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2025-2026学年山西省晋中市榆次区现代双语学校等校高一（下）月考数学试卷（5月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数，则z的虚部为（　　）
A. B. C. D.
2.已知某圆锥的底面积为4π，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（　　）
A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π
3.设m,n,l是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（　　）
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m∥α，m∥β，则α∥β
C. 若m∥β，m α，α∩β=l,则m∥l D. 若α∥β，m α，n β，则m∥n
4.如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则图形的周长是（　　）
A. B. C. 8cm D. 16cm
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若c+acosB=bcosA，则此三角形的形状为（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（），=（cosA，sinA），若，则acosB+bcosA=csinC，则角B=（　　）
A. B. C. D.
7.已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在一半球底面上，且A，B，C，D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（　　）
A. B. C. D.
8.已知△ABC的外接圆圆心为E，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=4，b2-24cosA=6acosC，若，则=（　　）
A. 8 B. 13 C. 16 D. 32
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知i为虚数单位，复数z1=1+2i,z2=2-i,则（　　）
A. z1的共轭复数为-1+2i B. |z1|=|z2|
C. z1+z2为实数 D. z1 z2在复平面内对应的点在第一象限
10.图柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（　　）
A. 圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等
B. 圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为
C. 圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为
D. 圆柱内切球的体积与圆柱体积比为
11.已知平面内三个向量，，满足，且，∠AOB=120°，给出下列四个结论：其中正确的是（　　）
A. 若λ=μ=1，则射线OC平分∠AOB
B. 若μ=1，则的最小值为
C. 若λ=-2，μ=-4，则△AOC面积是△AOB面积的4倍
D. 若，λ+μ=2，设点C到OA所在直线的距离为d，则d的取值范围为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若与夹角为钝角，则实数m的取值范围为
13.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2AC=2BC=4，Q点为棱AC的中点，一只虫子由表面从Q点爬到B1点的最近距离为 .
14.在△ABC中，，过点D的直线分别交直线AB，AC于点E，F，且，，其中m＞0，n＞0，则2m+n的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量满足，其中m∈R.
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求向量与的夹角的大小.
16.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=3.
（1）若，，求sin∠BDC的值；
（2）若CD=1，cosA=3cosC，求△ABD的面积.
17.(本小题15分)
如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2.
（1）求证：E、F、G、H四点共面；
（2）设FG与HE交于点P，求证：P、A、C三点共线.
18.(本小题17分)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且满足2acosB+b=2c,a=5.
（1）求A；
（2）若△ABC为锐角三角形，求周长的取值范围；
（3）若△ABC的内切圆半径，求△ABC的面积S.
19.(本小题17分)
“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当△ABC的三个内角均小于120°时，满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且acosC+asinC-b-c=0.
（1）求A；
（2）已知a=1，点M为△ABC的费马点.
（i）若∠ABC=45°，记∠MBC=θ，求tanθ；
（ii）求的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】（-∞，-2）
13.【答案】5
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，
若，则m-1=-2×（-4）=8，
所以m=9；
（2）若，，
则=-4（m-1）-2=0，
所以m=，=（3，-5），
设向量与的夹角为α，
则（） =-17，|2-|==，||==，
故cosα==-，
由0≤α≤π，
故．
16.【答案】
17.【答案】证明：（1）△ABD中，∵E、F为AD、AB中点，∴EF∥BD．
△CBD中，BG：GC=DH：HC=1：2，
∴GH∥BD，∴EF∥GH（平行线公理），
∴E、F、G、H四点共面．
（2）∵FG∩HE=P，P∈FG，P∈HE，
∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，
又平面ABC∩平面ADC=AC，
∴P∈直线AC．
∴P、A、C三点共线．
18.【答案】；
；
．
19.【答案】 （i）；（ii）
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