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给等式告诉我们要代入消元(1)
夯实基础,稳扎稳打
1．已知关于x的一元二次方程x2－(a＋2)x＋a＋1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根． （2）求这个方程的两个实数根．
2．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k＋1）x＋4（k －）＝0.
（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）求这个方程的两个实数根.
3．关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值
4．如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足16a-4b+c=0，那么我们称这个方程为“百叶龙”方程，
已知ax2+bx+c=0是“百叶龙”方程，且有两个相等的实数根,求的值
5．设，是关于x的方程的两根，且，求m的值．
连续递推,豁然开朗
6.若，是关于的一元二次方程的两个根，
且，求的值
7..已知关于 x的一元二次方程
8．定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”．
(1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）①，②③
(2)若方程是“同步方程”，求的值；
(3)若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系．
给等式告诉我们要代入消元(2)
夯实基础,稳扎稳打
1．已知关于x的一元二次方程x2+(m-3)x-3m=0．
（1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；（2）求这个方程的两个实数根．
2．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）求这个方程的两个实数根．
3.已知一元二次方程．
若方程的一个根为，求的值．当时，求证：方程有两个实数根．
4．已知是方程的两个实数根，求的值
5．已知一元二次方程x2-2x+m=0．(1)若方程有两个实数根，求的范围；
(2)若方程的两个实数根为，且x1+4x2=3，求的值．
连续递推,豁然开朗
6．若关于的方程x2-2（m+1)x+m2=0有两个实数根，．
（1）求的取值范围；（2）在（1）的条件下，若满足||=，求实数的值．
7． 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值．
8．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．(3)在（2）的条件下，求的值．
逢解必代，给等式告诉我们要降次代入 (3)
---念念不忘已知，始终盯着所求
1．已知m，n是一元二次方程的两个根，求的值
2．若，是方程的两个实数根，求的值
3．已知m，n是方程的两根，求的值
4．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，求m2﹣mn+3m+n的值
逢解必代，给等式告诉我们要代入消元（4）
---念念不忘已知，始终盯着所求
1．关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个实数根为-1，求的值
2．如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-2，，那么我们称这个方程为“美丽”方程，
已知ax2+bx+c=0是“美丽”方程，且有两个相等的实数根,求的值
3.已知一元二次方程．
若方程的一个根为3，求的值．当时，求证：方程有两个不相等的实数根．
、
4． 已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根.
（2）若该方程的两个实数根、满足，求m的值.
5.已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，
若的另一个根为4，求的两个根
参考答案:给等式告诉我们要代入消元(1)
1.（1）证明：由题意得△＝[ (a+2)]2 4(a+1) ＝a2+4a+4 4a 4＝a2．
∵a2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．（2）解：解方程x2 (a+2)x+a+1＝0， 得x1＝1，x2＝a+1，
2（1）证明：Δ=（2k+1）2-4×1×4（k-）=4k2-12k+9=（2k-3）2，∵无论k取何值，（2k-3）2≥0，故这个方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式得，∴x1=2k-1，x2=2.
3.【解析】∵关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，∴b2=4ac．∴==．
4.【解析】∵ax2+bx+c=0是“百叶龙”方程，且有两个相等的实数，∴b2-4ac=0，
∵16a-4b+c=0，
∴c=4b-16a
∴b2-4a（4b-16a）=0∴b2-16ab+64a2=0即（b-8a）2=0
∴b=8a，=
5.解：， ， ，
将代入，得：，解得，
6.解：∴，∵，∴，
∴，得或，，∴，∴，
7. 解:∵方程的两个实数根分别为α，β，∴由根与系数的关系可知
∵α-3β=5,联立
8．.解（1）解：①∵，∴，∴，②∵，∴，∴，③∵，∴，∴，∴，∴不是“同步方程”，答案：①②；
（2）解：∵是“同步方程”，∴，∴，∴当时，，当时，，故或；
（3）解：∵为“同步方程”，∴，，
∴，∴．
参考答案:给等式告诉我们要代入消元(2)
1.（1）解：∵
又， ∴ b2 - 4ac ≥ 0 ， ∴原方程有两个实数根；
（2）解：原方程可变为(x + m)(x - 3) = 0 ，则方程的两根为 x1 =-m， x2=3，
2.（1）证明：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，∵，即，∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，∴，
3.【解析】知一元二次方程一个根为，
，，，；
，，方程有两个实数根．
4.解： 是方程的一个实数根， ， ．
是方程的两个实数根， ．
，
5．（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个实数根，∴，∴；
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根为，，
∴x1+x2=2，∵x1+4x2=3，∴2+3x2=3，x2=，∴x2=2-=，∴m=x1x2=．
6．解：（1）∵关于的方程x2-2（m+1)x+m2=0有两个实数根，．∴4（m+1)2-4m2，解得m；
（2）∵||=，=或=-，当=，则△=0，所以m，
当=-，即+=0，解得m=-1，∵m，m=-1舍去∴的值为．
7.【答案】（1）解：∵方程，，
∴，∴，解得．
（2）解：∵的两个实数根分别是，，且，
∴，∵，∴，
∵为符合条件的最小整数，∴，∴，∴，
解得，∴或，∴或（舍去），故．
【详解】（1）解：根据题意得，解得；
（2）解：，解得或（不符合题意，舍去）∴；
（3）解： ，
将，代入上式得，∴（负值已舍）．
逢解必代，给等式告诉我们要降次代入 (3)
1.解：∵m，n是一元二次方程的两个根，∴，，
∴，，∴，
2.解：是方程的两个实数根，，即，则．
3.解： m，n是方程的两根，即，
，
4.解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，∴m2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=8．
逢解必代，给等式告诉我们要代入消元（4）
1.【解析】∵关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个实数根为-1，∴a﹣b+c=0，∴b=a+c．∴=．
2.【解析】∵ax2+bx+c=0是“美丽”方程，且有两个相等的实数，∴b2-4ac=0，
∵4a-2b+c=0，
∴c=2b-4a
∴b2-4a（2b-4a）=0∴b2-8ab+16a2=0即（b-4a）2=0
∴b=4a，=
3.【解析】知一元二次方程一个根为，
，，，；
，，方程有两个不相等实数根．
4.【答案】（1）证明：∵在方程中，
，∴该方程有两个不等的实根
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为、，∴①、②.
∵③，∴联立①③解之，得：，，
∴，解得：
5.解：∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，
∴，解得，∴正根为1，m=1
∵的另一个根为4，∴，∴，
∵方程有一个正根为1，设另一个根为n，∴则，∴，
∴另一个根为，∴的两个根分别为1，，

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