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第1章
直线与方程
1.2　直线的方程
1.2.2　直线的两点式方程
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程．
2．能利用点斜式推出两点式，能通过特殊化得出截距式．
3．利用直线的两点式、截距式求直线方程．
4．利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题．
活 动 方 案
活动一　探究直线的两点式方程
1．复习巩固直线的点斜式(斜截式)方程：
【解析】 直线的点斜式方程为y－y1＝k(x－x1)，斜截式方程为y＝kx＋b.
练习　(1) 已知直线l经过两点P1(1，2)，P2(3，5)，求直线l的方程；
(2) 已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，求过这两点的直线方程．
2．直线的两点式方程：
思考1
任一条直线都可以用两点式方程表示吗？
【解析】 与两坐标轴垂直的直线不能用两点式方程表示，而变形之后的方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)可以表示所有直线．
思考2
【解析】 (1) 表示曲线上的点在运动时，动点和一个定点的连线的斜率始终等于两定点连线的斜率，它表示的图形是一条直线(不包含点(x1，y1)).
(2) 不是．后者表示的图形是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线，前者为这条直线除去点P1.
活动二　根据直线的两点式方程求直线方程
　　　已知直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程．
1
注：其中a称为直线在x轴上的截距，b称为直线在y轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程．
思考3
任一条直线都可以用截距式方程表示吗？
【解析】 与两坐标轴垂直的直线及过原点的直线不能用截距式方程表示．
　　　已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，分别求这个三角形三边所在直线的方程．
2
即5x＋3y－6＝0.
因为直线AC在x轴，y轴上的截距分别是－5，2，
【解析】 略
思考4
根据已知条件，如何选择恰当的形式求直线的方程？
活动三　截距概念的辨析
　　　求过点P(3，2)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【解析】 当在两坐标轴上的截距a＝b＝0时，
设所求直线的方程为y＝kx，将点P(3，2)代入，得2＝3k，
3
若将例3中的“截距相等”改为“截距的绝对值相等”，结果如何？
检 测 反 馈
1
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5
1．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是 (　　)
A．x＋y＋1＝0　　　　 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0　　　　 D．x－y－1＝0
D
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A
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3．(多选)(2025南通月考)下列说法中，不正确的是 (　　)
B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为－1
C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0
D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1
【答案】ABD
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4．过点P(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有____条．
3
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5．(2025青岛月考)已知点A(3，0)，B(0，4)，直线AB上有一个动点P(x，y)，求xy的最大值．
谢谢观看
Thank you for watching1．2.2　直线的两点式方程
一、 单项选择题
1 (2025泸县五中月考)过A(2，0)，B(0，3)两点的直线方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. y＝ D. y＝－
2 经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程都可以表示为(　　)
A. ＝ B. ＝
C. (y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) D. ＝
3 (2025天津月考)已知直线l过点(1，－1)和(－3，1)，则直线l在x轴上的截距为(　　)
A. B. － C. 1 D. －1
4 (2025启东中学检测)在平面直角坐标系中，直线l：－＝1过(　　)
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限
5 过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线的方程为(　　)
A. x－y＋1＝0
B. x＋y－1＝0
C. 2x－y＝0或x－y＋1＝0
D. 2x＋y＝0或x＋y＋1＝0
6 两条直线－＝1与－＝1在同一平面直角坐标系中的图象可能是下图中的(　　)
A B C D
二、 多项选择题
7 下列说法中，不正确的是(　　)
A. 直线的倾斜角越大，斜率越大
B. 不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
C. 经过点(1，1)，且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条
D. 直线－＝1在y轴上的截距是3
8 经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　)
A. x＋y－3＝0 B. x＋y＋3＝0
C. x－y－1＝0 D. x－y＋1＝0
三、 填空题
9 经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线的方程为________.
10 如果直线l过(－1，－1)，(2，5)两点，且点(1 011，b)在直线l上，那么b的值为________．
11 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为________；若直线l不经过第三象限，则实数k的取值范围是________．
四、 解答题
12 求过下列两点的直线的两点式方程：
(1) A(2，5)，B(－3，－2)；
(2) C(0，3)，D(3，0).
13 已知△ABC的三个顶点分别是A(－1，0)，B(3，－1)，C(1，3)，求△ABC三边所在直线的方程．
1．2.2　直线的两点式方程
1. A　由截距式，得直线的方程为＋＝1.
2. C　当x1≠x2，y1≠y2时，由两点式，得直线的方程为＝，可转化为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)(*)，当x1＝x2或y1＝y2时，(*)式方程也成立，故选C.
3. D　由两点式，得直线l的方程为＝，化简，得 x＋2y＋1＝0.将y＝0代入x＋2y＋1＝0，得x＝－1，所以直线l在x轴上的截距为－1.
4. D　由题意，得直线l在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为－3，所以直线l过第一、三、四象限．
5. C　当直线过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，满足题意，因为直线过点A(1，2)，所以直线的斜率为＝2，可得该直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为＋＝1，因为点A(1，2)在直线上，所以＋＝1，解得a＝－1，所以该直线的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线的方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
6. B　因为直线－＝1与－＝1的斜率分别为，，所以两条直线的斜率的符号相同，即两条直线的倾斜角同为锐角或同为钝角，只有B符合．
7. ABD　对于A，当倾斜角为60°时，斜率为，当倾斜角为120°时，斜率为－，故A错误；对于B，不经过原点且不平行于坐标轴的直线都可以用方程＋＝1表示，故B错误；对于C，当直线过原点时，直线方程为y＝x；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2，所以直线方程为＋＝1.综上，经过点(1，1)，且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确；对于D，直线－＝1，即＋＝1，所以直线－＝1在y轴上的截距是－3，故D错误．故选ABD.
8. AC　由题意，得直线在x轴，y轴上的截距相等或互为相反数且不为0.设直线的方程为＋＝1或＋＝1.将点(2，1)代入，得＋＝1或＋＝1，解得a＝3或a＝1，则所求直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0.故选AC.
9. y＝2　由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线的方程为y＝2.
10. 2 023　直线l的方程为＝，即2x－y＋1＝0.因为点(1 011，b)在直线l上，所以2×1 011－b＋1＝0，解得b＝2 023.
11. －1或－　　当k＝0时，y＝1，不符合直线l在两坐标轴上的截距相等，舍去；当k≠0时，令x＝0，则y＝2k＋1，令y＝0，则x＝－2－.由题意，得－2－＝2k＋1，解得k＝－1或k＝－.因为直线l：kx－y＋1＋2k＝0，所以y＝kx＋1＋2k.因为直线l不经过第三象限，所以k≤0且1＋2k≥0，解得－≤k≤0，即实数k的取值范围是.
12. (1) 因为直线过点A(2，5)，B(－3，－2)，
所以该直线的两点式方程为＝.
(2) 因为直线过点C(0，3)，D(3，0)，
所以该直线的两点式方程为＝.
13. 因为直线AB过点A(－1，0)，B(3，－1)，
所以边AB所在直线的方程为＝，
即x＋4y＋1＝0.
因为直线BC过点B(3，－1)，C(1，3)，
所以边BC所在直线的方程为＝，
即2x＋y－5＝0.
因为直线AC过点A(－1，0)，C(1，3)，
所以边AC所在直线的方程为＝，
即3x－2y＋3＝0.1．2.2　直线的两点式方程
1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程．
2. 能利用点斜式推出两点式，能通过特殊化得出截距式．
3. 利用直线的两点式、截距式求直线方程．
4. 利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题．
活动一探究直线的两点式方程
1. 复习巩固直线的点斜式(斜截式)方程：
练习　(1) 已知直线l经过两点P1(1，2)，P2(3，5)，求直线l的方程；
(2) 已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，求过这两点的直线方程．
2. 直线的两点式方程：
思考1
任一条直线都可以用两点式方程表示吗？
思考2
(1) 方程＝的左、右两边各具有怎样的几何意义？它表示什么图形？
(2) 方程＝和方程＝表示同一个图形吗？
活动二根据直线的两点式方程求直线方程　　
例1　已知直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程．
注：其中a称为直线在x轴上的截距，b称为直线在y轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程．
思考3
任一条直线都可以用截距式方程表示吗？
例2　已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，分别求这个三角形三边所在直线的方程．
思考4
根据已知条件，如何选择恰当的形式求直线的方程？
活动三截距概念的辨析　
例3 求过点P(3，2)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
　
直线在两坐标轴上的截距相等，直接考虑截距式方程＋＝1，也可以由图形性质，得到k＝－1时截距相等，从而选用点斜式．解题时特别要注意截距都是0的情况，这时选用方程y＝kx.
　若将例3中的“截距相等”改为“截距的绝对值相等”，结果如何？
1. 过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　)
A. x＋y＋1＝0 B. x＋y－1＝0
C. x－y＋1＝0 D. x－y－1＝0
2. (2025郑州期中)在平面直角坐标系xOy中，直线－＝1在y轴上的截距为(　　)
A. －6 B. 6 C. － D.
3. (多选)(2025南通月考)下列说法中，不正确的是(　　)
A. 过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程可以写成＝
B. 若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为－1
C. 若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0
D. 若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1
4. 过点P(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有________条．
5. (2025青岛月考)已知点A(3，0)，B(0，4)，直线AB上有一个动点P(x，y)，求xy的最大值．
1．2.2　直线的两点式方程
【活动方案】
1. 直线的点斜式方程为y－y1＝k(x－x1)，斜截式方程为y＝kx＋b.
练习：(1) 由题意，得y－2＝(x－1)，
化简，得3x－2y＋1＝0.
故直线l的方程为3x－2y＋1＝0.
(2) 由题意，得直线的斜率k＝，
由直线的点斜式方程，得y－y1＝(x－x1).
因为y1≠y2，x1≠x2，
所以方程可以写成＝.
故过这两点的直线方程为＝.
2. 直线的两点式方程为＝.
思考1：与两坐标轴垂直的直线不能用两点式方程表示，而变形之后的方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)可以表示所有直线．
思考2：(1) 表示曲线上的点在运动时，动点和一个定点的连线的斜率始终等于两定点连线的斜率，它表示的图形是一条直线(不包含点(x1，y1)).
(2) 不是．后者表示的图形是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线，前者为这条直线除去点P1.
例1　因为直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，
代入直线的两点式方程，得＝，
即＋＝1.
思考3：与两坐标轴垂直的直线及过原点的直线不能用截距式方程表示．
例2　因为直线AB过A(－5，0)，B(3，－3)两点，
所以由直线的两点式方程，得＝，
整理，得3x＋8y＋15＝0.
因为直线BC在y轴上的截距为2，斜率是k＝＝－，
所以由直线的斜截式方程，得y＝－x＋2，
即5x＋3y－6＝0.
因为直线AC在x轴，y轴上的截距分别是－5，2，
所以由直线的截距式方程，得＋＝1，
即2x－5y＋10＝0.
思考4：略
例3　当在两坐标轴上的截距a＝b＝0时，
设所求直线的方程为y＝kx，将点P(3，2)代入，得2＝3k，
解得k＝，所以所求直线的方程为y＝x；
当在两坐标轴上的截距a＝b≠0时，
设所求直线的方程为＋＝1，
则解得a＝b＝5，
所以所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0.
综上，所求直线的方程为y＝x或x＋y－5＝0.
跟踪训练　所求直线的方程为y＝x或x－y－1＝0或x＋y－5＝0.
【检测反馈】
1. D　由题意，得直线的两点式方程为＝，即x－y－1＝0.
2. A　令x＝0，得y＝－6，即直线－＝1在y轴上的截距为－6.
3. ABD　当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成＝，故A错误；当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B错误；设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.令y＝0，得直线在x轴上的截距为－b，所以b＋(－b)＝0，故C正确；若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误．故选ABD.
4. 3　当截距为0时，设直线的方程为y＝kx，将点P(1，2)代入y＝kx，解得k＝2，故直线的方程为y＝2x；当截距不为0时，若截距相等，设直线的方程为＋＝1，将点P(1，2)代入，得＋＝1，解得a＝3，故直线的方程为x＋y＝3；若截距互为相反数，设直线的方程为－＝1，将点P(1，2)代入，即－＝1，解得a＝－1，故直线的方程为x－y＋1＝0.综上，共有3条满足题意的直线．
5. 由题意，得直线AB的方程为＋＝1.
因为动点P(x，y)在直线上，所以x＝3－y，
则xy＝y＝3y－y2＝－(y－2)2＋3≤3，
即当点P的坐标为时，xy取最大值3.

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