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乌鲁木齐市第 70中 2025-2026学年九年级第四次模考数学试卷
时长: 120分钟 总分: 150分
一、选择题。(每小题 4分，共 36分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1. -5的相反数是( )
A. B. C. 5 D. -5
2.2025年某省出版了 4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会
提供了丰富的图书资源.数据“4.59亿”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.如右图,直线 AB, CD相交于点 O,若∠1=80°,∠2=30°,则∠AOE的度数为( )
A. 30° B. 50° C. 60° D. 80°
4.下列计算正确的是( )
A. 5a-3a=2 B.
C. D.
5.如图 1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图 2
是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=( )
A 45° B. 60° C. 110° D. 135°
6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长
短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何 其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩
余 4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 1尺，问木长多少尺 设木长 x尺，则可列方程为( )
A. B. C. D.
7.关于 x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 =( )
A. 4 B. -4 C. 2 D. -2
8.如下图在同一平面直角坐标系中，一次函数 y =ax+b(a≠0)与 y =mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下列结论错的是.
( )
A. bC.当 x<2时, y >y D.关于 x，y的方程组 的解为
9,如图,在△ABC中,∠BAC=90°, AB=AC, AC= 点 D在 BC上,且 BD: CD=1: 3.连接 AD,线段 Al点 A顺时针
旋转 90°得到线段 AE,连接 BE, DE.则△BDE的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题 4分，共 24分)
10.化简:
11.如图，在边长为 2的正方形 ABCD中，点 E在 AD上，连接 EB，EC.则图中阴影部分的面积是 .
12.如图，在标有数字 1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为 4的概率是 .
13.如图, PA与⊙O相切于点 A, PO交⊙O于点 B,点 C在 PA上,且 CB=CA.若 OA=5, PA=12,则 CA的长为
.
14.如图，在矩形 OABC和正方形 CDEF中，点 A在 y轴正半轴上，点 C，F均在 x轴正半轴上，点 D在边 BC上，
BC=2CD，AB=3.若点 B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 .
15.矩形 ABCD中, M为对角线 BD的中点,点 N在边 AD上,且 AN=AB=1.当以点 D, M, N为顶点的三角形是直角三
角形时，AD的长为 .
三、解答题(本大题共 8个小题，共 90分)
16. (10分)(1)计算:
(2)化简:
17. (10分)(1)解方程组
(2)如图.已知△ABC,∠B=48°,请用尺规作图法,在△ABC内部求作一点 P.使 PB=PC.且∠PBC=24°(保留作图
痕迹，不写作法)
18. (10分)如图,在 ABCD中,点 E, F分别在 BC, AD上,BE=DF,AC=EF.
(1)求证:四边形 AECF是矩形;
求 BC的长.
19.(12分)某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场“中随机抽取了 20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿
的个数.其数据如下: 28, 36, 37, 39, 42, 54, 54,54, 54, 54,54,54, 54,54, 54, 54, 54, 63, 64. 通过对以上数据的分析
整理，绘制了统计图表：
分组 频数 组内小西红柿的总个数
25≤x<35 1 28
35≤x<45 n 154
45≤x<55 9 452
55≤x<65 6 366
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图：这 20个数据的众数是 ；
(2)求这 20个数据的平均数；
(3)“校园农场“中共有 300棵这种西红柿植株，请估计这 300樱西红枝植株上小西缸柿的总个数.
20.(10分)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区
居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷 AB长为 5米，与水平面的夹角为 ，且靠墙端离地高 BC为 4米，
当太阳光线 AD与地面 CE的夹角为 45°时，求阴影 CD 的长 .(结果精确到 0.1米；参考数据：
tan16°≈0.29)
21.(12分)如图,以△ABC的边 AC为直径作⊙O,交 BC边于点 D,过点 C作 交⊙O于点 E,连接 AD,DE,
∠B=∠ADE.
(Ⅰ)求证:AC=BC;
(2)若 tanB=2, CD=3,求 AB和 DE的长.
22.(I2分)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分
析，下面是他对击球线路的分析.
如图，在平面直角坐标系中，点 A，C在 x轴上，球网 AB与 y轴的水平距离 OA=3m，CA=2m，击球点 P在
y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度 y(m)与水平距离 x(m)近似满足一次函数关系 y=-0.4x+2.8；若选择吊球，
羽毛球的飞行高度 y(m)与水平距离 x(m)近似满足二次函数关系.
(1)求点 P的坐标和 a的值；
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到 C点的距离更近，请通过计算判断应选
择哪种击球方式.
23.(14分)李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科
学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答.
(1)观察发现
如图 1，在平面直角坐标系中，过点 M(4，0)的直线 l∥y轴，作△ABC关于 y轴对称的图形
△A B C ，再分别作△A B C 关于 x轴和直线 l对称的图形 和 则
可以看作是△ABC绕点 O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 ;
可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为 个单位长度.
(2)探究迁移
如图 2, ABCD中,∠BAD=α(0°<α<90°),P为直线 AB下方一点,作点 P关于直线 AB的对称点 再分别作点 P
1关于直线 AD和直线 CD的对称点. 和 连接 AP，AP ，请仅就图 2的情形解决以下问题：
①若∠PAP =β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；
②若 AD=m,求 P, 两点间的距离.
(3)拓展应用
在(2)的条件下,若α=60°, AD=2 ,∠PAB=15°,连接 P P ,当 与 ABCD的边平行时，请
直接写出 AP的长.一、选择题（每小题 4 分，共 36 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C C B D A A D C C
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
10. 4y2
11. 2
12.
13.
14. y=
15. 或
三、解答题（共 8 小题，90 分）
16.(10 分)计算与化简
(1)原式= 。
(2)原式= 。
17.(10 分)解方程组与作图
(1)
两式相加得 ，
所以解得
(2)
18.(10 分)平行四边形与矩形
(1)证明思路：
由 且 得 且 。
故四边形 是平行四边形。
又 （对角线相等），所以 是矩形。
(2)解答：
由(1)知 。
在 中， ， 。
在 中， ，已知 ，故 。
19.(12 分)统计与概率
(1) ；众数是 54。
(2)平均数：
总个数= 。
平均数= 。
(3)估计总数：
（个）。
20.(10 分)解直角三角形（遮阳篷问题）
过点 作 于 。
在 中， ， 。
。
。
因为 ，所以 。
实际上， 为地面， 。延长 交地面光线于 。
或直接计算： 。
结果：CD 2.6 米。
21.(12 分)圆的综合证明与计算
(1)证明：
是直径， 。
，且 （同弧 所对圆周角）。
， 。
故 ， 。
(2)解答：
由(1)知 ， 。
设 ，则 。在 中， 。
22.(12 分)二次函数应用（羽毛球）
(1)求坐标与 a：
点 在 轴上， 。代入扣球函数 ，得 。
吊球函数 也过 。
。
(2)判断落地点：
扣球落地：令 ， 。落地点距 为 7m，距 为
（因为 ，所以 ，落地点横坐标 7，距 C点
）。
吊球落地： 点坐标为 （ , ）。吊球落地
，位于 点左侧，距离为 。
结论：吊球落地点距 点约 ，扣球落地点距 点 。吊球落地点更近，
应选择吊球。
23.(14 分)几何变换（压轴题）
(1)旋转角：180°；平移距离：8。
(2)① 。
② 。
(3)AP 的长：为 或

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