资源简介

1．2.3　直线的一般式方程
一、 单项选择题
1 (2025上海师大附中月考)直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是(　　)
A. －1 B. 1 C. ±1 D. 2
2 已知直线l的方程为 x－y＋b＝0(b∈R)，则直线l的倾斜角为(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 与b有关
3 若直线x＋my＋4＝0在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为(　　)
A. －2 B. 2 C. － D.
4 (2025郑州期中)如图，直线l1：mx＋y＋n＝0与l2：nx－y＋m＝0(mn≠0，m≠n)的图象可能是(　　)
A B C D
5 (2025杭州期中)若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－2y＝3的倾斜角的2倍，则m＋n的值为(　　)
A. －1 B. 1 C. －7 D. 7
6 (2025江门广德中学月考)已知线段l的方程是x－y＋1＝0(－3≤x≤2)，则的取值范围是(　　)
A. [0.75，2]
B. (0.75，2)
C. (－∞，0.75)∪(2，＋∞)
D. (－∞，0.75]∪[2，＋∞)
二、 多项选择题
7 已知直线l：x＋y－1＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l过点(，－2)
B. 直线l的斜率为
C. 直线l的倾斜角为120°
D. 直线l在y轴上的截距为1
8 (2025镇江中学月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. 过点(2，4)，且倾斜角为90°的直线方程为x－2＝0
B. 直线2x－y＋5＝0经过第一、二、三象限
C. 过点(2，－1)，且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D. 斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3
三、 填空题
9 (2025建湖中学月考)已知点A(3，2)，B(8，12)，则直线AB的一般式方程为________．
10 (2025陇南期中)直线2x＋y－4＝0与x轴，y轴分别交于A，B两点，则∠BAO(O为坐标原点)的平分线所在直线的一般式方程为________．
11 将直线l：x－3y－＝0绕着直线l与x轴的交点逆时针旋转30°得到直线m，则直线m的一般式方程为________．
四、 解答题
12 (2025南开附中月考)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．
(1) 斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2) 在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(3) 经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4).
13 已知直线l：y＝kx－2k＋1(k∈R).
(1) 若直线l不经过第二象限，求实数k的取值范围；
(2) 设直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求当△AOB的面积为时(O为坐标原点)，直线l的方程．
1．2.3　直线的一般式方程
1. A　令y＝0，则x＝－1，故直线在x轴上的截距为－1.
2. B　设直线l的倾斜角为α.因为直线l的方程为x－y＋b＝0(b∈R)，所以其斜率为k＝1，即tan α＝1.又α∈[0°，180°)，则α＝45°.
3. D　因为直线x＋my＋4＝0在y轴上的截距为2，所以直线经过点(0，2)，所以2m＋4＝0，解得m＝－2，所以斜率k＝－＝.
4. D　直线l1：mx＋y＋n＝0可化为l1：y＝－mx－n，则斜率为－m，在y轴上的截距为－n，直线l2：nx－y＋m＝0可化为l2：y＝nx＋m，则斜率为n，在y轴上的截距为m.对于A，由直线l1的图象可得即由直线l2的图象可得故A不满足条件；对于B，由直线l1的图象可得即由直线l2的图象可得故B不满足条件；对于C，由直线l1的图象可得即由直线l2的图象可得故C不满足条件；对于D，由直线l1的图象可得即由直线l2的图象可得故D满足条件．
5. A　由直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－1，得－＝－1，解得n＝3.设直线x－2y＝3的倾斜角为θ，则tan θ＝.又直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角为2θ，所以－＝tan 2θ＝＝＝，解得m＝－4，所以m＋n＝－1.
6. D　由题意，得x≠1，令k＝，－3≤x≤2且x≠1.设点A(－3，－2)，B(2，3)，Q(1，1)，D(0，1)，E(1，2)，则k可以看作是线段AB：x－y＋1＝0(－3≤x≤2)上(含端点)的点(x，y)与点(1，1)连线的斜率. 如图，k≥kBQ＝＝2或k≤kAQ＝＝＝0.75，所以的取值范围是(－∞，0.75]∪[2，＋∞).
7. ACD　直线l：x＋y－1＝0，即y＝－x＋1.令x＝，得y＝－2，即直线l过点(，－2)，故A正确；直线l的斜率为－，故B错误；设直线l的倾斜角为α，则tan α＝－.又0°≤α<180°，所以α＝120°，故C正确；直线l在y轴上的截距为1，故D正确．故选ACD.
8. ABC　对于A，因为直线的倾斜角为90°，所以该直线与横轴垂直，则直线方程为x－2＝0，故A正确；对于B，直线2x－y＋5＝0的斜率为2，在y轴上的截距为5，可得直线2x－y＋5＝0经过第一、二、三象限，故B正确；对于C，过点(2，－1)，且斜率为－的直线的点斜式方程为y－(－1)＝－(x－2)，故C正确；对于D，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，故D错误．故选ABC.
9. 2x－y－4＝0　因为点A(3，2)，B(8，12)，所以经过点A，B的直线的方程为＝，整理，得2x－y－4＝0.
10. (－1)x＋2y－2(－1)＝0　如图，设∠BAO的平分线与x轴负半轴的夹角为α，将y＝0代入直线方程，可得x＝2，所以点A(2，0)；将x＝0代入直线方程，可得y＝4，所以点B(0，4).在Rt△ABO中，∠BAO的正切值为tan 2α＝＝＝2，则tan 2α＝＝2，解得tan α＝(负值舍去).设角平分线所在直线的斜率为k，则 k＝tan (π－α)＝－tan α＝，所以由点斜式方程可得∠BAO的平分线所在直线的方程为y－0＝(x－2)，即(－1)x＋2y－2(－1)＝0.
11. x－y－＝0　因为直线l：x－3y－＝0与x轴的交点为(1，0)，倾斜角为30°，所以逆时针旋转30°得到直线m的倾斜角为60°，故直线m的斜率为，则直线m的方程为y＝(x－1)，即x－y－＝0.
12. (1) 由点斜式方程，得y＋2＝－(x－8)，整理得x＋2y－4＝0.
(2) 由截距式方程，得＋＝1，整理得2x－y－3＝0.
(3) 由两点式方程，得＝，整理得x＋y－1＝0.
13. (1) 由题意，得直线l：y＝kx－2k＋1(k∈R)，
即y＝k(x－2)＋1，
易知直线l过定点(2，1)，
当直线l过原点时，可得k＝，
所以当直线l不经过第二象限时，实数k的取值范围是.
(2) 由题意可知k<0，
因为直线l：y＝kx－2k＋1与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别是A，B(0，1－2k)，
所以S△AOB＝|2－|×|1－2k|＝×.
又k<0，S△AOB＝，
所以×＝×＝，
即4k2＋5k＋1＝0，
解得k＝－1或k＝－，
所以直线l的方程为y＝－x＋3或y＝－x＋，即x＋y－3＝0或x＋4y－6＝0.(共22张PPT)
第1章
直线与方程
1.2　直线的方程
1.2.3　直线的一般式方程
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．掌握直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，能正确理解直线的一般式方程的含义．
2．理解并掌握含参数的直线的一般式方程．
3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．
活 动 方 案
活动一　直线的一般式方程的推导
回顾直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程：
思考1
(1) 这些直线方程分别适用于哪些情形？
【解析】 点斜式与斜截式适用于不含垂直于x轴的直线；两点式适用于不含与坐标轴垂直的直线；截距式适用于不含垂直于坐标轴和过原点的直线．
(2) 直线与二元一次方程的关系是什么？
【解析】 直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线．
(3) 每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线吗？
结论：我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．
【解析】 优点：其他几种形式的直线方程都有适用范围，而直线的一般式方程对于平面直角坐标系中的直线都适用．
思考2
直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
活动二　求直线的方程
1
　　　求直线l：3x＋5y－15＝0的斜率以及它在x轴，y轴上的截距，并作图．
2
　　　根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
3
活动三　直线的一般式方程的应用
　　　设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0(m∈R)，根据下列条件分别确定m的值．
(1) 直线l在x轴上的截距是－3；
(2) 直线l的斜率是1.
4
　　　设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值．
(1) 直线l的斜率为－1；
(2) 直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.
5
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
C
1
2
3
4
5
2．(2025山东期中)已知直线l的斜率为2，经过点(2，1)，则直线l的方程为 (　　)
A．2x－y－5＝0　　　　 B．2x＋y－5＝0
C．2x－y－3＝0　　　　 D．2x＋y－3＝0
【解析】 因为直线l的斜率为2，经过点(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.
C
1
2
3
4
5
3．(多选)(2025晋中月考)如果AC>0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0通过 (　　　)
A．第一象限　　 B．第二象限　　
C．第三象限　 D．第四象限
ABC
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5．(2025朝阳月考)直线过点A(8，－6)，B(2，2).求：
(1) 直线AB的一般式方程；
(2) 直线AB的斜率，以及在x轴和y轴上的截距．
谢谢观看
Thank you for watching1．2.3　直线的一般式方程
1. 掌握直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，能正确理解直线的一般式方程的含义．
2. 理解并掌握含参数的直线的一般式方程．
3. 会进行直线方程的五种形式之间的转化．
　活动一直线的一般式方程的推导　
回顾直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程：
思考1
(1) 这些直线方程分别适用于哪些情形？
(2) 直线与二元一次方程的关系是什么？
(3) 每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线吗？
结论：我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．
思考2
直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
活动二求直线的方程
例1已知直线经过点A(6，－4)，且斜率为－，求直线的点斜式方程和一般式方程．
例2求直线l：3x＋5y－15＝0的斜率以及它在x轴，y轴上的截距，并作图．
例3　根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1) 斜率是－，且经过点A(8，－2);
(2) 经过点B(4，2)，且平行于x轴；
(3) 在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4) 经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4).
　活动三直线的一般式方程的应用　
例4设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0(m∈R)，根据下列条件分别确定m的值．
(1) 直线l在x轴上的截距是－3；
(2) 直线l的斜率是1.
例5设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值．
(1) 直线l的斜率为－1；
(2) 直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.
1. (2025大连期中)直线x－y＋3＝0的倾斜角为(　　)
A. 150° B. 120° C. 30° D. 60°
2. (2025山东期中)已知直线l的斜率为2，经过点(2，1)，则直线l的方程为(　　)
A. 2x－y－5＝0 B. 2x＋y－5＝0
C. 2x－y－3＝0 D. 2x＋y－3＝0
3. (多选)(2025晋中月考)如果AC>0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0通过(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. (2025广州期中)已知直线方程为x＋y－＝0，则该直线的纵截距为________．
5. (2025朝阳月考)直线过点A(8，－6)，B(2，2).求：
(1) 直线AB的一般式方程；
(2) 直线AB的斜率，以及在x轴和y轴上的截距．
1．2.3　直线的一般式方程
【活动方案】
点斜式：y－y1＝k(x－x1)；斜截式：y＝kx＋b；两点式：＝；截距式：＋＝1.
思考1：(1) 点斜式与斜截式适用于不含垂直于x轴的直线；两点式适用于不含与坐标轴垂直的直线；截距式适用于不含垂直于坐标轴和过原点的直线．
(2) 直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线．
(3) 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成y＝－x－，它表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线；当B＝0，A≠0时，它表示垂直于x轴的直线．因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线．
思考2：优点：其他几种形式的直线方程都有适用范围，而直线的一般式方程对于平面直角坐标系中的直线都适用．
例1　由题意知直线的点斜式方程为y＋4＝－(x－6)，直线的一般式方程为4x＋3y－12＝0.
例2　直线l的方程可写成y＝－x＋3，所以直线l的斜率k＝－，则直线l在y轴上的截距为3，在x轴上的截距为5.作图略．
例3　(1) 由点斜式方程，得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.
(2) 由斜截式方程，得y＝2，即y－2＝0.
(3) 由截距式方程，得＋＝1，
即2x－y－3＝0.
(4) 由两点式方程，得＝，
即x＋y－1＝0.
例4　(1) 由题意知直线l过点(－3，0)，
所以－3＋0－2m＋6＝0，解得m＝.
(2) 由题意知－＝1，解得m＝－1.
例5　(1) 因为直线l的斜率存在，
所以直线l的方程可化为y＝－x＋2.
由题意得－＝－1，解得k＝5.
(2) 直线l的方程可化为＋＝1.
由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
【检测反馈】
1. C　直线x－y＋3＝0可化为y＝x＋，所以直线的斜率为k＝.设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝，且0°≤θ<180°，所以θ＝30°.
2. C　因为直线l的斜率为2，经过点(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.
3. ABC　由直线Ax＋By＋C＝0，得y＝－x－.因为AC>0，BC<0，所以AB<0，则直线斜率k＝－>0，且－>0，所以直线经过第一、二、三象限．故选ABC.
4. 　令x＝0，得y＝，所以该直线的纵截距为.
5. (1) 因为直线过点A(8，－6)，B(2，2)，
所以直线AB的方程为＝，
所以直线AB的一般式方程为4x＋3y－14＝0.
(2) 由(1)知，直线AB：4x＋3y－14＝0，
当y＝0时，x＝；当x＝0时，y＝，
所以直线AB的斜率k＝－，在x轴和y轴上的截距分别为，.

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