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1.2.1　直线的点斜式方程
一、 单项选择题
1 (2025淮南月考)直线y＝x－3的倾斜角是(　　)
A. B. C. D.
2 (2025北京坨里中学月考)过点(－1，2)且斜率为－1的直线，其点斜式方程为(　　)
A. y－2＝－(x＋1) B. y＋2＝－(x－1)
C. y－2＝(x＋1) D. y＋2＝(x－1)
3 与直线y＝－x的斜率相等，且过点(4，－3)的直线方程为(　　)
A. y－3＝－(x＋4) B. y＋3＝(x－4)
C. y－3＝(x＋4) D. y＋3＝－(x－4)
4 已知直线l的斜率是直线y＝x＋1的斜率的相反数，在y轴上的截距为2，则直线l的方程为(　　)
A. y＝2x－ B. y＝－(x－2) C. y＝－x＋2 D. y＝x－2
5 (2025淮安涟水一中月考)下列图象中，能作为直线y＝k(x＋1)(k>0)的图象的是(　　)
A B C D
6 (2025重庆朝阳中学月考)已知直线l1：y＝x－3绕点(，－)逆时针旋转，得到直线l2，则直线l2不过(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
二、 多项选择题
7 (2026牡丹江第三高级中学月考)下列说法中，错误的是(　　)
A. 任何直线的方程都能用点斜式表示
B. 直线在坐标轴上的截距是距离
C. 两直线平行，斜率相等
D. 直线斜率的取值范围是R
8 设直线l过两点(3，)和(9，－)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l的斜率为－
B. 直线l的倾斜角为150°
C. 直线l与x轴交点的横坐标为6
D. 直线l在y轴上的截距为3
三、 填空题
9 (2025连云港高级中学月考)已知直线l经过点A(0，1)，且倾斜角为直线y＝x－1的倾斜角的一半，则直线l的方程为________．
10 已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若直线l在y轴上的截距为7，则m＝________．
11 (2025莆田一中开学考试)已知直线l过原点，倾斜角为135°，且过点P(，a)，则a＝________．
四、 解答题
12 (2025衡水月考)求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式．
(1) 斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2) 过点P(－4，3)，斜率k＝－3.
13 已知直线y＝kx＋3k＋1.
(1) 求证：直线恒过一定点；
(2) 当－3≤x≤3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．
1.2.1　直线的点斜式方程
1. C　设直线y＝x－3的倾斜角为α，0≤α<π.因为直线y＝x－3的斜率为1，所以tan α＝1.又α∈[0，π)，所以倾斜角α＝.
2. A　过点(－1，2)且斜率为－1的直线，其点斜式方程为y－2＝－(x＋1).
3. D　由题意，得所求直线的斜率为－，所以直线方程为y＋3＝－(x－4).
4. C　因为直线l的斜率是直线y＝x＋1的斜率的相反数，所以kl＝－.因为在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝－x＋2.
5. B　因为直线y＝k(x＋1)(k>0)，所以直线是上升的，且过定点(－1，0).结合选项可知A，C，D错误；B正确．
6. A　设点A，则kAO＝＝－，所以直线lOA的倾斜角为.易知直线l1的倾斜角为，则直线l2的倾斜角为＋＝>，故直线l2 过第二、三、四象限．
7. ABC　对于A，斜率不存在的直线无法用点斜式表示，故A错误；对于B，直线在x轴上的截距为直线与x轴交点的横坐标；直线在y轴上的截距为直线与y轴交点的纵坐标．截距不是距离，故B错误；对于C，两直线若斜率均不存在，也是平行关系，故C错误；对于D，由直线斜率定义知直线斜率的取值范围为R，故D正确．故选ABC.
8. BC　由题意，得直线l的斜率k＝＝－，故A错误；设直线l的倾斜角为α，则0°≤α<180°，且tan α＝－，解得α＝150°，故B正确；由点斜式方程，得直线l的方程为y－＝－(x－3)，即y＝－x＋2，令y＝0，得x＝6，令x＝0，得y＝2，故C正确，D错误．故选BC.
9. y＝x＋1　由题意，得直线y＝x－1的斜率为，所以其倾斜角为，所以直线l的倾斜角为，其斜率为k＝tan ＝.又直线l过点A(0，1)，所以直线l的方程为y－1＝(x－0)，即y＝x＋1.
10. 4　直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，所以2m－1＝7，解得m＝4.
11. －　由题意，得直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，则直线l的方程为y＝－x，所以a＝－.
12. (1) 由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝3x－3.
(2) 由直线的点斜式方程，得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，化简，得y＝－3x－9.
13. (1) 由y＝k(x＋3)＋1，易知当x＝－3时，y＝1，
所以直线恒过定点(－3，1).
(2) 由题意，得
解得k>－，
故实数k的取值范围是(－，＋∞).(共30张PPT)
第1章
直线与方程
1.2　直线的方程
1.2.1　直线的点斜式方程
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程．
2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．
3．利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．
活 动 方 案
活动一　探究直线的点斜式方程
复习巩固：
(1) 直线的倾斜角、斜率的定义：
【解析】 略
(2) 直线的斜率与倾斜角的关系：
【解析】 略
(3) 直线的斜率及倾斜角对直线倾斜程度的影响：
【解析】 略
探究：
问题1：直线l经过点A(－1，3)，斜率为－2.如果点P(x，y)在直线l上运动，那么x，y满足什么关系？
思考1
【解析】 是的．
以所求方程的解为坐标的点是否都在直线l上？
【解析】 y－y1＝k(x－x1).
问题2：设直线l经过点P1(x1，y1)，斜率为k，则直线l上任意一点P(x，y)满足的方程是什么？
【解析】 是的．
思考2
以这个方程的解为坐标的点是否都在直线l上？
【解析】 直线上的点的坐标都是某方程的解，该方程为直线的方程．
结论：
(1) 直线的方程的定义：
【解析】 y－y1＝k(x－x1).
(2) 直线的点斜式方程：
【解析】 y＝0，x＝0.
思考3
(1) ①x轴所在直线的方程是什么？y轴所在直线的方程是什么？
【解析】 y＝3.
②经过点P(－1，3)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？
【解析】 x＝－1.
③经过点P(－1，3)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？
【解析】 不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示．
(2) 直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
【解析】 不是，该方程可化为y－3＝k(x－1)，但x≠1，即该方程表示斜率为k的直线除点(1，3)的部分．
　　　已知一条直线经过点P(－2，3)，斜率为2，求这条直线的方程．
1
【解析】 因为直线经过点P(－2，3)，且斜率为2，
所以直线的方程为y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0.
【解析】 直线的斜率存在，并且知道直线上的一点．
思考4
直线满足哪些条件时可直接利用点斜式写出直线方程？
　　　已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线l的方程．
2
【解析】 由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.
定义：
(1) 我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距．
(2) 由直线l的斜率k和它在y轴上的截距b确定的方程，叫作直线的斜截式方程．
【解析】 不一样，直线在y轴上的截距是它与y轴的交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴的交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴的交点到原点距离的相反数．
思考5
直线在y轴上的截距和直线与y轴的交点到原点的距离一样吗？
思考6
如何从直线方程的角度认识一次函数y＝kx＋b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y＝2x－1，y＝3x，y＝－x＋3图象的特点吗？
【解析】 一次函数y＝kx＋b，表示斜率为k，纵截距为b的直线．一次函数中k不能为0，b可取任何值．y＝2x－1的图象与y轴交于点(0，－1)，且过第一、三、四象限；y＝3x的图象过原点，且过第一、三象限；y＝－x＋3的图象与y轴交于点(0，3)，且过第一、二、四象限．
活动二　直线方程的简单应用
　　　已知三角形三个顶点A(4，0)，B(8，10)，C(0，6)，求过点A且倾斜角等于直线BC的倾斜角的点斜式方程．
3
4
检 测 反 馈
1
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4
5
1．经过点(4，1)，斜率为3的直线的点斜式方程为 (　　)
A．y－1＝3(x－4)　　　　 B．y－1＝3(x＋4)
C．y＋1＝3(x＋4)　　　　 D．y－1＝－3(x－4)
【解析】 由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－1＝3(x－4).
A
1
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B
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5
3．(多选)(2025淮安月考)下列结论中，正确的是 (　　)
A．直线l过点P(－1，4)，倾斜角为90°，则其方程是x＝－1
【答案】AC
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4．(2025北京期中)已知直线l经过点(1，2)，且与x轴平行，则直线l的方程为_______．
【解析】 因为直线l经过点(1，2)，且与x轴平行，所以直线l的斜率为0，故直线l的方程为y＝2.
y＝2
1
2
3
4
5
5．已知直线l过点A(2，1)和B(6，－2).
(1) 求直线l的点斜式方程；
(2) 将(1)中的直线l的方程化成斜截式方程，并写出直线l在y轴上的截距．
谢谢观看
Thank you for watching1.2.1　直线的点斜式方程
1. 了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程．
2. 掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．
3. 利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．
活动一探究直线的点斜式方程　　
复习巩固：
(1) 直线的倾斜角、斜率的定义：
(2) 直线的斜率与倾斜角的关系：
(3) 直线的斜率及倾斜角对直线倾斜程度的影响：
探究：
问题1：直线l经过点A(－1，3)，斜率为－2.如果点P(x，y)在直线l上运动，那么x，y满足什么关系？
思考1
以所求方程的解为坐标的点是否都在直线l上？
问题2：设直线l经过点P1(x1，y1)，斜率为k，则直线l上任意一点P(x，y)满足的方程是什么？
思考2
以这个方程的解为坐标的点是否都在直线l上？
结论：
(1) 直线的方程的定义：
(2) 直线的点斜式方程：
思考3
(1) ①x轴所在直线的方程是什么？y轴所在直线的方程是什么？
②经过点P(－1，3)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？
③经过点P(－1，3)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？
(2) 直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
(3) 方程＝k表示的几何图形是整条直线吗？
例1　已知一条直线经过点P(－2，3)，斜率为2，求这条直线的方程．
思考4
直线满足哪些条件时可直接利用点斜式写出直线方程？
例2　已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线l的方程．
定义：
(1) 我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距．
(2) 由直线l的斜率k和它在y轴上的截距b确定的方程，叫作直线的斜截式方程．
思考5
直线在y轴上的截距和直线与y轴的交点到原点的距离一样吗？
思考6
如何从直线方程的角度认识一次函数y＝kx＋b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y＝2x－1，y＝3x，y＝－x＋3图象的特点吗？
活动二直线方程的简单应用
例3已知三角形三个顶点A(4，0)，B(8，10)，C(0，6)，求过点A且倾斜角等于直线BC的倾斜角的点斜式方程．
例4　(2025盐城月考)已知直线l过点(0，1)，且直线l的倾斜角比直线y＝x＋1的倾斜角小.
(1) 求直线l的方程；
(2) 若点M(x1，y1)在直线l上，且x1∈[－2，1)，求的取值范围．
1. 经过点(4，1)，斜率为3的直线的点斜式方程为(　　)
A. y－1＝3(x－4) B. y－1＝3(x＋4)
C. y＋1＝3(x＋4) D. y－1＝－3(x－4)
2. (2025成都期中)直线l：y＝x－2的倾斜角为(　　)
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3. (多选)(2025淮安月考)下列结论中，正确的是(　　)
A. 直线l过点P(－1，4)，倾斜角为90°，则其方程是x＝－1
B. 方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
C. 直线l过点P(－1，4)，斜率为0，则其方程是y＝4
D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程
4. (2025北京期中)已知直线l经过点(1，2)，且与x轴平行，则直线l的方程为________．
5. 已知直线l过点A(2，1)和B(6，－2).
(1) 求直线l的点斜式方程；
(2) 将(1)中的直线l的方程化成斜截式方程，并写出直线l在y轴上的截距．
1.2.1　直线的点斜式方程
【活动方案】
复习巩固：略
问题1：当点P(x，y)在直线l上运动时(除点A处)，
点P与定点A(－1，3)所确定的直线的斜率恒等于－2，
所以k＝＝－2，从而y－3＝－2[x－(－1)].
显然，点A(－1，3)的坐标也满足此方程．
因此，当点P在直线l上运动，其坐标(x，y)满足y－3＝－2[x－(－1)]，即2x＋y－1＝0.
思考1：是的．
问题2：y－y1＝k(x－x1).
思考2：是的．
结论　(1) 直线上的点的坐标都是某方程的解，该方程为直线的方程．
(2) y－y1＝k(x－x1).
思考3：(1) ①y＝0，x＝0.②y＝3.③x＝－1.
(2) 不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示．
(3) 不是，该方程可化为y－3＝k(x－1)，但x≠1，即该方程表示斜率为k的直线除点(1，3)的部分．
例1　因为直线经过点P(－2，3)，且斜率为2，
所以直线的方程为y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0.
思考4：直线的斜率存在，并且知道直线上的一点．
例2　由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.
思考5：不一样，直线在y轴上的截距是它与y轴的交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴的交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴的交点到原点距离的相反数．
思考6: 一次函数y＝kx＋b，表示斜率为k，纵截距为b的直线．一次函数中k不能为0，b可取任何值．y＝2x－1的图象与y轴交于点(0，－1)，且过第一、三、四象限；y＝3x的图象过原点，且过第一、三象限；y＝－x＋3的图象与y轴交于点(0，3)，且过第一、二、四象限．
例3　设所求直线的方程为y＝k(x－4).
由题意得k＝kBC＝＝，
所以所求方程为y＝(x－4).
例4　(1) 因为直线y＝x＋1的斜率为k＝，
所以其倾斜角为，
所以直线l的倾斜角为－＝，
所以直线l的斜率为tan ＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
(2) 易得表示点M(x1，y1)与点A(1，－2)连线的斜率kAM，
而M(x1，y1)是直线l在x∈[－2，1)部分上的动点，
如图，因为kAC＝＝－，直线AB的斜率不存在，
所以kAM≤kAC＝－，
即的取值范围为.
【检测反馈】
1. A　由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－1＝3(x－4).
2. B　设直线的倾斜角为α，0°≤α<180°，则k＝tan α＝，所以α＝60°.
3. AC　对于A，因为直线l的倾斜角为90°，所以直线l的斜率不存在．又直线l过点P(－1，4)，则其方程是x＝－1，故A正确；对于B，方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)相比，不含点(－1，2)，故B错误；对于C，因为直线l的斜率为0，所以可设直线l的方程为y＝c.又直线l过点P(－1，4)，则其方程是y＝4，故C正确；对于D，斜率不存在的直线，不存在相应的点斜式和斜截式方程，故D错误．故选AC.
4. y＝2　因为直线l经过点(1，2)，且与x轴平行，所以直线l的斜率为0，故直线l的方程为y＝2.
5. (1) 由题意，得直线l的斜率k＝＝－，故直线l的点斜式方程为y－1＝－(x－2)(或y＋2＝－(x－6)).
(2) 由y－1＝－(x－2)，得y＝－x＋，所以直线l的斜截式方程为y＝－x＋，则直线l在y轴上的截距为.

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