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第1章
直线与方程
1.2　直线的方程
1.2.4　直线的方程习题课
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等形式的相互转化，及各种形式在解题中的灵活运用．
2．利用直线方程解决实际问题．
活 动 方 案
活动一　巩固直线方程的各种形式
直线方程的各种形式及适用范围
练习　
(1) 直线l经过两点(1，－2)，(－3，4)，则该直线的方程是_______________；
(3) 过点A(1，4)，且横、纵截距的绝对值相等的直线方程为________________________________；
(4) 过点P(4，3)作直线l，它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________________________．
3x＋2y＋1＝0
3x－2y－6＝0或3x－8y＋12＝0
y＝4x或x＋y－5＝0或x－y＋3＝0
活动二　灵活运用直线方程的几种形式
　　　已知直线l的倾斜角为60°.
1
　　　已知直线l经过A(－5，6)，B(－4，8)两点，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图象．
2
　　　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0(a∈R).
(1) 求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2) 若使直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
3
4
活动三　直线方程的综合应用
　　　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1) 证明：直线l过定点；
(2) 若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围；
(3) 若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S＝4(O为坐标原点)，求直线l的方程．
5
　　　已知直线l的方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋(4－3m)＝0.
(1) 求证：不论m为何值，直线必过定点M；
(2) 过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形的面积最小，求直线l1的方程．
6
检 测 反 馈
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D
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2．已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点(4，4)，则直线l的方程为 (　　)
B
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3．(多选)(2025菏泽月考)下列说法中，正确的是 (　　)
1
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【答案】ABC
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1
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4．(2025北京期中)直线y＝k(x－1)恒经过定点P，则点P的坐标为_________．
【解析】 当x＝1时，y＝k(1－1)＝0，所以直线y＝k(x－1)恒经过定点P(1，0).
(1，0)
1
2
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5．(2025宜春期中)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1) 经过点P(－2，1)，斜率为2；
(2) 经过两点A(－1，5)，B(2，－1)；
(3) 一个方向向量的坐标为(2，3)，且在x轴上的截距为1.
【解析】 (1) 经过点P(－2，1)，斜率为2的直线方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0.
(2) 直线经过两点A(－1，5)，B(2，－1)，
1
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谢谢观看
Thank you for watching1．2.4　直线的方程习题课
一、 单项选择题
1 直线y＝－x＋2 025的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
2 直线－＝1在y轴上的截距是(　　)
A. |b| B. －b C. b D. ±b
3 (2025福州一中期中)已知直线l过点(1，3)且在x轴，y轴上的截距相等，则直线l的方程为(　　)
A. 3x－y＝0
B. x＋y－4＝0
C. 3x－y＝0或x＋y－4＝0
D. 3x－y＝0或x－y－4＝0
4 已知直线l：kx－2y－4k＋1＝0，当实数k变化时，直线l恒过点(　　)
A. (0，0) B. C. (4，1) D.
5 (2025杭州二中期中)如果ab>0，那么直线ax＋by＋1＝0一定经过(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 坐标原点
6 (2025四平中学月考)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，若直线y－1＝k(x－1)与线段AB相交，则实数k的取值范围是(　　)
A. ∪[4，＋∞)
B. (－∞，－4]∪
C.
D.
二、 多项选择题
7 (2025启东中学月考)已知直线m的方程为x－2y＋1＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线m的斜率为
B. 直线m在x轴上的截距为1
C. 直线m在y轴上的截距为
D. 点Q(7，4)不在直线m上
8 (2025龙岩连城一中月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. 过A(1，3)，B(－2，0)两点的直线l的倾斜角为45°
B. 经过点(－1，2)的所有直线都可以用方程y－2＝k(x＋1)表示
C. 直线y＝2x－3在y轴上的截距为3
D. 点A(－2，12)，B(1，3)，C(4，－6)在同一条直线上
三、 填空题
9 已知直线l的倾斜角为α，且sin α＝，若直线l过点(1，0)，则直线l的方程为_________________________________________________________________．
10 (2025沭阳南湖中学月考)若直线l：(m＋1)x＋my＋2－m＝0经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数m的取值范围是________．
11 已知A(1，6)，B(2，10)，C(3，16)，D(4，21)中的三个点在直线l：y＝kx＋m上，则k＋m＝________．
四、 解答题
12 写出满足下列条件的直线的方程．
(1) 在y轴上的截距是2，且与x轴平行；
(2) 经过点B(－2，0)，且与x轴垂直；
(3) 斜率是－4，在y轴上的截距是7.
13 直线l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2(a∈R).
(1) 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求实数a的值；
(2) 若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
1．2.4　直线的方程习题课
1. B　因为直线y＝－x＋2 025的斜率为－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以直线的倾斜角为.
2. B　由直线－＝1的截距式方程为＋＝1，得其在y轴上的截距是－b.
3. C　当直线l在x轴，y轴上的截距均为0时，设直线l的方程为y＝kx，将点(1，3)代入，可得k＝3，所以直线l的方程为y＝3x，即3x－y＝0；当直线l在x轴，y轴上的截距均不等于0时，设直线l的方程为＋＝1，a≠0，将点(1，3)代入，可得＋＝1，解得a＝4，所以直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.综上，直线l的方程为3x－y＝0或x＋y－4＝0.
4. B　由于 kx－2y－4k＋1＝0可化为k(x－4)－2＝0，令x－4＝0，得x＝4，则y＝，可得直线l过定点.
5. B　直线ax＋by＋1＝0在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为－.因为ab>0，所以实数a，b同号，则直线在坐标轴上的截距同正或同负，如图，所以直线ax＋by＋1＝0一定经过第二象限．
　　
6. B　因为直线y－1＝k(x－1)恒过定点P(1，1)，且kAP＝＝－4，kBP＝＝，要使得直线y－1＝k(x－1)与线段AB相交，由图可知，k≤－4或k≥，所以实数k的取值范围为(－∞，－4]∪.
7. AC　x－2y＋1＝0可变形为y＝x＋，则直线m的斜率为，故A正确；在x－2y＋1＝0中，令y＝0，得x＝－1，即直线m在x轴上的截距为－1，故B错误；在x－2y＋1＝0中，令x＝0，得y＝，即直线m在y轴上的截距为，故C正确；当x＝7时，y＝＋＝4，所以点Q(7，4)在直线m上，故D错误．故选AC.
8. AD　对于A，过A(1，3)，B(－2，0)两点的直线l的斜率k＝＝1，所以直线AB的倾斜角为45°，故A正确；对于B，过点(－1，2)且斜率不存在时，方程为x＝－1，故B错误；对于C，直线y＝2x－3在y轴上的截距为－3，故C错误；对于D，因为kAB＝＝－3，kAC＝＝－3，则kAB＝kAC，所以A，B，C三点共线，故D正确．故选AD.
9. 3x＋4y－3＝0或3x－4y－3＝0　由直线l的倾斜角为α，且sin α＝，得cos α＝±＝±，则tanα＝±，即直线l的斜率k＝±，则直线l的方程为y＝－(x－1)或y＝(x－1)，化简，得3x＋4y－3＝0或3x－4y－3＝0.
10. (0，2)　因为直线l经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，所以直线l的斜率k<0，且在y轴上的截距b<0.因为直线l：(m＋1)x＋my＋2－m＝0，所以k＝－(m≠0)，b＝，则解得011. 6　由题意，得kAC＝＝5，kAD＝＝5，且直线AC，AD 有公共点A，所以A，C，D在同一条直线上，该直线的方程为y－6＝5(x－1)，即y＝5x＋1.因为点B(2，10)不满足y＝5x＋1，所以直线l的方程为y＝5x＋1，则k＝5，m＝1，故k＋m＝6.
12. (1) 因为直线在y轴上的截距是2，
所以直线过点(0，2).
又直线与x轴平行，
所以直线的斜率为0，
故所求直线的方程为y＝2，即y－2＝0.
(2) 因为直线经过点B(－2，0)，且与x轴垂直，
所以直线的斜率不存在，
故所求直线的方程为x＝－2，即x＋2＝0.
(3) 因为直线在y轴上的截距是7，
所以直线过点(0，7).
又直线的斜率是－4，
故所求直线的方程为y＝－4x＋7，即4x＋y－7＝0.
13. (1) 当直线l过坐标原点时，
有2－a＝0，解得a＝2，满足题意；
当直线l不过坐标原点，即a≠2时，
若a＋1＝0，则a＝－1，此时直线l的方程为y＝－3，不满足题意，
若a＋1≠0，则a≠－1时，可得＋＝1，
所以＝a－2，解得a＝0.
综上，实数a的值为0或2.
(2) 当a＋1＝0，即a＝－1时，直线l的方程为y＝－3，不经过第二象限，满足题意；
当a＋1≠0，即a≠－1时，则解得a＜－1.
综上，实数a的取值范围为(－∞，－1].1．2.4　直线的方程习题课
1. 掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等形式的相互转化，及各种形式在解题中的灵活运用．
2. 利用直线方程解决实际问题．
活动一巩固直线方程的各种形式　
直线方程的各种形式及适用范围
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含与x轴或y轴垂直的直线
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不全为0) 平面直角坐标系内的直线都适用
　　练习　
(1) 直线l经过两点(1，－2)，(－3，4)，则该直线的方程是______________；
(2) 若直线l1：y＝x－6的倾斜角为α，直线l2：y＝mx＋3的倾斜角为2α，则直线l1在x轴上的截距为________，m＝________；
(3) 过点A(1，4)，且横、纵截距的绝对值相等的直线方程为__________
______________________________________________________________；
(4) 过点P(4，3)作直线l，它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________________________________________.
活动二灵活运用直线方程的几种形式
例1　已知直线l的倾斜角为60°.
(1) 若直线l过点P(，－2)，求直线l的方程；
(2) 若直线l在y轴上的截距为4，求直线l的方程．
例2　已知直线l经过A(－5，6)，B(－4，8)两点，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图象．
例3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0(a∈R).
(1) 求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2) 若使直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
例4　在△ABC中，已知点A(1，1)，B(5，1)，A＝，B＝，且点C在第一象限．求：
(1) 边AB的方程；
(2) 边AC和边BC所在的直线方程.
活动三直线方程的综合应用
例5已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1) 证明：直线l过定点；
(2) 若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围；
(3) 若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S＝4(O为坐标原点)，求直线l的方程．
例6　已知直线l的方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋(4－3m)＝0.
(1) 求证：不论m为何值，直线必过定点M；
(2) 过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形的面积最小，求直线l1的方程．
1. (2025苏州期中)若直线l过点A(1，0)，B(0，)，则直线l的倾斜角为(　　)
A. － B. C. D.
2. 已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点(4，4)，则直线l的方程为(　　)
A. y－4＝2(x－4) B. y－4＝2(x－4)或y－4＝－(x－4)
C. y＋4＝2(x＋4) D. y＋4＝2(x＋4)或y－4＝－(x＋4)
3. (多选)(2025菏泽月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. 若直线l的方程为x－y sin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的取值范围是
B. 直线3x－y－1＝0在y轴上的截距为－1
C. 若AB<0，BC<0，则直线Ax－By－C＝0不经过第三象限
D. 经过平面内任意相异两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线都可以用方程＝表示
4. (2025北京期中)直线y＝k(x－1)恒经过定点P，则点P的坐标为________．
5. (2025宜春期中)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1) 经过点P(－2，1)，斜率为2；
(2) 经过两点A(－1，5)，B(2，－1)；
(3) 一个方向向量的坐标为(2，3)，且在x轴上的截距为1.
1．2.4　直线的方程习题课
【活动方案】
练习：(1) 3x＋2y＋1＝0
(2) 2　－
(3) y＝4x或x＋y－5＝0或x－y＋3＝0
(4) 3x－2y－6＝0或3x－8y＋12＝0
例1　直线l的倾斜角为60°，则直线的斜率为.
(1) 直线l过点P(，－2)，则直线l的方程为y＋2＝(x－)，即x－y－5＝0.
(2) 直线l在y轴上的截距为4，则直线l的方程为y＝x＋4，即x－y＋4＝0.
例2　因为直线l经过A(－5，6)，B(－4，8)两点，
所以直线l的两点式方程为＝，
可得直线l的一般式方程为2x－y＋16＝0，
所以直线l的截距式方程为＋＝1，图象如下图所示．
例3　(1) 将直线l的方程化为y－＝a(x－)，
所以直线l的斜率为a，且过定点A(，).
因为点A(，)在第一象限，
所以不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2) 由(1)知直线OA的斜率为k＝＝3.
因为直线l不经过第二象限，所以a≥3，
故实数a的取值范围为[3，＋∞).
例4　(1) 边AB的方程为y＝1(1≤x≤5).
(2) lAC：x－y－＋1＝0，lBC：x＋y－6＝0.
例5　(1) 直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，整理得k(x＋2)＋1－y＝0，令解得故直线l恒过定点(－2，1).
(2) 直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，转化为y＝kx＋(1＋2k).
因为直线不经过第四象限，所以
解得k≥0，
故实数k的取值范围为[0，＋∞).
(3) 因为直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，所以k>0.
令x＝0，则y＝1＋2k，即B(0，1＋2k)；
令y＝0，则x＝，即A(，0).
因为△AOB的面积为S＝4(O为坐标原点)，
所以·|1＋2k|·||＝4，
解得k＝，
故直线l的方程为y＝x＋2.
例6　(1) 原方程整理，得(x－2y－3)m＋2x＋y＋4＝0，
令解得
所以不论m为何值，直线必过定点M(－1，－2).
(2) 设直线l1的方程为y＝k(x＋1)－2，k<0.
令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝k－2，
所以三角形的面积为||·|k－2|＝[(－k)＋＋4]≥4，当且仅当k＝－2时，等号成立，故当k＝－2时，三角形的面积取得最小值4，此时直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.
【检测反馈】
1. D　因为直线l过点A(1，0)，B(0，)，所以直线l的斜率k＝＝－.设直线l的倾斜角θ，则tan θ＝－.又0≤θ<π，所以θ＝.
2. B　设直线l的方程为y－4＝k(x－4)，则直线l与x轴和y轴的交点坐标分别为(4－，0)，(0，4－4k)，所以4－＝4－4k＋6，解得k＝2或k＝－，所以直线l的方程为y－4＝2(x－4)或y－4＝－(x－4).
3. ABC　对于A，直线l的方程为x－y sin θ＋2＝0，当 sin θ＝0时，直线方程为x＝－2，倾斜角α＝；当sin θ≠0时，直线方程可化为y＝x＋，斜率k＝，因为sin θ∈[－1，0)∪(0，1]，所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞).又α∈[0，π)，所以α∈∪.综上可得α∈，故A正确；对于B，将x＝0代入直线方程3x－y－1＝0，得－y－1＝0，解得y＝－1，故B正确；对于C，因为AB<0，BC<0，所以B≠0，所以Ax－By－C＝0可化为y＝x－，所以直线的斜率<0，纵截距－>0，所以该直线经过第一、二、四象限，故C正确；对于D，经过任意两个不同的点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线，当斜率等于0时，y1＝y2，当斜率不存在时，x1＝x2，都不能用方程＝表示，故D错误．故选ABC.
4. (1，0)　当x＝1时，y＝k(1－1)＝0，所以直线y＝k(x－1)恒经过定点P(1，0).
5. (1) 经过点P(－2，1)，斜率为2的直线方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0.
(2) 直线经过两点A(－1，5)，B(2，－1)，
则直线方程为＝，
化为一般式方程是2x＋y－3＝0.
(3) 因为直线的一个方向向量的坐标为(2，3)，
所以该直线的斜率为.
又该直线在x轴上的截距为1，
所以该直线经过点(1，0)，
所以该直线的方程为y＝(x－1)，即3x－2y－3＝0.

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