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苏州市2025-2026学年第二学期初二数学期末模拟卷（14）
一．选择题（共8小题）
1．如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA、BC，分别交直线DE于点M、N．如果添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，那么这个条件是（　　）
A．∠2＝∠3 B．CD∥AB
C．∠1＝∠4 D．∠B+∠1＝180°
2．如图，D是△ABC边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点F，则在下列给出的三角形中，与△BDF相似的是（　　）
A．△BFA B．△BAE C．△BEC D．△AEF
第1题第2题
3．从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（　　）
A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换
第3题
4．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．给出下列说法：
①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；
②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；
③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
5．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF：S△ABF＝1：9，则DE：DC＝（　　）
A．3：1 B．1：2 C．2：3 D．1：3
第6题第8题
7．若，则（　　）
A． B． C．7 D．﹣7
8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝6，E为AB的中点，F是AD上一点，，G为CD上一点，连接GE交BD于点H，若∠GEF＝∠A，则的值为（　　）
A． B． C． D．4
二．填空题（共10小题）
9．已知：，的值为　 　 ．
10．取5张扑克牌，其中2张“方块”，1张“梅花”，2张“红桃”．现从中任取1张，恰好是“红桃”的概率是 　 　 ．
11．如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连结AE，将△ADE顺时针旋转90°得到△ABF，连结EF，分别交AB，AC于点G，H．若△AFG与△AEC相似，则 　 　 ．
第11题第14题第15题
12．两个相似三角形的周长之比为4：9，那么它们的相似比为 　 　 ．
13．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是　 　 厘米．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点F在边AC的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD＝6，AB＝10，ED＝2，那么FD＝　 　 ．
15．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为　 　 ．
16．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝3，D为AB中点，点E在线段BC上，且BE＝2CE，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为F，连接DF，则DF的长为　 　 ．
第16题第18题
17．若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式α2+αβ+α﹣β的值为 　 　 ．
18．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝7，E在边AB上，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，F在直线BD上，作FG⊥DC于点G，若CG＝4，则BF的长为 　 　 ．
三．解答题（共10小题）
19．计算：
（1）； （2）．
20．解下列方程：
（1）； （2）．
（3）x2+2x＝1； （4）（x﹣2）2+2x（x﹣2）＝0．
21．先化简再求值：，其中．
22．传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100．
八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 89 89.5 a
八年级 89 b 91
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，m＝ 　 　 ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（x≥90）的学生共有多少人？
23．2025年江苏省城市足球联赛期间，为促进文旅消费，南通市面向符合条件的游客推出四个免费景区：A（狼山风景区）、B（濠河风景区）、C（南通博物苑）、D（紫琅湖公园）．某周六上午，甲、乙两位符合条件的游客随机选择其中一个景区游览（每个景区被选择的可能性均等）．
（1）甲选择濠河风景区（B景区）的概率为 　 　 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一景区的概率．
24．如图，已知在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM＝∠C．
（1）求证：EB BD＝BM AB；
（2）求证：AE⊥BE．
25．如图，边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ；连接PQ，PQ与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F，连接CQ．求证：
（Ⅰ）CQ＝AP；
（Ⅱ）△APB∽△CEP．
26．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且，连接DE、BD．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若点E为AB的中点，AD：AE＝4：3，若AB＝12，求CD的长度．
27．（1）【合作探究】如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，点E是AC边上一点，且∠ADE＝∠B，求证：△ADE∽△ACD；
（2）【内化迁移】如图2，在 ACDE中，连接CE，点B为CE的延长线上一点，连接AB，使得∠B＝∠D，若AC＝4，CE＝3，求BC的长度；
（3）【学以致用】如图3，在四边形ABCE中，∠E＝90°，AE∥BC，点D为AC上一点，∠BAC＞90°，∠ABD＝∠ACB，若，且，则　 　 ．
28．一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2m，面积为1.5m2．
（1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
（2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积y（m2）与DE的长x（m）之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
7．【解答】解：∵，∴ab，∴．故选：B．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外向之积是解题的关键．
8．【解答】解：在菱形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB，∠DBE∠ABC＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∴AD＝AB＝BD＝6，∠A＝60°＝∠DBE，
∵E为AB的中点，∴BE＝AE＝3，∵，∴AF＝2，
∵∠FEG＝∠A＝∠DBE，∠AEG＝∠FEG+∠AEF＝∠BHE+∠DBE，
∴∠AEF＝∠BHE，∴△BHE∽△AEF，∴，
∴BHAE，，∴DH＝BD﹣BH，S△AEFS△BHE，
∵AB∥CD，∴△DHG∽△BHE，∴，
∴S△DHGS△BHE，∴，故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
9．【解答】解：设a＝3k，b＝4k，则．故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
10．【解答】解：∵从5张纸牌中任意抽取一张牌有5种等可能结果，其中抽到“红桃”的只有2种结果，∴从中任取1张，恰好是“红桃”的概率是．故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
11．【解答】解：如图，延长FE交AD的延长线于点T，过点E作EJ⊥AC于点J．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠BAD＝90°，∠ACD＝∠DAC＝45°，AD＝CD，
由旋转变换的性质可知∠BAF＝∠DAE，DE＝BF，∵△AFG与△AEC相似，
∴∠BAF＝∠EAC，∴∠DAE＝∠EAC，∵ED⊥AD，EJ⊥AC，∴ED＝EJ，
∵ECEJ，∴ECDE，设DE＝BF＝m，则ECm，AD＝CD＝（1）m，
∵∠DAC＝45°，∴∠DAE＝∠EAC＝22.5°，∴∠AED＝67.5°，
∵∠DAE＝∠BAF，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，∵AE＝AF，∴∠AEF＝45°，
∴∠DET＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠T＝∠DAE＝22.5°，∴EA＝ET，
∵ED⊥AT，∴AD＝DT＝（1）m，∵BF∥AT，∴△AGT∽△BGF，
∴2+2．故答案为：2+2．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
12．【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为4：9，
在Rt△PGC中，∠OCD+∠GPC＝90°，
在Rt△POF中，∠GFD+∠OPF＝90°，
又∵∠GPC＝∠OPF，∴∠OCD＝∠GFD，
在△OCD和△GFD中，，
∴△OCD≌△GFD（ASA），∴OD＝DG＝3，
∴OD＝OB＝3，∴DB＝OD+OB＝6，∴DF＝BF﹣BD＝1．故答案为：1．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
三．解答题（共10小题）
19．【解答】解：（1）＝26＝8；
（2）＝2+1+22+1﹣2＝6．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
20．【解答】解：（1）原方程去分母得：6﹣2x＝4+x，
解得：x，检验：当x时，4+x≠0，故原方程的解为x；
（2）原方程去分母得：1＝x﹣1﹣3x+6，解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，则x＝2是分式方程的增根，故原方程无解．
（3）∵x2+2x＝1，∴x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，
∴x+1＝±，∴x1＝﹣1，x2＝﹣1；
（4）∵（x﹣2）2+2x（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
则x﹣2＝0或3x﹣2＝0，解得x1＝2，x2．
【点评】本题主要考查解分式方程，一元二次方程的能力，熟练掌握解分式方程和一元二次方程几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键，分式方程不要忘记检验．
21．【解答】解：原式
，∵，∴ab，∴原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式；解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
22．【解答】解：（1）根据七年级成绩可知9（0分）的最多有3人，所以众数为a＝90，
八年级A、B组的频数和为20×（20%+25%）＝9，
所以将八年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在C组，分别为90，91，则其中位数b90.5，∵m%＝100%﹣20%﹣25%100%＝25%，
所以m＝25；故答案为：90，90.5，25；
（2）八年级的成绩更好，理由如下：七、八年级的平均数相同，但八年级成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的更好；
（3）500600×（1﹣20%﹣25%）＝250+330＝580（人），
答：估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（x≥90）的学生共有580人．
【点评】考查用样本估计总体，算术平均数，中位数，众数，掌握相关知识是解题的关键．
23．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲选择濠河风景区（B景区）的结果有1种，∴甲选择濠河风景区（B景区）的概率为．故答案为：．
（2）列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一景区的结果有4种，
∴甲、乙两人选择同一景区的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
24．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，
∵∠EBM＝∠C，∴∠EBM＝∠ABC，∴∠ABE＝∠DBM，
∵∠BAE＝∠BDF，∴△BEA∽△BMD，∴，∴EB BD＝BM AB；
（2）连接AD，∵AB＝AC，点D为BC边的中点，∴AD⊥BC，
∵，∠ABD＝∠EBM，∴△ABD∽△EBM，
∴∠ADB＝∠EMB＝90°，∴∠AEB＝∠BMD＝90°，∴AE⊥BE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．
第24题第25题
25．【解答】证明：（Ⅰ）如图，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°．
∴∠ABC＝∠PBQ．∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ．
在△BAP和△BCQ中，∵，∴△BAP≌△BCQ（SAS）． ∴CQ＝AP；
（Ⅱ）如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC∠BAD＝45°，∠BCA∠BCD＝45°，
∴∠APB+∠ABP＝180°﹣45°＝135°，
∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ＝45°，∴∠APB+∠CPQ＝180°﹣45°＝135°，
∴∠CPQ＝∠ABP，∵∠BAC＝∠ACB＝45°，∴△APB∽△CEP．
【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定等知识；正确应用正方形的性质是解题关键．
26．【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠CAB，，∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵点E为AB的中点，∴，∵AD：AE＝4：3，∴AD＝8，
∵△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AC＝9，
∴若点E为AB的中点，AD：AE＝4：3，AB＝12，则CD＝AC﹣AD＝9﹣8＝1．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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