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天津市经开区国际学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
3．下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（　　）
A． B．
C． D．
4．将两把直尺如图放置，若∠2＝125°，则∠1的度数等于（　　）
A．115° B．125° C．135° D．145°
5．已知如图中的两个三角形全等，则∠α度数等于（　　）
A．45° B．50° C．60° D．70°
6．已知点A（2，3m+1）关于x轴的对称点为点B（n﹣2，﹣4），则m+n的值为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，AB＝AC，BC边的中点D处挂了一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否过A点，如果过A点，那么这根木条就是水平的，他作出判断的依据是（　　）
A．垂线段最短
B．三角形三条高所在的直线交于一点
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．等腰三角形“三线合一”
8．如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
9．下列条件中一定能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．∠A＝∠D，AB＝DE，BC＝EF
C．AB＝FE，∠A＝∠E，∠B＝∠F D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF
10．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　）
A．AF＝BF B．∠AFD+∠FBC＝90°
C．DF⊥AB D．∠BAF＝∠CAF
11．如图，在△ABC中，BA＝AC＝20厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为（　　）厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
A．2或2.5 B．2.5或3 C．2或3 D．3或3.5
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC 于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中，①∠AMD＝45°；②AC＝BE；③MC+EM＝NE；④S△ACD＝2S△DNE.正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是 　 　 ．
14．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣4），AB的长是12，则△ABD的面积为　 　 ．
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数 　 　 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，D为BC中点，则线段AD的取值范围是 　 　 ．
17．如图，△ABC的顶点分别为A（0，3），B（﹣4，0），C（2，0），且△BCD与△ABC全等（点D与点A不重合），则点D坐标可以是 　 　 ．
18．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，作△ABC的中线BD．
（2）在图②中，在AB边上找一点E，连结CE，使△BCE的面积为．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）a，b，c满足|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|．
20．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，∠B＝∠E．请加一个条件 　 　 使得△ABC≌△DEF，并写出证明过程．
21．如图，在△ABC中，∠B＝76°，∠C＝44°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，求∠AEC与∠DAE的度数．
22．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（2）点B2、C2分别是点B、C关于x轴对称的点，点B2的坐标为　 　 ，点C2的坐标为　 　 ，△ABC的面积为　 　 ．
23．已知：线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE＝CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）求证：BO＝DO．
24．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若BC＝6，BE＝4，求DF的长．
25．已知：等边△ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A、B不重合，点D在CB延长线上，且ED＝EC，确定AE与BD大小关系．
（1）当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，并证明你的结论．
（2）如图2，当E不是AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明．
（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，△ABC的边长为2，AE＝4，请直接写出CD的长．
天津市经开区国际学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D B D B C D D D D A
题号 12
答案 B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．4cm．
14．24．
15．65°或25°．
16．1＜AD＜8．
17．（﹣2，3）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
18．（1）如图①，中线BD即为所求；
（2）如图②，点E即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解：（1）∵|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，
∴根据非负数的性质，a﹣b＝0，b﹣c＝0，
解得a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
即△ABC为等边三角形；
（2）∵△ABC的三边长分别为a，b，c，
∴根据三角形的三边关系得，a﹣b＜c，b﹣c＜a，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，a+b﹣c＞0，
则|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|﹣|a+b﹣c|
＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣c﹣a）﹣（a+b﹣c）
＝﹣a+b+c﹣b+c+a﹣a﹣b+c
＝﹣a﹣b+3c．
则|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|的值为﹣a﹣b+3c．
20．解：添加一个条件AB＝DE（答案不唯一），使得△ABC≌△DEF，理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．
21．解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝76°，∠C＝44°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣76°﹣44°
＝60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE
＝76°+30°
＝106°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°．
∴∠BAD＝90°﹣∠B
＝90°﹣76°
＝14°．
∵∠BAD+∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD
＝30°﹣14°
＝16°．
22．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）∵点B2、C2分别是点B、C关于x轴对称的点，
∴点B2的坐标为（4，﹣2），点C2的坐标为（3，﹣4），△ABC的面积＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3＝，
故答案为：（4，﹣2），（3，﹣4），；
23．证明：（1）∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝EC，
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AFB＝∠DEC＝90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；
（2）由（1）Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴BF＝DE，
在△BFO和△DEO中，
，
∴△BFO≌△DEO（AAS），
∴BO＝OD．
24．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：∵△BAD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠ABC＝∠C＝∠DBA，
即∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝CE，
∵BC＝6，BE＝4，
∴DF＝CE＝BC﹣BE＝2．
25．解：（1）AE＝DB，
理由如下：∵△ABC为等边△，AE＝BE，
∴CE平分∠ACB，CE⊥AE，
∵DE＝CE，
∴∠D＝∠ECB＝30°，
∴∠DEC＝120°，
∵∠CEB＝90°，
∴∠D＝∠DEB＝30°，
∴DB＝EB＝AE；
（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系不会改变．
理由如下：如图2，过E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD；
（3）当点E在BA延长线上时，如图3，作EF∥BC交CA的延长线于F，
则△AEF为等边三角形，
∴AF＝AE＝EF＝4，∠BEF＝60°，
∴∠CEF＝60°+∠BEC，
∵∠EDC＝∠ECD＝∠B°+∠BEC＝60°+∠BEC，
∴∠CEF＝∠EDB，
∵EB＝CF＝6，∠CEF＝∠EDB，∠F＝∠B＝60°，
∴△CEF≌△EDB（AAS），
∴BD＝EF＝4，
∴CD＝BD﹣BC＝2，
如图4，仿照以上作法可知，CD＝6，
综上所述，CD＝2或6．

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