第1页，共3页
《山东省临沂市罗庄区2025年九年级数学中考一模平行卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A D C A D B A B
11．－5
12．或
13．
14．/40度
15．
16．（1）解：
；
（2）解：
．
17．（1）解：把代入，
解得：，
，
把代入，得，
，
把代入，得，
，；
（2）解：由图象可知：当时，的图象在的上方，
∴不等的解集为：．
（3）解：当时，，
∴，
∵为x轴上的一动点，
∴，
∴，
，
∵
∴
∴（负值已舍去）．
18．（1）解：∵“喜爱的图书类型是“散文”的人数是40人
∴（人）
∴本次随机抽取的学生共有人；
解：（人）
补全条形统计图：
（2）解：依题意，“传记”对应的百分比为；
“传记”对应的圆心角度数是度；
故答案为：
（3）解：依题意，（人）
∴该校共有学生2000人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数为人；
（4）答：每周阅读的时间为3小时以上，阅读的好处有：拓宽视野、积累知识，同时提升逻辑思维和表达能力等（言之有理即可）．
19．解：（1）点是反比例函数图象上的点，
，
解得，
故答案为：2；
（2）在和中，
，
，
，
点坐标为，则可得，
，，
即，
整理得；
（3）设点坐标为，
则，，
，，
，
即，
解得（舍去）或，
点的坐标为，．
20．（1）解：如图所示：

由题意知，
在中，，则，即，
；
（2）解：如图所示：
，
在中，，由等腰直角三角形性质得到，
在中，，
由，
即，
解得，
气球离地面的高度．
21．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
又∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90°，
∵∠P=∠BAC，
∴∠P+∠AOP=90°，
∴∠PAO=90°，
∴PA⊥OA，
又∵OA是⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；
（2）由（1）得：∠PAO=∠ACB=90°，
又∵∠P=∠BAC，OP=BA，
∴△OAP≌△BCA（AAS），
∴BC＝OA＝AB＝1，
∴．
22．解：(1)∵二次函数的图象经过点C(0，-3)，
∴c =-3．
将点A(3，0)，B(2，-3)代入得
解得：a=1，b=-2．
∴．-------------------2分
配方得：，所以对称轴为x=1．-------------------3分
(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t．
∵点B，点C的纵坐标相等，
∴BC∥OA．
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．
即QE=AD=1．
又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，
∴2-0.2t=1．
解得t=5．
即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．-------------------6分
②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
又∵∠PMF=∠QMG，
∴△MFP≌△MGQ．
∴MF=MG．
∴点M为FG的中点 -------------------8分
∴S=，
=．
由=．
．
∴S=．-------------------10分
又BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．
∴0∴当t=20秒时，面积S有最小值3．------------------11分
23（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴所对圆心角；
（2）证明：∵是的外角的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴；
（3），证明：如图，延长至，使，连接，
∵四边形是圆内四边形，
∴,
∵，
∴,
由（2）知是等边三角形，
∴，
∴，
∴，,
∴是等边三角形，
∴,
即
答案第1页，共2页

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