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第3节　向心加速度
1 （2025扬州合格考模拟）铁道转弯处内、外轨间有高度差，可以使火车顺利转弯．已知火车转弯时安全速度为v，转弯时半径为R，则火车转弯时向心加速度为(　　)
A. B. C. v2R D. vR
2 （2025盐城合格考模拟）A、B两物体做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比为3∶4，运动方向改变的角度之比为2∶3，它们的向心加速度之比为(　　)
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 2∶3 D. 9∶8
3 （2025淮安测试）如图所示是一种广泛应用于新能源汽车的高精度同轴齿轮，高精度机车在同一个钢锭上车铣出半径不同的两个齿轮，以严格保证两个齿轮同步转动，用v、ω、a、T分别表示A、B两点的线速度、角速度、向心加速度、周期，下列说法正确的是(　　)
A. vA＝vB B. ωA>ωB
C. aA>aB D. TA4 （2025南通期中）如图所示，同学们组成的跑操方阵排列整齐地匀速率通过圆弧形跑道区域，每个方阵中的每位同学均可视为做匀速圆周运动．则下列说法正确的是(　　)
A. 每位同学的角速度相同
B. 每位同学所受的合力为零
C. 每位同学的速度大小相同
D. 每位同学的加速度保持不变
5 （2025南通海门抽测）中国糖画（图甲）是非物质文化遗产之一，游客转动指针，指针最后停在哪里，便可得到对应的糖画作为奖励．指针上两点P、Q距中心点O的距离分别为r和2r，如图乙所示．以下关于P、Q两点在转动时各物理量之比，正确的是(　　)
甲 乙
A. 周期之比为2∶1
B. 角速度大小之比为1∶2
C. 线速度大小之比为1∶1
D. 向心加速度大小之比为1∶2
6 （2025南通如皋测试）如图所示、甲、乙两位同学握住绳子A、B两端摇动，A、B两端近似不动，且A、B两点连线始终沿水平方向，绳子上P、Q等各点均同步在竖直面做匀速圆周运动．当绳子在空中转到如图所示位置时，则(　　)
A. P点的线速度方向沿绳子切线
B. P点的线速度等于Q点的线速度
C. P点的角速度等于Q点的角速度
D. P点所受合外力方向一定垂直于绳斜向下
7 如图所示为某品牌自行车的部分结构示意图．A、B、C分别是飞轮边缘、大齿盘边缘和链条上的点，现在提起自行车后轮，转动脚踏板，使大齿盘和飞轮在链条带动下转动，下列说法错误的是(　　)
A. A、B、C三点线速度大小相等
B. A、B两点的角速度大小相等
C. A、B两点的向心加速度大小与飞轮、大齿盘半径成反比
D. 由图中信息可知，A、B两点的角速度之比为3∶1
8 （2023淮安期中）如图所示，在开门过程中，门上A、B两点的角速度ω、线速度v、向心加速度a、转速n的大小关系正确的是(　　)
A. ωA>ωB B. vA＝vB
C. aA>aB D. nA>nB
9 如图所示，压路机大轮半径r′是小轮半径r的2倍，压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点相对其转动轴的向心加速度为 0.12 m/s2.
(1) 小轮边缘上B点相对其转动轴的向心加速度为多大？
(2) 大轮上距轴心的距离为 的C点相对其转动轴的向心加速度为多大？
10 （2024南通如皋统考）如图所示，一轿车以30 m/s的速率沿半径为60 m的圆弧形公路行驶，当轿车从A运动到B时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°，求：
(1) 此过程中轿车的位移大小；
(2) 此过程中轿车通过的路程；
(3) 轿车运动的向心加速度大小．
第3节　向心加速度
1. A　根据向心加速度的定义式可知，火车转弯时向心加速度为a＝.A正确．
2. A　根据v＝，ω＝可知，A、B两物体的线速度之比和角速度之比分别为 ＝，＝，根据a＝ω2r＝vω可得，A、B两物体的向心加速度之比为 ＝·＝×＝.A正确．
3. C　A、B属于同轴转动，角速度相等，周期相等，即ωA＝ωB，TA＝TB，根据v＝ωr，a＝ω2r可知，A点转动半径较大，则vA>vB，aA>aB.C正确．
4. A　依题意，每位同学绕同一个圆心转动，则角速度相同，A正确；每位同学均做匀速圆周运动，所受的合力提供向心力，不为零，B错误；根据v＝ωr可知，每位同学的速度大小不相同，C错误；根据a＝ω2r可知，每位同学的加速度大小保持不变，方向指向圆心，时刻改变，D错误．
5. D　因P、Q两点同轴转动，可知角速度和周期相等，A、B错误；根据v＝ωr可知P、Q两点线速度大小之比为1∶2，C错误；根据a＝ω2r可知P、Q两点向心加速度大小之比为1∶2，D正确．
6. C　P、Q两点以AB为共同转轴做圆周运动，则可知P的速度方向与其圆周运动的半径垂直，并不沿绳子切线，A错误；由于P、Q两点以AB为共同转轴做圆周运动，可知二者的角速度相等，由图可知，P的半径小于Q的半径，根据公式v＝ωr可知，P的线速度小于Q的线速度，B错误，C正确；P、Q等各点均同步在竖直面做匀速圆周运动，则合外力提供向心力，指向圆周运动的圆心，即P点所受合外力方向一定垂直于AB连线向下，D错误．
7. B　A、B、C三点通过同一链条传动，线速度大小相等，A正确；由ω＝ 可知，A、B两点的角速度大小不相等，且 ＝＝3，B错误，D正确；由a＝ 可知，A、B两点的向心加速度与飞轮、大齿盘半径成反比，C正确．故选B.
8. C　门上A、B两点的角速度相同，故A错误；因为ωA＝ωB，并且运动半径RA>RB，由v＝ωR可知vA>vB，故B错误；因为ωA＝ωB，并且运动半径RA>RB，由a＝ω2R可知aA>aB，故C正确；因为ωA＝ωB，由n＝ 可知nA＝nB，故D错误．
9. (1) 大轮边缘上的A点与小轮边缘上的B点的线速度相等，即vA＝vB，
又rA＝2rB，
根据a＝ 可得aB＝aA＝2aA＝0.24 m/s2.
(2) 因为C、A共轴，角速度相等，即ωC＝ωA，
又rC＝＝，
根据a＝ω2r可得aC＝aA＝0.04 m/s2.
10. (1) 由图可知，
v＝30 m/s，r＝60 m，θ＝90°＝，
轿车的位移为从初位置A指向末位置B的有向线段，其长度l＝r＝×60 m≈85 m.
(2) 路程等于弧长s＝rθ＝60× m≈94.2 m.
(3) 由公式an＝ 得an＝ m/s2＝15 m/s2.第3节　向心加速度
1. 理解向心加速度的概念．
2. 知道向心加速度和线速度、角速度的关系式．
3. 能够运用向心加速度公式求解有关问题．
1. 考察下面两个圆周运动实例，回答有关问题．
甲　　　　　　　　　　　　　乙
如图甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动．
(1)在做匀速圆周运动的过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？
(2)地球受到的力沿什么方向？小球受到的合力沿什么方向？
2. 理解向心加速度及其方向的特点．
(1)物体做匀速圆周运动时，速度方向不断改变，说明一定有加速度．
(2)做匀速圆周运动的物体，所受合力的方向总是　　　　，根据牛顿第二定律，其加速度的方向一定　　　　．这个加速度称为　　　　　　　　．
阅读教材“拓展学习：推导向心加速度公式”中的“向心加速度的方向”部分，体会微元法的思维特点．
(3)做匀速圆周运动的物体，其向心加速度恒定不变吗？
(4)我们知道，加速度是用来描述速度变化快慢的物理量，那么向心加速度又有怎样的物理意义呢？
1. 根据牛顿第二定律和向心力的表达式，可得向心加速度的表达式：an＝　　　　＝　　　　＝　　　　＝　　　　．
阅读教材“拓展学习：推导向心加速度公式”中的“向心加速度的大小”部分，并合上教材，尝试自己再推导一遍．
2. 有人说：根据an＝ 可知，向心加速度与半径成反比；根据an＝ω2r可知，向心加速度与半径成正比，这是矛盾的．你认为呢？
3. 自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点 A、B、C，如图所示．其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”；哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？给出解释．
1. 如图所示是甲、乙两球做圆周运动的向心加速度随半径变化的关系图线，下列说法中正确的是(　　)
A. 甲球线速度大小保持不变
B. 乙球线速度大小保持不变
C. 甲球角速度大小保持不变
D. 乙球角速度大小与半径成正比
2. 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的 .当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
3. 如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆．当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度 an的大小为多少？通过计算证明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω.
拓展：(1)如图所示，两根长度不同的轻细线下分别悬挂小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，分析两球的相对位置关系．
总结：若两圆周摆摆高相同，这两摆的　　　　、　　　　相同．
(2)据史料记载，拨浪鼓最早出现在战国时期，宋代小型拨浪鼓已成为儿童玩具．现有一拨浪鼓上分别系有长度不等的两根轻绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上．现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动，稳定两球在水平面内做周期相同的匀速圆周运动．下列各图中两球的位置关系正确的是（图中轻绳与竖直方向的夹角α<θ<β）(　　)
A B C D
1. 关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是(　　)
A. 与线速度方向始终相同　 B. 与线速度方向始终相反
C. 始终指向圆心　 D. 始终保持不变
2. 下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　)
A. 向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B. 向心加速度描述线速度方向变化的快慢
C. 在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D. 匀速圆周运动是匀变速曲线运动
3. 一小球被细线拴着做匀速圆周运动，若其轨道半径为R，向心加速度为a，则(　　)
A. 小球相等时间内的位移相同　
B. 小球的线速度大小为Ra
C. 小球在时间t内通过的路程为 　
D. 小球做圆周运动的周期为2π
4. 如图所示为皮带传动装置，OA＝O′C＝r，O′B＝2r，转动时皮带不打滑，则皮带轮上A、B、C三点的线速度vA、vB、vC，角速度ωA、ωB、ωC，向心加速度aA、aB、aC的大小关系是(　　)
A. ωB＝ωC>ωA B. vA＝vB>vC
C. aA＝aB>aC D. aC>aB>aA
（第4题） （第6题）
5. 做匀速圆周运动的两物体甲和乙质量相等，它们的向心加速度分别为a1和a2，轨道半径分别为R1和R2，且a1>a2、R1>R2，下列判断正确的是(　　)
A. 甲的线速度大于乙的线速度 B. 甲的角速度大于乙的角速度
C. 甲的周期小于乙的周期 D. 甲的向心力小于乙的向心力
6. 天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转．一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2).设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则(　　)
A. 两球运动的周期相等
B. 两球的向心加速度大小相等
C. A、B两球的线速度之比等于sin α∶sin θ
D. A、B两球的质量之比等于cos θ∶cos α
7. A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，它们的向心加速度之比是多少？
如图所示，将小球穿在硬杆上，硬杆与竖直轴线OO′的夹角为53°，使硬杆绕OO′匀速转动，此时小球相对于硬杆静止在某一位置上，且与硬杆之间没有摩擦，小球质量为0.1 kg，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2.求：
(1)杆对小球的弹力大小；
(2)小球做圆周运动的角速度ω与其离O点距离x的关系式．
9. 游乐场里的“飞天秋千”游戏开始前，座椅由钢丝绳竖直悬吊在半空，绳到转轴的距离为r.秋千匀速转动时，钢丝绳与竖直方向成某一角度θ，其简化模型如图所示．已知钢丝绳的长度为l，座椅质量为m，大小忽略不计．重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)钢丝绳所受拉力F的大小；
(2)秋千匀速转动的角速度ω；
(3)若要使钢丝绳与竖直方向的夹角θ增大，可采取哪些方法？（只要答对一种即可）
10. 根据a＝，Δv的方向即为Δt时间内平均加速度的方向，当Δt趋近于0时，Δv的方向即为某时刻瞬时加速度的方向．我们可以通过观察不断缩小的时间段内的平均加速度方向的方法，来逼近某点的瞬时加速度方向．图中圆弧是某一质点绕O点沿顺时针方向做匀速圆周运动的轨迹，若质点在Δt时间内从A点经过一段劣弧运动到B点．
(1)请用铅笔画出质点从A点起在时间t内速度变化量Δv的方向；
(2)请用铅笔画出质点经过A点时瞬时加速度aA的方向；
(3)根据a＝，证明匀速圆周运动的向心加速度an＝，其中v为线速度，r为圆运动半径．
第3节　向心加速度
【活动方案】
活动一：
1. (1)地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化．运动状态发生变化的原因是因为受到力的作用．
(2)地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心；小球受到的合力方向沿半径指向圆心．
2. (2)指向圆心　指向圆心　向心加速度
(3)由于向心加速度方向总是指向圆心，而圆周上不同位置指向圆心的方向是不同的，因而向心加速度的方向不断改变，不恒定．
(4)向心加速度描述的是线速度变化的快慢，由于向心加速度方向指向圆心，线速度方向沿切线方向，两者相互垂直，因而向心加速度只描述线速度的方向变化的快慢，不表示线速度的大小变化的快慢．
活动二：
1. 　ω2r　r　ωv
2. 不矛盾．说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下，说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾．
3. B、C两点向心加速度适用于“向心加速度与半径成正比”，A、B两点向心加速度适用于“向心加速度与半径成反比”．因为B、C两点属于同轴转动，角速度相等，ωB＝ωC，根据an＝ω2r，又rBrB，所以anA活动三：
1. A　从图像知，对甲：a与R成反比，由a＝ 知，当v一定时，a∝，故甲球线速度大小不变；对乙：a与R成正比，由a＝ω2R知，当ω一定时，a∝R，故乙球角速度一定．A正确．
2. 同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP.由向心加速度公式an＝ω2r，得 ＝，故aS＝aP＝×12 m/s2＝4 m/s2；又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ，由向心加速度公式an＝，得 ＝，故aQ＝aP＝2×12 m/s2＝24 m/s2.
3. 对小球由牛顿第二定律得mg tan θ＝man，
an＝g tan θ.
an＝rω2，r＝l sin θ，
解得cos θ＝.
故ω增大，cos θ减小，θ增大．
拓展：(1)由牛顿第二定律得mg tan θ＝mω2L sin θ，解得L cos θ＝，故小球与悬点的高度差H＝L cos θ＝.由H的表达式知，高度差与绳长没有关系，仅与ω有关，因两球转动的角速度相同，故两球处于同一高度．
总结：角速度　周期
(2)B
【检测反馈】
1. C　做匀速圆周运动的物体，它的向心加速度始终与线速度垂直且指向圆心，加速度的大小不变，方向时刻变化，所以C正确．
2. B　匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A错误，B正确；向心加速度的大小不变，方向时刻变化，匀速圆周运动是非匀变速曲线运动，故C、D错误．
3. D　做匀速圆周运动的小球，相等时间内的位移大小不变，但方向时刻在改变，故A错误；由公式a＝得v＝，故B错误；由v＝ 知Δl＝vΔt＝t，故C错误；由a＝R知T＝2π ，故D正确．
4. B　根据同皮带上各点线速度大小相等则有vA＝vB，根据同一转轴各点角速度相等，则有ωB＝ωC，根据v＝ωr，则有vB>vC，ωA>ωB，则有vA＝vB>vC，ωA>ωB＝ωC，所以A错误，B正确；根据a＝ω2r，则有aB>aC，根据a＝，则有aA>aB，则有aA>aB>aC，所以C、D错误．
5. A　根据向心加速度与线速度的关系有a＝，整理有v甲 ＝ ，v乙 ＝ ，由于a1>a2，R1>R2，则甲的线速度大于乙的线速度，A正确；根据向心加速度与角速度的关系有a ＝ rω2，整理有ω甲 ＝ ，ω乙 ＝ ，由于甲、乙两物体的向心加速度、做圆周运动的半径不明确，则无法判断它们角速度的大小关系，B错误；由选项B可知，甲、乙两物体的角速度的大小关系未知，从而也无法判断出它们的周期关系，C错误；根据向心力与向心加速度的关系有F向甲 ＝ ma1，F向乙 ＝ ma2，则甲的向心力大于乙的向心力，D错误．
6. A　设圆环P到圆周运动轨迹的圆心的高度为h，对小球B由牛顿第二定律有mBg tan θ＝mBω2h tan θ，可知ω＝，两球角速度相等，两球的周期相等，故A正确；由于向心加速度a＝ω2r＝r，由于A、B两球的运动半径r不同，可得向心加速度大小不相等，故B错误；由公式v＝ωr，又rA＝h tan α，rB＝h tan θ，可得A、B两球的线速度之比＝＝，故C错误；绳子上的拉力处处相等，则有＝，可得＝，故D错误．
7. 根据线速度定义式v＝，已知在相同时间内它们通过的路程之比是4∶3，则线速度大小之比为4∶3；根据角速度定义式ω＝，运动方向改变的角度等于圆周运动转过的角度，相同时间内它们转过角度之比为3∶2，则角速度之比为3∶2；根据向心加速度公式an＝vω，结合线速度之比为4∶3，角速度之比为3∶2，则向心加速度之比为 2∶1.
8. (1)竖直方向由平衡条件可得
FNsin 53°＝mg，解得FN＝1.25 N．
(2)水平方向有FNcos 53°＝mω2r，
其中r＝x sin 53°，
解得ω＝ rad/s.
9. (1)座椅做匀速圆周运动时，由重力和钢丝绳的拉力的合力提供向心力， 如图所示，钢丝绳的拉力大小为F＝.
(2)座椅做匀速圆周运动的半径为
R＝r＋l sin θ，
由mg tan θ＝mω2R，得ω＝.
(3)增大转速(角速度)或增加钢丝绳的长度，可以增加钢丝绳与竖直方向的夹角．
10. (1)根据三角形定则，可知质点从A点起在时间Δt内速度变化量Δv的方向，如图所示．
(2)质点经过A点时瞬时加速度aA的方向如图所示．
(3)设在很短时间Δt内从A运动到B，此过程中速度变化为Δv，因为△OAB∽△BDC，
则 ＝，
当Δt→0时AB＝，则
v＝，a＝，
则a＝.(共44张PPT)
第六章
第3节　向心加速度
圆周运动
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．理解向心加速度的概念．
2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式．
3．能够运用向心加速度公式求解有关问题．
活 动 方 案
活动一：探究向心加速度的方向
1．考察下面两个圆周运动实例，回答有关问题．
如图甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动．
甲　　　　　　　　　　　　　　　乙
(1)在做匀速圆周运动的过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？
【答案】地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化．运动状态发生变化的原因是因为受到力的作用．
(2)地球受到的力沿什么方向？小球受到的合力沿什么方向？
【答案】地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心；小球受到的合力方向沿半径指向圆心．
2．理解向心加速度及其方向的特点．
(1)物体做匀速圆周运动时，速度方向不断改变，说明一定有加速度．
(2)做匀速圆周运动的物体，所受合力的方向总是____________，根据牛顿第二定律，其加速度的方向一定____________．这个加速度称为______________．
指向圆心
指向圆心
向心加速度
阅读教材“拓展学习：推导向心加速度公式”中的“向心加速度的方向”部分，体会微元法的思维特点．
(3)做匀速圆周运动的物体，其向心加速度恒定不变吗？
【答案】由于向心加速度方向总是指向圆心，而圆周上不同位置指向圆心的方向是不同的，因而向心加速度的方向不断改变，不恒定．
(4)我们知道，加速度是用来描述速度变化快慢的物理量，那么向心加速度又有怎样的物理意义呢？
【答案】向心加速度描述的是线速度变化的快慢，由于向心加速度方向指向圆心，线速度方向沿切线方向，两者相互垂直，因而向心加速度只描述线速度的方向变化的快慢，不表示线速度的大小变化的快慢．
活动二：探究向心加速度大小的表达式
1．根据牛顿第二定律和向心力的表达式，可得向心加速度的表达式：an＝______＝________＝________＝________．
ω2r
ωv
阅读教材“拓展学习：推导向心加速度公式”中的“向心加速度的大小”部分，并合上教材，尝试自己再推导一遍．
【答案】不矛盾．说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下，说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾．
3．自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点 A、B、C，如图所示．其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”；哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？给出解释．
活动三：理解与应用向心加速度公式
1．如图所示是甲、乙两球做圆周运动的向心加速度随半径变化的关系图线，下列说法中正确的是 (　　)
A．甲球线速度大小保持不变
B．乙球线速度大小保持不变
C．甲球角速度大小保持不变
D．乙球角速度大小与半径成正比
【答案】A
3．如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆．当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度 an的大小为多少？通过计算证明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω．
【答案】对小球由牛顿第二定律得mg tan θ＝man，
an＝g tan θ．
an＝rω2，r＝l sin θ，
故ω增大，cos θ减小，θ增大．
拓展：(1)如图所示，两根长度不同的轻细线下分别悬挂小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，分析两球的相对位置关系．
总结：若两圆周摆摆高相同，这两摆的_________、_______相同．
角速度
周期
(2)据史料记载，拨浪鼓最早出现在战国时期，宋代小型拨浪鼓已成为儿童玩具．现有一拨浪鼓上分别系有长度不等的两根轻绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上．现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动，稳定两球在水平面内做周期相同的匀速圆周运动．下列各图中两球的位置关系正确的是(图中轻绳与竖直方向的夹角α＜θ＜β)(　　)
【答案】B
检 测 反 馈
1．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是 (　　)
A．与线速度方向始终相同　 B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心　 D．始终保持不变
【解析】做匀速圆周运动的物体，它的向心加速度始终与线速度垂直且指向圆心，加速度的大小不变，方向时刻变化，所以C正确．
1
【答案】C
2．下列关于向心加速度的说法中正确的是 (　　)
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
【解析】匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A错误，B正确；向心加速度的大小不变，方向时刻变化，匀速圆周运动是非匀变速曲线运动，故C、D错误．
2
【答案】B
3．一小球被细线拴着做匀速圆周运动，若其轨道半径为R，向心加速度为a，则 (　　)
A．小球相等时间内的位移相同　
B．小球的线速度大小为Ra
3
【答案】D
3
4．如图所示为皮带传动装置，OA＝O′C＝r，O′B＝2r，转动时皮带不打滑，则皮带轮上A、B、C三点的线速度vA、vB、vC，角速度ωA、ωB、ωC，向心加速度aA、aB、aC的大小关系是 (　　)
A．ωB＝ωC＞ωA
B．vA＝vB＞vC
C．aA＝aB＞aC
D．aC＞aB＞aA
4
【答案】B
4
5．做匀速圆周运动的两物体甲和乙质量相等，它们的向心加速度分别为a1和a2，轨道半径分别为R1和R2，且a1＞a2、R1＞R2，下列判断正确的是 (　　)
A．甲的线速度大于乙的线速度
B．甲的角速度大于乙的角速度
C．甲的周期小于乙的周期
D．甲的向心力小于乙的向心力
5
【答案】A
5
6．天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转．一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B (m1≠m2)．设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则 (　　)
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等
C．A、B两球的线速度之比等于sin α∶sin θ
D．A、B两球的质量之比等于cos θ∶cos α
6
6
【答案】A
6
7．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，它们的向心加速度之比是多少？
7
8．如图所示，将小球穿在硬杆上，硬杆与竖直轴线OO′的夹角为53°，使硬杆绕OO′匀速转动，此时小球相对于硬杆静止在某一位置上，且与硬杆之间没有摩擦，小球质量为0.1 kg，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2．求：
(1)杆对小球的弹力大小；
(2)小球做圆周运动的角速度ω与其离O点距离
x的关系式．
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8
【答案】(1) 竖直方向由平衡条件可得
FNsin 53°＝mg，解得FN＝1.25 N．
(2)水平方向有FNcos 53°＝mω2r，
其中r＝x sin 53°，
9．游乐场里的“飞天秋千”游戏开始前，座椅由钢丝绳竖直悬吊在半空，绳到转轴的距离为r．秋千匀速转动时，钢丝绳与竖直方向成某一角度θ，其简化模型如图所示．已知钢丝绳的长度为l，座椅质量为m，大小忽略不计．重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)钢丝绳所受拉力F的大小；
(2)秋千匀速转动的角速度ω；
(3)若要使钢丝绳与竖直方向的夹角θ增大，可采
取哪些方法？(只要答对一种即可)
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(1)请用铅笔画出质点从A点起在时间t内速度变化量Δv的方向；
(2)请用铅笔画出质点经过A点时瞬时加速度aA的方向；
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【答案】(1)根据三角形定则，可知质点从A点起在时间Δt内速度变化量Δv的方向，如图所示．
(2)质点经过A点时瞬时加速度aA的方向如图所示．
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(3)设在很短时间Δt内从A运动到B，此过程中速度变化为Δv，因为△OAB∽△BDC，
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