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2025-2026学年辽宁省大连市沙口区育明高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.cos135°的值为（　　）
A. B. C. D.
2.若复数，则|z|=（　　）
A. 5 B. 4 C. D. 2
3.函数图象的对称中心是（　　）
A. B.
C. D.
4.若，则tanα=（　　）
A. B. 2 C. D. -2
5.已知，，则=（　　）
A. B. C. D.
6.由瑞士著名建筑大师马里奥 博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体ABCD-A1B1C1D1是该建筑的直观图，当身高为hm人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点N处（AB的延长线上）时可以估测B1点、C1点的仰角，现测得楼宽BC长为am,此人估测得B1点的仰角为α，C1点的仰角为β，则估测教学楼的高BB1为（　　）（单位：m）
A. B.
C. D.
7.已知函数，x∈R.若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　）
A. B. C. D.
8.若O是△ABC垂心，且，则m=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　）
A. f（x）的解析式可以为
B. 将f（x）图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到g（x）的图象，则
C. f（x）的对称中心为
D. 若，则
10.下列说法正确的是（　　）
A. 若，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（-∞，5）
B. 平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为
C. 若O是△ABC的外心，且AB=3，AC=5，则
D. 平面向量，，满足，且，则△ABC为等腰三角形
11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，下列结论正确的是（　　）
A. B. 若a=4，b=5，则△ABC有两解
C. 当时△ABC为直角三角形 D. cosA+cosC的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知tanα=3，则= .
13.若sin2α=，sin（β-α）=，且α∈[，]，β∈[π，]，则α+β=______．
14.已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，满足||=，||=2，（2-3）⊥（2+）.
（1）求向量，所成的角θ的大小；
（2）若|+λ|=3，求实数λ的值.
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，
（1）求角A的大小；
（2）若D为BC中点，，b=3c,求边a；
（3）若△ABC为锐角三角形，且a=2，求△ABC的周长最大值.
17.(本小题15分)
已知向量，，其中0＜ω＜2，设函数，且.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若，求的值；
（3）若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.
18.(本小题17分)
已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围；
（3）将函数f（x）的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再保持图像上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到函数g（x）的图像，若存在非零常数λ，对任意x∈R，
有g（x+λ）=λg（x）成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
定义：设O为坐标原点，若非零向量，函数f（x）的解析式满足f（x）=asinx+bcosx,则称f（x）为的伴随函数，为f（x）的伴随向量.
（1）若向量为函数的伴随向量，求的坐标；
（2）若函数f（x）为向量的伴随函数，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,f（C）恰好为函数f（x）的最大值.
（ⅰ）若，∠ACB的角平分线交AB于点D，c=2，求CD的最大值；
（ⅱ）若，在锐角△ABC中，求的范围.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】CD
11.【答案】AC
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由得：
=；
∴；
∴；
∴所成的角；
（2）由，可得；
即；
∴．
16.【答案】 6
17.【答案】 （-∞，1）
18.【答案】解：（1）函数=2[1-cos（+x）]sinx+cos2x-sin2x-1
=2sinx+2sin2x+cos2x-1=2sinx+2×+cos2x-1=2sinx，
∴故函数f（x）的最小正周期T=2π．
（2）由f（x）=2sinx，可得f（ωx）=2sinωx，
由，得，
∴f（ωx）的递增区间为，
∵f（ωx）在上是增函数，
∴当k=0时，有．
∴，解得，
∴ω的取值范围是．
（3）将函数f（x）的图像向左平移个单位，可得y=2sin（x+）的图象；
然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得y=2sin（2mx+）的图象；
再保持图像上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到函数g（x）=sin（2mx+）的图像．
由于存在非零常数λ，对任意的x∈R，g（x+λ）=λg（x）成立，
g（x+λ）在R上的值域为[-1，1]，λg（x）在R上的值域为[-|λ|，|λ|]，∴|λ|=1，
当λ=1时，g（x+1）=g（x），1为g（x）的一个周期，即1为g（x）最小正周期的整数倍，
所以，即m=kπ（k∈Z且k≠0）．
当λ=-1时，，
由诱导公式可得2m=（2n+1）π，n∈Z，即，
综上，当λ=1时，m=kπ（k∈Z且k≠0）；当λ=-1时，．
19.【答案】 （ⅰ）；（ⅱ）
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