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高青县2025年中考数学一模试卷平行卷
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一条不完整的数轴上两个点表示的数分别是和，则可能是（ ）

A．4 B．2 C． D．
3．500米口径球面射电望远镜，简称，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”.望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一.将0.00519用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的半径为5，若，则经过点P的弦长可能是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
7．小明准备用下面左图所示的纸片做一个正方体礼品盒．为了美观，他想在六个正方形纸片上画上图案，使礼盒三组对面的图案相同，下列所画图案正确的是（ ）
B．
C． D．
8．数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了两张卡片，则小涵抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为（ ）
A． B． C． D．
9.下列命题是真命题的是（ ）
A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角
C．若，则 D．若，则且
10．如图，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②连结AC、BC；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB＝a；以上画法正确的顺序是（　　）
A．①②③④ B．①④③② C．①④②③ D．②①④③
第II卷（非选择题）
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．如图，根据所示的拼图过程，因式分解： ．
13．在同一平面内有2010条直线a1，a2，…，a2010，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2010的位置关系是 ．
14．两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往地，同时乙步行从地出发前往A地．如图的折线和线段分别表示甲、乙两人与A地的距离与时间之间的函数关系，且与相交于点．下列说法：
①与的函数关系是；
②点表示甲、乙同时出发0.5小时相遇；
③甲骑自行车的速度是18千米/小时；
④经过或小时，甲、乙两人相距5千米．
其中正确的有 （填序号）
15．如图，正方形ABCD的边长为，点E、F分别为边AD、CD上一点，将正方形分别沿BE、BF折叠，点A的对应点M恰好落在BF上，点C的对应点N给好落在BE上，则图中阴影部分的面积为 ；
三、解答题（共8小题，共90分，请写出必要的解答过程）
16．（1）计算：．
（2）解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解．
17．如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接，则四边形是菱形；
乙：若连接，则是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
18．知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.周末，小强一家到两处景区游玩，他们从家处出发，向正西行驶160到达处，测得处在处的北偏西15°方向上，出发时测得处在处的北偏西60°方向上
（1）填空： 度；
（2）求处到处的距离即的长度（结果保留根号）
19．为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况．
信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32；
乙的得分情况：24，28，24，28，28，27．
信息2：
信息3：技术统计表
队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差
甲 26 32 m 9
乙 n 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）；
(2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？
(3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？
20．阅读下列一段文字，然后回答问题．
已知在平面内两点、，其两点间的距离，且当两点间的连线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．
(1)已知一个三角形各顶点坐标为、、，则此三角形的形状是__________．
(2)在（1）的条件下求解：在平面直角坐标系中，在轴上找一点，使的长度最短，求出的最短长度．
(3)利用该题提供的方法求解：若、两点为坐标分别为和，点是轴上一个动点，当为等腰三角形时，求点的坐标．
21．如图，为的直径，过的中点D，于点E．

(1)求证：为的切线：
(2)若，求的直径
(3)在（2）的条件下，的平分线交于点F，交于点G，求的值．
22．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．

(1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
23．已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧．点的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；
(4)抛物线是否存在点，使，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由
(5)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由．
(6)若，，三点都在抛物线上且总有请直接写出的取值范围．
试卷第1页，共3页
《高青县2025年中考数学一模试卷平行卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C D A C B D B
11．且
12．
13．垂直
14．②③
15．
16．解：（1）原式
；
（2），
解不等式得：，
解不等式得：，
把和在数轴上表示为：
原不等式组的解集为：，
原不等式组的正整数解1、2、3、4．
17．证明：选择甲：如图1，
∵，是的中点．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
选择乙：如图，连接、，交于，
∵，是的中点．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴是直角三角形．
18．解：（1）
故答案为：45；
（2）解：过点作于点
在中，
∴（）
在中，
∴（）
答：处到处的距离即的长度是
19．（1）解：甲的得分从小到大排列：14，20，28，30，32，32，
∴中位数；
乙的得分情况：24，28，24，28，28，27，
∴；
篮板箱线图（即箱线图）中，箱体的长度越大，通常表示数据的方差越大，
可知，
故答案为：29，28，；
（2）解：甲：，
乙：，
∵，
∴甲队员表现更好．
（3）解：根据篮板的方差，甲的方差大于乙，说明乙在篮板方面表现的更好．
（①根据得分或篮板的最大值，甲的最大值均高于乙，所以甲更有爆发力；②根据得分中位数，甲得分的中位数高于乙，说明甲在排除最低分的影响后，甲在大多数比赛中的得分比乙更高；③根据篮板的中位数，乙高于甲，说明乙在大部分场次的篮板表现更好等．分析合理即可．）
20．（1）解：∵、、，
∴，
，
，
∵，
∴为等腰三角形；
（2）解：作点F关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，如图所示：
根据轴对称可知，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
∵点F与点关于x轴对称，
∴点，
∴，
即的最小值为；
（3）解：设点Q的坐标为，
当时，，
解得：，
此时点Q的坐标为；
当时，，
解得：或（舍去），
此时点Q的坐标为；
当时，，
解得：或，
此时点Q的坐标为或；
综上分析可知，点Q的坐标为或或或．
21．（1）解：如下图所示，连接，

∵点D是的中点，点O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴为的切线；
（2）解： ∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴
∴，
∴,
∴，
∴的直径为10．
（3）解：如下图所示，连接，
∵是的平分线，，
∴，

∴,
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．（1）解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒，
，
，
∵B在的垂直平分线上，
，
，
解得，
∴当时，点B在的垂直平分线上；
（2）∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒，
，
，
，
∵四边形是矩形，
，
由勾股定理得，
，
即
解得，，
舍去
∴当时，的长度等于；
（3）由题意得，，
的面积等于，
，
，
化简得
或
舍去，
∴当时，使得的面积等于．
23．（1）解：∵的坐标为，
∴，
∵，点在轴下方，
∴，
∵将代入抛物线的解析式，
可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）得，
令，则
即
如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．
∵，
∴
∴
设直线的解析式为：，
∵，
∴
解得，
∴直线的解析式为：，
则的对称轴是直线，
∴当时，，
∴点Q的坐标是；
（3）解：如图1所示，过点作轴，交于点，
∵该抛物线的对称轴为，，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
∵将代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为3，
∴的最大面积，
∴，
∴四边形的面积的最大值为；
（4）解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴
∴,，
∵，
∴，即到的距离为，
∴，
∵
∴
∵直线的解析式为，
∴
解得：
∴，
∵，
∴到的距离为，
由（3）可得的最大面积为小于
∴点在直线的上方，
过点作，且，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点，
∴，，
∴
∴
∴
∴
∴即
依题意，在过点且平行于的直线上，
设直线的解析式为，代入
∴，
解得：，
∴
联立
消去得，
解得：
即点的横坐标为或；
（5）解：存在，理由如下：
①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形，
∵，令，
∴，
∴；
②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形，
∵，
∴的纵坐标均为3，
令，可得，
解得，
∴．
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或．
（6）抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，，
，
即，
解得，
，
，
解得，
．
答案第1页，共2页

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