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(共41张PPT)
第五章
第2节　运动的合成与分解
课题1　运动的合成与分解
抛体运动
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．在具体问题中知道什么是合运动，什么是分运动．
2． 知道运动的合成与分解的方法遵循平行四边形定则．
3．会应用运动的合成与分解思想判断合运动的性质．
活 动 方 案
活动一：探究蜡块的位移、速度与轨迹
1．阅读教材“演示：观察蜡块的运动”并观察教师的演示实验．红蜡块同时参与了两个运动：①水平方向：蜡块随着管向右做匀速运动；②竖直方向：蜡块相对管向上做匀速运动．
(1)在这个实验中，蜡块向右上方的这个运动是什么运动？
【答案】匀速直线运动．
(2)要想定量地研究蜡块的运动，需要建立怎样的坐标系？
【答案】平面直角坐标系．
(3)怎样确定蜡块的位置和位移？
x＝_______，y＝_______；
s＝____________；
tan θ＝______＝______．
(4)怎样确定蜡块的运动速度？
v＝___________，tan θ＝______．
vxt
vyt
(5)怎样确定蜡块的运动轨迹？
x＝________，y＝________；y＝______x，蜡块运动的轨迹是______线．
蜡块的实际运动速度________(选填“变化”或“不变”)，蜡块做____________运动．
vxt
vyt
直
不变
匀速直线
2．若在红蜡块沿玻璃管匀速上升的同时让玻璃管沿x方向做匀加速直线运动，则蜡块的运动轨迹如何？请在下面的坐标中定性画出来，并将所画的图像和演示实验(描下蜡块的轨迹)进行对比，再利用物体做曲线运动的条件进行解释．
【解析】方法一：根据轨迹的特征画图．
【答案】解释略
活动二：理解合运动与分运动的关系
1．刚才的实验中，蜡块参与了竖直向上的运动和水平向右的运动，这两个运动都叫作分运动，蜡块实际的运动叫作合运动．即物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度．
(1)总结合运动与分运动的四个特性：
等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间________
等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果________
同体性 各分运动与合运动是________物体的运动
独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
相同
相同
同一
(2)已知_________求_________，叫作运动的合成；已知_________求__________，叫作运动的分解．运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循平行四边形定则．
分运动
合运动
合运动
分运动
2． 某商场设有自动扶梯和步行楼梯，自动扶梯与水平面的夹角为30°，自动扶梯前进的速度是0.76 m/s，步行楼梯每级的高度是0.15 m．有甲、乙两位顾客，分别从自动扶梯和步行楼梯的起点同时上楼，甲在自动扶梯上站立不动，乙在步行楼梯上以每秒上两个台阶的速度匀速上楼(如图所示)．哪位顾客先到达楼上？如果该楼层高4.56 m，甲上楼用了多少时间？
【答案】如图所示，甲在竖直方向的速度v甲y＝v甲sin 30°＝0.76× sin 30° m/s＝0.38 m/s，
活动三：应用运动的合成与分解思想判断合运动的性质
分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时，应先求出合运动的合初速度v和合力F(或合加速度)，然后进行判断．
1．关于两个互成角度的分运动的合成，下列说法中正确的是 (　　)
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
D．两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动可能是曲线运动
【解析】两个直线运动的合运动不一定是直线运动，故A错误；两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运动，因为合加速度为零，具有合速度，做匀速直线运动，故B正确；两个匀加速直线运动的合初速度方向与合加速度方向如果不在同一条直线上，合运动为曲线运动，故C错误；两个初速度为零的匀加速直线运动，因为合初速度为零，合加速度不为零，则合运动是初速度为零的匀加速直线运动，故D错误．
【答案】B
总结：不在一条直线上的两个直线运动的合运动的几种可能情况．
两个互成角度的分运动 合力与合初速度方向关系的示意图 合运动的性质
两个匀速直线运动 / ____________运动
一个匀速直线运动，一个匀变速直线运动 ______________运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 / ______________运动
匀速直线
匀变速曲线
匀加速直线
两个互成角度 的分运动 合力与合初速度 方向关系的示意图 合运动的性质
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为______________运动
如果v合与a合不共线，为______________运动
匀变速直线
匀变速曲线
2．如图所示，图甲表示某物体在x轴方向上的分速度的vx－t的图像，图乙表示该物体在y轴方向上的分速度的vy－t图像．求：
(1)物体在t＝0时的速度大小；
(2)t＝8 s时物体的速度大小；
(3)t＝4 s时物体的位移大小．
甲
乙
【答案】根据图像可知，物体在x轴方向上以3 m/s的速度做匀速直线运动，在y轴方向上做初速度为0、加速度为0.5 m/s2的匀加速直线运动，合运动是曲线运动．
检 测 反 馈
1．对于两个分运动及其合运动，下列说法正确的是 (　　)
A．合运动的速度一定比两个分运动的速度都大
B．合运动的速度至少比其中一个分运动的速度大
C．合运动的速度方向就是物体实际运动的方向
D．合运动的时间一定比分运动的时间长
【解析】合运动的速度(合速度)与分运动的速度(分速度)之间的关系遵循平行四边形定则，其中合速度为平行四边形的对角线，而两个分速度为平行四边形的两个邻边，由几何知识可知，A、B错误；合运动指的就是物体的实际运动，C正确；合运动和分运动具有等时性，D错误．
1
【答案】C
2．若雨滴下落一段时间后以8 m/s的速度竖直向下匀速运动，某时刻起，受到水平风力作用，落地时水平分速度的大小为6 m/s，则雨滴落地时合速度的大小为 (　　)
A．6 m/s B．8 m/s
C．10 m/s D．12 m/s
2
【答案】C
3．关于相互垂直的一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动，下列说法正确的是 (　　)
A．一定是曲线运动　
B．可能是直线运动
C．运动的方向不变　
D．速度一直在变，是变加速运动
3
【解析】决定物体运动性质的是速度方向和加速度方向，当加速度方向与速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动；当加速度方向与速度方向在一条直线上时，物体做直线运动．若加速度恒定，则物体做匀变速运动．相互垂直的一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动，两个运动不在一条直线上，且加速度是不变的，故一定是匀变速曲线运动，所以A正确．
【答案】A
3
4．某电视台举办了一期群众娱乐节目，其中有一个环节是让群众演员站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球．如果群众演员相对平台静止，则下面各俯视图中的篮球可能被投入球筐的是(图中箭头指向表示投篮方向) (　　)
4
【解析】如图所示，由于篮球和群众演员随大平台一起旋转，所以篮球抛出前有沿v0方向的初速度，则沿vB方向投出，篮球可能被投入球筐，故B正确．
【答案】B
4
5．如图所示，在一次救灾工作中，一架离水面高为H，沿水平直线飞行的直升机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B，在直升机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起．设经t时间后，A、B之间的距离为l，且l＝H－t2，则在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是 (　　)
5
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
【解析】根据l＝H－t2，可知B在竖直方向上是匀加速上升的，悬索中拉力大于重力，即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长，伤员在水平方向匀速率运动，所以F、G都在竖直方向上；向上加速，运动轨迹向上偏转．只有A正确．
【答案】A
5
6．国产大飞机C919是我国自行研制、具有自主知识产权的喷气式民用飞机，如图甲所示．在某次起飞过程中飞机沿着如图乙所示的方向斜向上加速飞行，已知该方向与水平方向的夹角为θ，初速度为v，加速度为a，维持这一状态飞行的时间为t，飞机质量为m，则关于t时间内飞机的运动与受力情况，下列判断正确的是 (　　)
6
甲
乙
C．飞机在竖直方向上所受合力为ma
D．飞机在水平方向上所受合力为ma sin θ
6
【答案】A
6
7．在水平桌面上放置一张纸，画有如图所示的平面直角坐标系，一个涂有颜料的小球沿y轴正方向匀速运动(不计球与纸间的摩擦)，经过原点O时，白纸从静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，经过一段时间，纸面上留下的痕迹可能为 (　　)
7
A　　　　　B　　　　　C　　　　D
【解析】白纸从静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，等效为小球相对于白纸在x方向上沿x轴负方向做匀加速直线运动，即水平方向上小球的加速度指向x轴负方向；小球在y方向上沿y轴正方向做匀速直线运动，即竖直方向上小球的加速度为零，故合加速度指向x轴负方向，指向轨迹凹侧，小球的合运动为匀变速曲线运动，故A正确．
【答案】A
7
8．某一物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t图像分别如图甲、乙所示，则物体在0～2 s 的运动情况，下列判断正确的是 (　　)
A．0～1 s内一定做匀变速直线运动，1～2 s内一定做匀变速直线运动
8
甲
乙
B．0～1 s内一定做匀变速直线运动，1～2 s内可能做匀变速曲线运动
C．0～1 s内一定做匀变速曲线运动，1～2 s内可能做匀变速直线运动
D．0～1 s内一定做匀变速曲线运动，1～2 s内一定做匀变速曲线运动
【解析】在0～1 s内，沿x轴方向为匀速运动，沿y轴方向为匀加速运动，则合运动为匀变速曲线运动，故A、B错误；由于1～2 s内沿两方向的初、末速度的大小未知，无法判断速度方向与加速度方向是否在一条直线上，故可能做匀变速直线运动，也可能做匀变速曲线运动，故C正确，D错误．
【答案】C
8
9．如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图像如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法正确的是 (　　)
9
甲　　　　　　　　　乙　　　　　　　　丙
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在0～2 s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时，猴子的速度大小为8 m/s
9
【答案】B
10．某飞行器在飞行时，它的航线方向要严格地从东到西，如果飞行器的速度是160 km/h，风从南面吹来，风的速度为80 km/h，那么：
(1)飞行器应朝哪个方向飞行？
10
【答案】(1)根据平行四边形定则可确定飞行器的航向，如图所示：
10
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第五章
第2节　运动的合成与分解
课题2　小船过河与关联速度模型
抛体运动
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．会求解小船过河模型问题．
2．知道常见的绳关联模型和杆关联模型的解法，会求解关联速度模型问题．
活 动 方 案
活动一：分析小船过河模型
如图所示，一小船要渡过宽为d的河，已知水流速度(与河岸平行)为v水，船在静水中的航速(沿船头的方向)为v船，思考：
1．若仅有水流速度，小船不开动，小船能过河吗？
【答案】不能．
2．渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？
【答案】船相对水的运动v船，它的方向与船头的指向相同；船随水漂流的运动v水，它的方向与河岸平行．
3．小船如何渡河时间最短？最短时间tmin为多少？此时渡河位移为多大？
4．小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移xmin为多大？
情况二：v水＞v船
总结：小船渡河时间的长短与水流速度无关，小船实际运动的方向由合速度方向决定．
活动二：分析关联速度模型
关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题．高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变．绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但由于绳、杆不可伸长，两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度．
1．如图所示，岸上的小车以速度v匀速向左运动，轻绳跨过光滑轻质定滑轮和小船相连，某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α．通过观察可以发现，小船与滑轮间的轻绳参与了两种运动：一是绳发生摆动，摆动的速度垂直于绳方向；二是绳发生抽动，抽动的速度方向沿绳的抽动方向．
(1)在图上画出小船的速度方向，将小船的速度分解为垂直于绳方向的分速度和沿绳方向的分速度，写出图示位置小船速度与小车速度的关系式．
(2)小船是否做匀速运动？为什么？
(2)小船不做匀速运动．因为当船向前运动时，α角逐渐增大，所以船速v船逐渐增大．
拓展2：如图所示，光滑水平面上固定两个光滑立柱A和B，两根柔软轻绳对称地跨过两立柱，每根绳的一端系在物体上的O点，另一端施加沿绳方向的等大外力，使物体能沿两绳夹角的角平分线运动．当绳子之间夹角为2α瞬间，绳端速度大
小为v，此时物体的速度v物＝________．
注意：(1)力有力的作用效果，运动有运动的效果，二者不要混淆．(2)合成或分解运动时要分清合运动和分运动，物体实际发生的运动是合运动．
2．如图所示，当放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面，当滑到图示位置时(α已知)，B点速度为v，则A点速度是多大？
总结：(1)分析关联速度模型问题的基本思路．
第一步：先确定合运动，即物体的实际运动；
第二步：将实际速度正交分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图；
第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解．
(2) 常见的速度分解模型．
情境图示 定量结论
v＝v物cos θ
情境图示 定量结论
v′物＝v∥＝v物cos θ
情境图示 定量结论
v∥＝v′∥
即v物cos θ＝v′物cos α
v∥＝v′∥
即v物cos α＝v′物cos β
3．一个半圆形柱体以速度v0水平向右做匀速运动．在半圆形柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示．当杆与半圆形柱体接触点和柱心的连线OP与竖直方向的夹角为θ时，求竖直杆运动的速度大小v．
【答案】由于半圆形柱体对杆的弹力沿OP方向，所以将竖直杆向上的速度沿OP方向和沿半圆面的切线方向进行分解，如图甲所示．
将半圆形柱体水平向右的速度v0也沿OP方向和沿半圆面的切线方向分解，如图乙所示．二者在OP方向上的分速度相等，有v2＝v3，
即v cos θ＝v0sin θ，
解得v＝v0tan θ．
甲
乙
总结：分析面接触模型的基本思路：首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向分解，令两物体沿________方向的速度相等即可求解．
弹力
检 测 反 馈
1．已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2＞v1，图中用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图依次是 (　　)
1
①　　　　　　②　　　　　　③
④　　　　　　　⑤
A．①②
B．①⑤
C．④⑤
D．②③
【解析】小船渡河类问题，若要小船在最短时间内渡河，则船头垂直河岸，且位移偏向下游，④对；已知v2＞v1，小船速度与水流速度的合速度垂直河岸时，小船以最短位移渡河，此时船头指向上游，⑤对，故C正确．
【答案】C
1
2．小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是 (　　)
A．增大α角，增大船速v　　
B．减小α角，增大船速v
C．减小α角，保持船速v不变　
D．增大α角，保持船速v不变
2
【解析】由题意可知，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．因为合速度方向指向河岸且大小不变，如图所示，可得当水流速度增大时，可增大船速v，同时增大α角，故A正确，B、C、D错误．
【答案】A
2
3．某小船渡河时做匀速直线运动，小船相对于河岸的速度大小为v，方向与河岸的夹角为θ，河宽为d，河水速度恒定，则下列判断正确的是 (　　)
A．河水速度大小为v cos θ B．河水速度大小为v sin θ
3
【答案】D
3
4．一小船船头垂直河岸渡河，从出发到河中间划行速度逐渐增大，然后划行速度逐渐减小到达对岸．假设河水流速保持不变，则小船运动的全过程中轨迹可能是下列图中的 (　　)
4
【解析】水流速保持不变，船的速度先增大，当过河中间后开始减速运动，根据曲线运动的条件，运动轨迹偏向加速度方向，故C正确，A、B、D错误．
【答案】C
4
5．船在静水中的速度是1 m/s，河岸笔直，河宽d＝100 m，河水靠近岸边的流速为4 m/s，河中间的流速为5 m/s，则下列说法正确的是 (　　)
A．船过河的时间不可能等于100 s
B．船过河的航线不可能是直线
C．船不能到达对岸
D．因船速小于水速，船不能到达正对岸
5
【答案】D
5
6．如图所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车的速度大小分别为vB、vA，则 (　　)
A．vA＝vB
B．vA＜vB
C．绳子对B的拉力大于B的重力
D．绳子对B的拉力等于B的重力
6
【解析】根据运动的分解原理，沿绳方向的速度分量相等，设A端绳与水平方向夹角为θ，则vAcos θ＝vB，vA＞vB，故A、B错误；A向左运动，θ减小，vB增加，加速度方向向上，绳子对B的拉力大于B的重力，故C正确，D错误．
【答案】C
6
7．如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时 (　　)
A．人拉绳行走的速度为v cos θ
7
【答案】A
7
8．如图所示，人用轻绳通过光滑轻质定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A，人以速度v0向左匀速拉绳，某一时刻，定滑轮右侧绳与竖直杆的夹角为θ，左侧绳与水平面的夹角为α，此时物块A的速度v1为 　 (　　)
8
【答案】D
8
9．如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的小球A和B(A、B均可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平面成θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则 　 　 (　　)
9
【答案】C
9
10
10
【答案】A
11．如图所示，有一小船正在渡河，当离对岸距离d＝50 m时，发现在下游l＝120 m处有一危险区，假设水流速度为v水＝5 m/s，为了使小船不通过危险区到达对岸，小船相对静水的最小速度应为多大？
11
12．如图所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上．现将一个球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，则在此后运动中当B
【答案】由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以vAcos 30°＝vBsin 30°，
12
的速度大小为vB时，A的速度大小为多少？
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1 (2023徐州期中)如图所示，炮弹以速度v射出炮筒，方向与水平方向的夹角为θ，炮弹水平分速度vx为(　　)
A. v cos θ B. v sin θ
C. v tan θ D. v
2 (2025教材演示改编)如图所示，将一蜡块置于注满清水的长玻璃管中，封闭管口后将玻璃管竖直倒置，在蜡块以速度v0匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速移动，蜡块由管口上升到顶端．如果玻璃管以2v的水平速度移动，当蜡块由管口上升到顶端时，下列说法正确的是(　　)
A. 蜡块速度增大 B. 蜡块速度不变
C. 蜡块位移减小 D. 蜡块位移不变
3 (2025连云港合格考模拟)如图所示，一汽艇渡河过程中船头指向始终与河岸垂直．已知河宽为120 m，汽艇在静水中的速度大小为4 m/s，水流速度大小恒为3 m/s，则汽艇渡河的时间为(　　)
A. 24 s B. 30 s
C. 40 s D. 50 s
4 (2025南通海门抽测)跳伞运动以自身的惊险和挑战性，被世人誉为“勇敢者的运动”．运动员打开降落伞后，在匀速下落过程中遇到水平恒向风力，下列说法中正确的是(　　)
A. 水平风力越大，运动员下落时间越长
B. 水平风力越小，运动员下落时间越长
C. 运动员下落时间与水平风力大小无关
D. 运动员着地速度与水平风力大小无关
5 (2025南通如皋阶段测试)如图所示，在某次演习中一轰炸机沿着与水平方向成30°角向下进行俯冲轰炸，其俯冲的加速度大小为g，同时每隔1 s向下释放一枚炮弹，若不计空气阻力，重力加速度为g，则炮弹在空中排列的图形可能是(　　)
A B C D
6 (2025盐城期中)小船从M出发横渡一条河，船头始终垂直于河岸方向，船速大小不变．已知小船的运动轨迹如图中虚线所示，则能表示河水的流速(图中箭头的长短表示流速的大小)的是(　　)
A B C D
7 （2025南通启东阶段测试）如图所示，不可伸长的轻绳绕过光滑的钉子，一端固定在地面上，另一端吊着一个小球．在钉子沿水平方向向左匀速运动的过程中，小球始终在钉子正下方．下列说法正确的是(　　)
A. 小球在竖直方向上做减速运动
B. 绳子对小球的拉力等于重力
C. 小球在水平方向上做匀速运动
D. 小球的运动轨迹是一条倾斜直线
8 （2025南通海门期中）如图所示，半径均为r的两光滑圆柱体A、B叠放在墙角，若用力推动水平地面上的圆柱体A向右运动，圆柱体B会沿竖直墙面向上运动．当圆柱体A的中心轴与竖直墙面的距离为2r时．圆柱体A的速度大小为v，此时圆柱体B的速度大小为(　　)
A. v B. v
C. v D. v
9 （2024南京校联考）在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人．如图所示，假设江岸是平直的，洪水沿江自上游而下，水流速度v水＝3 m/s，冲锋舟在静水中的航速v船＝5 m/s，战士救人的地点A离岸边最近点O的距离为100 m．
(1) 若战士想通过最短的时间将人送上岸，求最短时间和上岸点与O点距离；
(2) 若战士想通过最短的航程将人送上岸，求冲锋舟的船头朝向与上游河岸夹角和上岸时间．
10 正在公路上行驶的汽车，只需按下一个键，就能轻松切换到飞行模式，变身飞机跃入天空，这就是飞行汽车！如图甲所示，一辆飞行汽车在平直的公路上以108 km/h的速度行驶，某时刻司机启动飞行模式，汽车保持水平速度不变，沿竖直方向开始匀加速爬升，经过一段时间爬升到200 m高处．用x表示水平位移，y表示竖直位移，这一过程的y-x图像如图乙所示．取g＝10 m/s2，求汽车飞行时：
(1) 到达200 m高处时速度的大小；
(2) 所受升力与其重力大小的比值
甲 乙
第2节　运动的合成与分解
1. A　
2. A　蜡块在竖直方向做速度为v0的匀速运动，水平方向做速度为v的匀速运动，则合速度为v合＝，当水平速度变为2v时，竖直速度不变，则合速度变为v′合＝，即蜡块的速度增大，A正确，B错误；因竖直速度不变，则蜡块运动的时间不变，水平速度增加时，水平位移变大，根据s＝可知，蜡块的位移变大，C、D错误．
3. B　由于船头指向始终与河岸垂直，所以渡河时间为t＝＝ s＝30 s．B正确．
4. C　由题意可知运动员参加了两个分运动，根据分运动的独立性和等时性可知，水平分力不会影响竖直方向的运动，所以运动员下落时间与水平风力大小无关，A、B错误，C正确；根据运动的独立性可知，运动员落地时竖直方向速度是确定的，水平分力越大，落地时的水平分速度越大，落地时的合速度就越大，D错误．
5. B　轰炸机在空中与地面成30°角向下做加速度大小为g的匀加速运动，以轰炸机为参考系，则炮弹相对于轰炸机在Δt时间内在与地面成30°角方向上向上做加速度大小为g的匀加速直线运动，而炮弹在竖直方向上做自由落体运动，则炮弹的合运动轨迹是在2个加速度的矢量和上，与地面成30°角．B正确．
6. C　小船做曲线运动，小船的合速度沿切线，船头始终垂直于河岸方向，设小船合速度与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝，小船运动过程中，小船合速度与水平方向的夹角先减小后增大，由于船速v船大小不变，可知v水先增后减小．C正确．
7. C　在钉子沿水平方向向左匀速运动的过程中，设钉子的速度为v，倾斜绳子与水平方向的夹角为θ，将钉子速度分解为沿倾斜绳子方向分速度v1和垂直倾斜绳子方向分速度v2，则有v1＝v cos θ，小球由于受到绳子拉力与重力均处于竖直方向，所以小球水平方向做匀速直线运动，水平速度等于钉子速度，竖直方向小球的速度为vy＝v1＝v cos θ，由于θ逐渐减小，cos θ逐渐增大，则小球在竖直方向上做加速运动，绳子对小球的拉力大于小球重力；小球的合运动为曲线运动，所以小球的运动轨迹是一条曲线．C正确．
8. D　接触面两侧物体的速度在垂直于接触面的速度投影量相等，如图所示，根据几何关系有v cos 60°＝vBcos 30°，解得vB＝v.D正确．
9. (1) 若战士想通过最短的时间将人送上岸，则船头应该指向正对岸，则最短时间为
tmin＝＝ s＝20 s，
上岸点与O点距离为
x＝v水tmin＝3×20 m＝60 m.
(2) 若战士想通过最短的航程将人送上岸，则合速度方向指向正对岸，设船头与上游河岸夹角为θ，则v船cos θ＝v水，
解得cos θ＝0.6，
θ＝53°，即船头与上游河岸夹角为53°.
战士由A点至岸上的时间
t＝＝ s＝25 s.
10. (1) 飞行汽车水平速度大小v0＝30 m/s，
设飞行汽车在空中运动时间为t，到达y＝200 m高处时速度的大小为v，沿竖直方向分速度的大小为vy，
x＝v0t，y＝t，v＝，
联立解得v＝10 m/s.
(2) 设飞行汽车在竖直方向加速度的大小为a，所受升力的大小为F，得y＝at2，F－mg＝ma，
联立解得 ＝1.1.第2节　运动的合成与分解
课题1　运动的合成与分解
1. 在具体问题中知道什么是合运动，什么是分运动．
2. 知道运动的合成与分解的方法遵循平行四边形定则．
3. 会应用运动的合成与分解思想判断合运动的性质．
1. 阅读教材“演示：观察蜡块的运动”并观察教师的演示实验．红蜡块同时参与了两个运动：①水平方向：蜡块随着管向右做匀速运动；②竖直方向：蜡块相对管向上做匀速运动．
(1)在这个实验中，蜡块向右上方的这个运动是什么运动？
(2)要想定量地研究蜡块的运动，需要建立怎样的坐标系？
(3)怎样确定蜡块的位置和位移？
x＝________，y＝________；
s＝________；
tan θ＝________＝________．
(4)怎样确定蜡块的运动速度？
v＝________，tan θ＝________．
(5)怎样确定蜡块的运动轨迹？
x＝________，y＝________；y＝________x，蜡块运动的轨迹是________线．
蜡块的实际运动速度________(选填“变化”或“不变”)，蜡块做________运动．
2. 若在红蜡块沿玻璃管匀速上升的同时让玻璃管沿x方向做匀加速直线运动，则蜡块的运动轨迹如何？请在下面的坐标中定性画出来，并将所画的图像和演示实验(描下蜡块的轨迹)进行对比，再利用物体做曲线运动的条件进行解释．
1. 刚才的实验中，蜡块参与了竖直向上的运动和水平向右的运动，这两个运动都叫作分运动，蜡块实际的运动叫作合运动．即物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度．
(1)总结合运动与分运动的四个特性：
等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间________
等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果________
同体性 各分运动与合运动是________物体的运动
独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
(2)已知________求________，叫作运动的合成；已知________求________，叫作运动的分解．运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循平行四边形定则．
2. 某商场设有自动扶梯和步行楼梯，自动扶梯与水平面的夹角为30°，自动扶梯前进的速度是0.76 m/s，步行楼梯每级的高度是0.15 m．有甲、乙两位顾客，分别从自动扶梯和步行楼梯的起点同时上楼，甲在自动扶梯上站立不动，乙在步行楼梯上以每秒上两个台阶的速度匀速上楼(如图所示).哪位顾客先到达楼上？如果该楼层高4.56 m，甲上楼用了多少时间？
分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时，应先求出合运动的合初速度v和合力F(或合加速度)，然后进行判断．
1. 关于两个互成角度的分运动的合成，下列说法中正确的是(　　)
A. 两个直线运动的合运动一定是直线运动
B. 两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C. 两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
D. 两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动可能是曲线运动
总结：不在一条直线上的两个直线运动的合运动的几种可能情况．
两个互成角度的分运动 合力与合初速度方向关系的示意图 合运动的性质
两个匀速直线运动 / ________运动
一个匀速直线运动，一个匀变速直线运动 ________运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 / ________运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为________运动
如果v合与a合不共线，为________运动
2. 如图所示，图甲表示某物体在x轴方向上的分速度的vx-t的图像，图乙表示该物体在y轴方向上的分速度的vy-t图像．求：
(1)物体在t＝0时的速度大小；
(2)t＝8 s时物体的速度大小；
(3)t＝4 s时物体的位移大小．
甲 乙
1. 对于两个分运动及其合运动，下列说法正确的是(　　)
A. 合运动的速度一定比两个分运动的速度都大
B. 合运动的速度至少比其中一个分运动的速度大
C. 合运动的速度方向就是物体实际运动的方向
D. 合运动的时间一定比分运动的时间长
2. 若雨滴下落一段时间后以8 m/s的速度竖直向下匀速运动，某时刻起，受到水平风力作用，落地时水平分速度的大小为6 m/s，则雨滴落地时合速度的大小为(　　)
A. 6 m/s B. 8 m/s
C. 10 m/s D. 12 m/s
3. 关于相互垂直的一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动，下列说法正确的是(　　)
A. 一定是曲线运动
B. 可能是直线运动
C. 运动的方向不变
D. 速度一直在变，是变加速运动
4. 某电视台举办了一期群众娱乐节目，其中有一个环节是让群众演员站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球．如果群众演员相对平台静止，则下面各俯视图中的篮球可能被投入球筐的是(图中箭头指向表示投篮方向)(　　)
A B C D
5. 如图所示，在一次救灾工作中，一架离水面高为H，沿水平直线飞行的直升机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B，在直升机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起．设经t时间后，A、B之间的距离为l，且l＝H－t2，则在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是(　　)
　　　　
A B C D
6. 国产大飞机C919是我国自行研制、具有自主知识产权的喷气式民用飞机，如图甲所示．在某次起飞过程中飞机沿着如图乙所示的方向斜向上加速飞行，已知该方向与水平方向的夹角为θ，初速度为v，加速度为a，维持这一状态飞行的时间为t，飞机质量为m，则关于t时间内飞机的运动与受力情况，下列判断正确的是(　　)
甲 乙
A. 上升的高度为sin θ
B. 前进的水平距离为vt＋at2
C. 飞机在竖直方向上所受合力为ma
D. 飞机在水平方向上所受合力为ma sin θ
7. 在水平桌面上放置一张纸，画有如图所示的平面直角坐标系，一个涂有颜料的小球沿y轴正方向匀速运动(不计球与纸间的摩擦)，经过原点O时，白纸从静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，经过一段时间，纸面上留下的痕迹可能为(　　)
A B C D
8. 某一物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v-t图像分别如图甲、乙所示，则物体在0～2 s 的运动情况，下列判断正确的是(　　)
甲 乙
A. 0～1 s内一定做匀变速直线运动，1～2 s内一定做匀变速直线运动
B. 0～1 s内一定做匀变速直线运动，1～2 s内可能做匀变速曲线运动
C. 0～1 s内一定做匀变速曲线运动，1～2 s内可能做匀变速直线运动
D. 0～1 s内一定做匀变速曲线运动，1～2 s内一定做匀变速曲线运动
9. 如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v-t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x-t图像如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法正确的是(　　)
甲 乙 丙
A. 猴子的运动轨迹为直线
B. 猴子在0～2 s内做匀变速曲线运动
C. t＝0时，猴子的速度大小为8 m/s
D. 猴子在0～2 s内的加速度大小为4 m/s2
10. 某飞行器在飞行时，它的航线方向要严格地从东到西，如果飞行器的速度是160 km/h，风从南面吹来，风的速度为80 km/h，那么：
(1)飞行器应朝哪个方向飞行？
(2)如果所测地区长达80 km，飞行器飞过所测地区所需时间是多少？
课题2　小船过河与关联速度模型
1. 会求解小船过河模型问题．
2. 知道常见的绳关联模型和杆关联模型的解法，会求解关联速度模型问题．
如图所示，一小船要渡过宽为d的河，已知水流速度(与河岸平行)为v水，船在静水中的航速(沿船头的方向)为v船，思考：
1. 若仅有水流速度，小船不开动，小船能过河吗？
2. 渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？
3. 小船如何渡河时间最短？最短时间tmin为多少？此时渡河位移为多大？
4. 小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移xmin为多大？
总结：小船渡河时间的长短与水流速度无关，小船实际运动的方向由合速度方向决定．
关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题．高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变．绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但由于绳、杆不可伸长，两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度．
1. 如图所示，岸上的小车以速度v匀速向左运动，轻绳跨过光滑轻质定滑轮和小船相连，某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α.通过观察可以发现，小船与滑轮间的轻绳参与了两种运动：一是绳发生摆动，摆动的速度垂直于绳方向；二是绳发生抽动，抽动的速度方向沿绳的抽动方向．
(1)在图上画出小船的速度方向，将小船的速度分解为垂直于绳方向的分速度和沿绳方向的分速度，写出图示位置小船速度与小车速度的关系式．
(2)小船是否做匀速运动？为什么？
拓展1：在图中分别画出极短时间(Δt≈0)内小车和小船的位移x车和x船，写出x车和x船的关系，并根据速度的定义式写出图示位置小船速度与小车速度的关系式．
拓展2：如图所示，光滑水平面上固定两个光滑立柱A和B，两根柔软轻绳对称地跨过两立柱，每根绳的一端系在物体上的O点，另一端施加沿绳方向的等大外力，使物体能沿两绳夹角的角平分线运动．当绳子之间夹角为2α瞬间，绳端速度大小为v，此时物体的速度v物＝________．
注意：(1)力有力的作用效果，运动有运动的效果，二者不要混淆．(2)合成或分解运动时要分清合运动和分运动，物体实际发生的运动是合运动．
2. 如图所示，当放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面，当滑到图示位置时(α已知)，B点速度为v，则A点速度是多大？
总结：(1)分析关联速度模型问题的基本思路．
第一步：先确定合运动，即物体的实际运动；
第二步：将实际速度正交分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图；
第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解．
(2) 常见的速度分解模型．
情境图示 定量结论
v＝v物cos θ
v′物＝v∥＝v物cos θ
v∥＝v′∥ 即v物cos θ＝v′物cos α
v∥＝v′∥ 即v物cos α＝v′物cos β
3. 一个半圆形柱体以速度v0水平向右做匀速运动．在半圆形柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示．当杆与半圆形柱体接触点和柱心的连线OP与竖直方向的夹角为θ时，求竖直杆运动的速度大小v.
总结：分析面接触模型的基本思路：首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向分解，令两物体沿________方向的速度相等即可求解．
1. 已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2＞v1，图中用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图依次是(　　)
① ② ③ ④ ⑤
A. ①② B. ①⑤　　 C. ④⑤ D. ②③
2. 小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是(　　)
A. 增大α角，增大船速v　　 B. 减小α角，增大船速v
C. 减小α角，保持船速v不变　　D. 增大α角，保持船速v不变
3. 某小船渡河时做匀速直线运动，小船相对于河岸的速度大小为v，方向与河岸的夹角为θ，河宽为d，河水速度恒定，则下列判断正确的是(　　)
A. 河水速度大小为v cos θ B. 河水速度大小为v sin θ
C. 渡河时间为 D. 渡河时间为
4. 一小船船头垂直河岸渡河，从出发到河中间划行速度逐渐增大，然后划行速度逐渐减小到达对岸．假设河水流速保持不变，则小船运动的全过程中轨迹可能是下列图中的(　　)
A B C D
5. 船在静水中的速度是1 m/s，河岸笔直，河宽d＝100 m，河水靠近岸边的流速为4 m/s，河中间的流速为5 m/s，则下列说法正确的是(　　)
A. 船过河的时间不可能等于100 s
B. 船过河的航线不可能是直线
C. 船不能到达对岸
D. 因船速小于水速，船不能到达正对岸
6. 如图所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车的速度大小分别为vB、vA，则(　　)
A. vA＝vB
B. vAC. 绳子对B的拉力大于B的重力
D. 绳子对B的拉力等于B的重力
7. 如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时(　　)
A. 人拉绳行走的速度为v cos θ
B. 人拉绳行走的速度为
C. 船的加速度为
D. 船的加速度为
8. 如图所示，人用轻绳通过光滑轻质定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A，人以速度v0向左匀速拉绳，某一时刻，定滑轮右侧绳与竖直杆的夹角为θ，左侧绳与水平面的夹角为α，此时物块A的速度v1为(　　)
A. v0sin αcos θ B.
C. v0cos αcos θ D.
9. 如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的小球A和B(A、B均可视为质点).将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平面成θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则(　　)
A. v2＝v1 B. v2＝2v1
C. v2＝v1 D. v2＝v1
10. 如图所示，相同的小球A、B静止在水平面上，用长为L的细线连接，细线刚好伸直，O为细线的中点，用竖直向上的力作用在O点，使O点竖直向上运动，当A、B间的距离变为 L时，O点的速度大小为v，则此时A球的速度大小为(　　)
A. v　 B. v
C. v　 D. v
11. 如图所示，有一小船正在渡河，当离对岸距离d＝50 m时，发现在下游l＝120 m处有一危险区，假设水流速度为v水＝5 m/s，为了使小船不通过危险区到达对岸，小船相对静水的最小速度应为多大？
如图所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上．现将一个球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，则在此后运动中当B的速度大小为vB时，A的速度大小为多少？
第2节　运动的合成与分解
课题1　运动的合成与分解
【活动方案】
活动一：
1. (1)匀速直线运动．
(2)平面直角坐标系．
(3)vxt　vyt　　　
(4)　
(5)vxt　vyt　　直　不变　匀速直线
2.
解释略
解析：方法一：根据轨迹的特征画图．
方法二：根据x＝at2，y＝vyt可得x＝y2，轨迹为抛物线．
活动二：
1. (1)相同　相同　同一
(2)分运动　合运动　合运动　分运动
2. 如图所示，甲在竖直方向的速度
v甲y＝v甲sin 30°＝0.76×sin 30° m/s＝0.38 m/s，
乙在竖直方向的速度
v乙y＝ m/s＝0.3 m/s，
因此v甲y>v乙y，甲先到楼上．
t甲＝＝ s＝12 s，
甲上楼用了12 s.
活动三：
1. B　两个直线运动的合运动不一定是直线运动，故A错误；两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运动，因为合加速度为零，具有合速度，做匀速直线运动，故B正确；两个匀加速直线运动的合初速度方向与合加速度方向如果不在同一条直线上，合运动为曲线运动，故C错误；两个初速度为零的匀加速直线运动，因为合初速度为零，合加速度不为零，则合运动是初速度为零的匀加速直线运动，故D错误．
总结：
匀速直线　匀变速曲线　匀加速直线　匀变速直线　匀变速曲线
2. 根据图像可知，物体在x轴方向上以3 m/s的速度做匀速直线运动，在y轴方向上做初速度为0、加速度为0.5 m/s2的匀加速直线运动，合运动是曲线运动．
(1)在t＝0时，物体的速度v0＝＝3 m/s.
(2)在t＝8 s时，物体沿x轴方向的速度为 3 m/s，物体沿y轴方向的速度为4 m/s，所以物体的速度为v1＝＝5 m/s.
(3)在t＝4 s的时间内物体在x轴方向发生的位移为x＝vxt＝12 m，物体在y轴方向发生的位移为y＝at2＝4 m，所以4 s内物体发生的位移为s＝＝4 m.
【检测反馈】
1. C　合运动的速度(合速度)与分运动的速度(分速度)之间的关系遵循平行四边形定则，其中合速度为平行四边形的对角线，而两个分速度为平行四边形的两个邻边，由几何知识可知，A、B错误；合运动指的就是物体的实际运动，C正确；合运动和分运动具有等时性，D错误．
2. C　落地时合速度的大小为v＝＝ m/s＝10 m/s，故C正确，A、B、D错误．
3. A　决定物体运动性质的是速度方向和加速度方向，当加速度方向与速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动；当加速度方向与速度方向在一条直线上时，物体做直线运动．若加速度恒定，则物体做匀变速运动．相互垂直的一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动，两个运动不在一条直线上，且加速度是不变的，故一定是匀变速曲线运动，所以A正确．
4. B　如图所示，由于篮球和群众演员随大平台一起旋转，所以篮球抛出前有沿v0方向的初速度，则沿vB方向投出，篮球可能被投入球筐，故B正确．
5. A　根据l＝H－t2，可知B在竖直方向上是匀加速上升的，悬索中拉力大于重力，即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长，伤员在水平方向匀速率运动，所以F、G都在竖直方向上；向上加速，运动轨迹向上偏转．只有A正确．
6. A　飞机沿斜向上的位移为s＝vt＋at2，由几何关系知飞机上升的高度为h＝s sin θ＝sin θ，前进的水平距离为x＝s cos θ＝cos θ，故A正确，B错误；飞机在竖直方向的分加速度为ay＝a sin θ，由牛顿第二定律得竖直方向的合力为Fy＝may＝ma sin θ，飞机在水平方向的分加速度为ax＝a cos θ，由牛顿第二定律得水平方向的合力为Fx＝max＝ma cos θ，故C、D错误．
7. A　白纸从静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，等效为小球相对于白纸在x方向上沿x轴负方向做匀加速直线运动，即水平方向上小球的加速度指向x轴负方向；小球在y方向上沿y轴正方向做匀速直线运动，即竖直方向上小球的加速度为零，故合加速度指向x轴负方向，指向轨迹凹侧，小球的合运动为匀变速曲线运动，故A正确．
8. C　在0～1 s内，沿x轴方向为匀速运动，沿y轴方向为匀加速运动，则合运动为匀变速曲线运动，故A、B错误；由于1～2 s内沿两方向的初、末速度的大小未知，无法判断速度方向与加速度方向是否在一条直线上，故可能做匀变速直线运动，也可能做匀变速曲线运动，故C正确，D错误．
9. B　猴子在竖直方向做初速度大小为8 m/s、加速度大小为4 m/s2的匀减速直线运动，水平方向做速度大小为4 m/s的匀速直线运动，其合运动为曲线运动，故猴子在0～2 s内做匀变速曲线运动，加速度大小为4 m/s2，A、D错误，B正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝＝ m/s＝4 m/s，C错误．
10. (1)根据平行四边形定则可确定飞行器的航向，如图所示：
有sin θ＝＝＝，θ＝30°，即西偏南30°.
(2)飞行器的合速度v＝v2cos 30°＝80 km/h，
飞行器飞过所测区域所需时间
t＝＝ h＝1 h.
课题2　小船过河与关联速度模型
【活动方案】
活动一：
1. 不能．
2. 船相对水的运动v船，它的方向与船头的指向相同；船随水漂流的运动v水，它的方向与河岸平行．
3. 由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，tmin＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝.
4. 情况一：v水最小位移xmin＝d，此时合速度垂直河岸．船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水，如图所示．渡河所用时间t＝.
情况二：v水>v船
如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝，最小位移xmin＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.
活动二：
1. (1)小船速度方向如图所示，由v＝v船cos α，得v船＝.
(2)小船不做匀速运动．因为当船向前运动时，α角逐渐增大，所以船速v船逐渐增大．
拓展1：位移如图所示，过船左端点作原轻绳的垂线，由于时间极短，顶角β≈0，三角形的两底角相等约等于90°，得x车＝x船cos α，得v船＝.
拓展2：　解析：把物体的速度分解为沿绳方向和垂直于绳的方向，对左边的绳子来说，画出物体的速度分解图像，如图所示，则v物＝.
2. 由于杆不可伸长，因而杆的两个端点在沿杆方向的速度分量一定相同，即vA sin α＝v cos α，所以vA＝.
3. 由于半圆形柱体对杆的弹力沿OP方向，所以将竖直杆向上的速度沿OP方向和沿半圆面的切线方向进行分解，如图甲所示．
将半圆形柱体水平向右的速度v0也沿OP方向和沿半圆面的切线方向分解，如图乙所示．二者在OP方向上的分速度相等，有v2＝v3，
即v cos θ＝v0sin θ，
解得v＝v0tan θ.
甲 乙
总结：弹力
【检测反馈】
1. C　小船渡河类问题，若要小船在最短时间内渡河，则船头垂直河岸，且位移偏向下游，④对；已知v2＞v1，小船速度与水流速度的合速度垂直河岸时，小船以最短位移渡河，此时船头指向上游，⑤对，故C正确．
2. A　由题意可知，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．因为合速度方向指向河岸且大小不变，如图所示，可得当水流速度增大时，可增大船速v，同时增大α角，故A正确，B、C、D错误．
3. D　小船相对于河岸的速度方向与河岸的夹角为θ，没有说明是与河岸的上游还是下游的夹角，则无法求得河水的速度，A、B错误；把小船相对于河岸的速度分解为垂直于河岸方向和沿河岸方向，则垂直于河岸方向为v垂＝v sin θ，则渡河时间为t＝，C错误，D正确．
4. C　水流速保持不变，船的速度先增大，当过河中间后开始减速运动，根据曲线运动的条件，运动轨迹偏向加速度方向，故C正确，A、B、D错误．
5. D　当船头始终垂直于河岸时，渡河时间t＝＝ s，故A、C错误；船过河时，河水流速的大小在变，只要不断调整船头的方向，就可使船的合速度(即航速)方向保持不变，船过河的航线可能是直线，故B错误；因船速始终小于水速，根据运动的合成与分解可知，船的合速度方向不可能垂直于河岸或偏向上游，故船不能到达正对岸，故D正确．
6. C　根据运动的分解原理，沿绳方向的速度分量相等，设A端绳与水平方向夹角为θ，则vAcos θ＝vB，vA>vB，故A、B错误；A向左运动，θ减小，vB增加，加速度方向向上，绳子对B的拉力大于B的重力，故C正确，D错误．
7. A　船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v人＝v∥＝v cos θ，A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此F cos θ－f＝ma，解得a＝，C、D错误．
8. D　将人、物块的速度分别分解，如图所示，人和A沿绳方向的分速度大小相等，可得v0cos α＝v1cos θ，所以v1＝，D正确．
9. C　小球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，由几何关系可知小球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos 60°＝v2，两球沿杆方向的速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C正确．
10. A　将O点与小球A的速度分别沿细线与垂直于细线进行分解如图所示，则有v cos 30°＝vAcos 60°，解得vA＝v.故A正确．
11. 当v船与v合方向垂直时所需的船速最小，因而有 ＝，
解得v船＝ m/s＝1.92 m/s.
12. 由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以vAcos 30°＝vBsin 30°，
解得vA＝vB.

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