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重庆一中初 2028届八上《勾股定理》单元检测题
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题：（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、
C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答．题．卡．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
2 2
1.下列几组数：①9，12，15；②8，24，25；③7，24，25；④n 1，2n，n +1（n是大于 1 的整数）．
其中是勾股数的有（ ▲ ）
A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组
2．学校旗杆上的绳子垂到地面还多 2 米，将绳子下端拉开 6 米后，下端刚好接触地面，则旗杆高度为（ ▲ ）
A．8 米 B．10 米 C．12 米 D．14 米
3.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点 D为 BC的中点，DE⊥AB于点 E，则 DE等于（ ▲ ）
10 15 60 75
A． B． C． D．
13 13 13 13
A’
A
A E D(B’)
E
B D C B F C
3 题图 4 题图 5 题图 6 题图
4.如图，在 Rt△ABC中，∠B=90°，以 AC为直径的圆恰好过点 B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是
（ ▲ ）
A．100p -24 B．100p -48 C．25p -48 D．25p -24
5.如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角
形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为 64，则正
方形⑤的面积为（ ▲ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6.把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点 B和 D点重合，折痕为 EF．若 AB=3cm，BC=5cm，则重叠
部分△DEF的面积是（ ▲ ）
A． 7.5cm2 B．5.1cm2 C．5.2cm2 D．7.2cm2
7.如图，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=8，D为 AC边的中点，E为 AB上一点，AE=2，P为线段
BD上一动点，则 AP+EP的最小值为（ ▲ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
数学试题 第 1 页（共 8 页）
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A A A
D
E
D E
G D P F
B B C H
C B C
7 题图 8 题图 9 题图
8.如图，△ABC中， ∠ABC=45°，CD⊥AB于 D，BE平分∠ABC且 BE⊥AC于 E， 与交 CD于 F，H是 BC
边的中点，连接 DH交 BE于点 G，下列结论正确的个数是（ ▲ ）
2
1 S
①BF=AC；②CE= BF；③△DGF是等腰三角形；④ S = S四边形 四边形 ；⑤
ABC = 2
ADGE GHCE
2 S BDC
A． 5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
9.如图，在四边形 ABCD 中， AB = AC = AD ．若 BCD = ，则 BAD =（ ▲ ）
1 3
A． B．180
2 4
7
C． 180 D．360 2
4
10.已知一个整式的“M形式”为 n n 1 2an (x 1) + a n 1(x 1) +…+ a2 (x 1) + a1(x 1) + a0 ，
其中 n ， a ， an n 1，…， a1 ， a0 均为自然数. 下列说法：
①整式 2 25x + 6x +1的“M形式”为（5 x 1）+1（6 x 1）+12 ；
②当整式为 x5 3 25 + 6x + 3x + x +1时，则 a2 + a4 = 96 ；
③当 2 an 5时，满足 an an 1 … a1 a0 ，则满足条件的“M形式”共有 24 个.
其中正确的个数是（ ▲ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
二、填空题：（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）请将每小题的答案直接填在答．题．卡．中对应的
横线上．
11. 已知直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方为 ▲ ．
12. 如图，在 Rt△ABC 中， ABC = 90 ，BD ⊥ AC . 若 AB=5，BC=12， A D
则 BD= ▲ ．
13. 重庆某山区地表以下岩层的温度 y(℃)与它所处的深度 x(km)的对应
数据如下表：
B
12 题图 C
岩层的深度 x (km) 1 2 3 4 5 6 . . .
岩层的温度 y (℃) 45 80 115 150 185 220 . . .
观察表中数据可知，温度 y 与深度 x之间的关系式为 ▲ .
2 2 2
14. 若△ABC 的三边 a、b、c 满足条件：a + b + c + 338 =10a + 24b + 26c ，则该三角形最长边上的
高为 ▲ ．
数学试题 第 2 页（共 8 页）
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15. 如图，一个正六棱柱礼品盒子底面边长为 3cm，盒子高为 24cm. 在正六棱柱礼盒的侧面上从顶点 A 到
顶点 A ' 镶有一圈彩带用作装饰，则这圈彩带的长度至少为 ▲ cm．
A’
C
C
F
P E
A B A
A D B
15 题图
16 题图 17 题图
16. 如图，P是等边△ABC内的一点，PA=6，PB=8，∠BPA =150°，则 PC= ▲ ．
17. 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D为 AB的中点，E为 AC上一点，连接 ED，过点 D
7
作 DF⊥DE交 BC于点 F，若 AE= ，BF=12，则线段 EF的长为 ▲ ．
2
18. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点 B作 BE ⊥ AD于点 E，连接CE . 若 AB : AC = 5 : 7 ，△ABC 的
面积为 24，则图中阴影部分的面积为 ▲ ．
A
N
F
H E
D C
E
B D C A M B
18 题图 19 题图
19. 如图，在长方形 ABCD 中，点M 是 AB 的中点，N 在 BC 延长线上，连接 MN ，将△BMN沿着MN 翻
折得到△FMN， FM ， MN 分别交CD 于点 H ， E ，连接 DF . 若 D ， F ， N 三点共线时， AD = 9，
BN =16 ，则 HM 的值为 ▲ ．
20. 如果一个四位自然数各数位上的数字均不为 0，满足千位数字与百位数字和的 2 倍等于十位数字与个
位数字和的 3 倍，则称这个四位数为“质倍数”. 例如：四位数 4231，因为 2 (4 + 2) = 3 (3+1)，所以
4231是“质倍数”. 若一个四位数M = abcd 为“质倍数”， 满足 ac + bd 被13除余 5，则 c + d = ▲ ；
在此条件下，当 ad bc 2= k 6 （ k 为整数）时，满足条件的M 的最大值与最小值之差为 ▲ .
数学试题 第 3 页（共 8 页）
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三、解答题：（本大题共 8 个小题，每小题 10 分，共 80 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或
推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线），请将解答过程书写在答．题．卡．中对应的位置上．
21．计算：
1 1 3 19 3（1） 18 + 12 6 + 4 0.75 （2） 52 102 2 3 1 + 23
2 2 27
22. 综合与实践
在学习了等腰三角形和线段垂直平分线后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究.
【动手操作】
如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，BD是△ABC 的角平分线. 用尺规完成基本作图：作 BD的垂
直平分线，交 AB于点 E，交 BC于点 F，垂足为点 O，连接 DF.（只保留作图痕迹）；
【问题提出】
他们猜想 BE 与 DC 之间存在相等关系： BE = DC .
A
【问题解决】
任务：（1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明.
D
B
C 22 题图
23. 先化简，再求值：
2
[3x(x + 2y) + (x + y)(x y) (2x y) ] 2y ，其中 x ， y 满足 x 3 + 3 x + y = 1．
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24. “粒米虽小君莫扔，勤俭节约留美名”. 重庆一中校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重.
于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食. 为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生
会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了统计图，下图
是两个不完整的统计图.
饭菜的剩余情况的条形统计图 饭菜的剩余情况的扇形统计图
人数
250
没有剩
200
200
150 剩少量 剩大量
100
100 25%
剩一半
50
50
0
没有剩 剩少量 剩一半 剩大量 类型 24 题图
根据以上信息，解答以下问题：
（1）这次被调查的同学有 ▲ 名，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“剩一半”对应的扇形的圆心角是 ▲ 度；
（3）校学生会通过数据分析，估算出这次被调查的所有同学一餐浪费的食物可以供 80 名同学食用一
餐. 请估计全校 3600 名学生一餐浪费的食物可供多少名同学食用一餐？
25. 如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴 C，铁路上有 A、B两处观测点，观测点 A距离鸟类
巢穴80m，观测点 B距离鸟类巢穴60m，两观测点 A、B相距100m．火车行驶时会对周围52m范围
造成噪声污染．
（1）求点 C 到铁路 AB 的距离；
（2）当一列长度为260m的火车以30m/s的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会
造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长
（火车长度不能忽略不计）．
25 题图
数学试题 第 5 页（共 8 页）
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26. 列方程解下列问题：
某科技公司研发了阿尔法和贝塔两款 AI 文本处理软件. 第一次测试中，使用这两款软件在标准模式
下交替处理一份 78000 字的文本，阿尔法每秒钟处理的文本字数比贝塔少 60 字，贝塔先处理 200 秒，
然后阿尔法加入贝塔一起再共同处理了 300 秒后完成这次测试.
（1）求在标准模式下，阿尔法和贝塔每秒钟处理的文本字数分别为多少字？
（2）第二次测试中，阿尔法在处理文本速度不变的情况下，处理时间比它在第一次测试中所用时间增
16
加了 a%，同时由于贝塔软件进入节能模式，处理文本的速度下降为标准模式中的 80%，处理
5
3
时间比它在第一次测试中所用时间增加了 ，第二次测试中两款软件处理的文本总字数比第一次
5
测试增加了 (30 + 0.4a)% ，求 a 的值.
数学试题 第 6 页（共 8 页）
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27. 如图 1，在长方形 ABCD中，AB＝10，BC＝8，点 P从 A出发，沿 A→B→C→D路线运动，到达点 D
时停止运动，点 P开始以每秒 1 个单位长度匀速运动，a秒后变为每秒 b个单位长度匀速运动，图 2
是点 P出发 x秒后，△APD的面积 S与 x（秒）的关系图象.
S
A P B
24
D C 0 a 8 x/秒
27 题图 1 27 题图 2
（1）根据图 2 提供的信息，a＝ ▲ ，b＝ ▲ ；
（2）当 S=32 时，请求出对应 x的值；
（3）在点 P出发同时，有一点 Q从 A出发，沿 A→D→C→B→A路线匀速运动，点 Q的速度为每秒
1.5 个单位长度，P、Q 两点相遇后，点 P 按原计划继续运动，点 Q 立即原路返回，速度不变，
点 Q到达点 A时停止运动. 在整个运动过程中，当 P、Q在运动路线上相距的路程为 2.5 时，请
直接写出 x的值.
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28. 在 ABC 中， BAC = 90 ，AB = AC ，点D 是BC 边上一点（点D 不与端点重合）．过D 作DF ⊥ BC
交 AB 于E ，交直线 AC 于 F ．
（1）如图 1，若 BFD = 30 ，CF = 6 2 ，求△BFC 的面积；
（2）如图 2，连接 AD ，证明： 2AD = BF ；
（3）如图 3，点D 从点 B 移动到点C 的过程中，作D 关于 AB 的对称点D ，过D 作 AD 的垂线交直线 AC
CM
于M ，当 AMD 为等腰三角形时，请直接写出此时 的值．
AM
数学试题 第 8 页（共 8 页）
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