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2025-2026学年吉林省长春市朝阳区东北师范大学附属中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共32分。
1.设函数f（x）=lnx+sinx,则f′（x）=（　　）
A. B. C. D.
2.已知数列{an}的前4项为4，11，30，85，则{an}的通项公式可以是（　　）
A. an=7n-3 B. C. D.
3.若函数y=f（x）满足，则f′（3）=（　　）
A. -1 B. C. 1 D. 2
4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S5=15，S10=50，则S15=（　　）
A. 65 B. 85 C. 105 D. 125
5.某社团现有成员5人，其中男生3人，女生2人，随机抽两人进行“纳新”推介，则抽取的两人都为女生的概率是（　　）
A. 0.6 B. 0.3 C. 0.1 D. 0.05
6.已知曲线f（x）=x3-x的一条切线过点（2，m），且与直线y=11x+1平行，则m=（　　）
A. 6 B. 23 C. 6或38 D. 23或38
7.若函数f（x）=（x+1） 2kx在（2，4）上单调递增，则实数k的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
8.定义在R上的奇函数f（x）单调递减，数列{an}满足a1=3，a2=9，a3=27，若，则=（　　）
A. 0 B. 39 C. 3 D. 12
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某人结合当前市场主线和政策产业催化，投资了“中际旭创”和“长江电力”两支股票，每股收益的分布列如下表，则下列说法正确的是（　　）
股票“中际旭创”收益分布列
收益X -2 0 4
概率 0.2 0.3 0.5
股票“长江电力”收益分布列
收益Y 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
A. 投资股票“中际旭创”的收益期望为1.5
B. 投资股票“长江电力”的收益期望为1
C. 投资股票“中际旭创”比投资股票“长江电力”的风险低（即方差小）
D. 投资股票“长江电力”比投资股票“中际旭创”的风险低（即方差小）
10.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2=3，S5-S3=24，下列结论正确的是（　　）
A. 数列{an}的通项公式为
B. 数列{lgan}的通项公式为
C. 数列的前n项和为An，则数列{An}为递增数列
D. 数列的前n项积为Bn，则数列{Bn}为递减数列
11.2026年3月“伊以冲突”到达“白热化巅峰期”，伊朗平均每天进行2-3波反击，单波发射数十架无人机做诱饵压制防空，再利用发射若干导弹对目标进行摧毁，策略是打赢和打瘫.据统计，伊朗主要采用了两种导弹作战：加德尔常规导弹和海巴尔高精导弹.不妨将两种导弹分别记为A、B，已知两种导弹命中目标的概率分别为pA，pB，（pA，pB∈（0，1）），假设在某波反击中两种导弹各发射10枚，每次发射的结果相互独立，击中目标的个数分别为XA，XB，则下列结论正确的是（　　）
A. 若pA＜pB，则E（XA）＜E（XB）
B. P（XA=7且XB=7）≠P（XA=7且XB=8）
C. 若，则D（XA）＞D（XB）
D. 若当且仅当k=8时，P（XB=k）（k=0，1，2，…10）取得最大值，则
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布N（176，72），现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm.估计可以备选的男生人数约为 人.（四舍五入取整数）
参考数据：若X N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.
13.设函数f（x）=ln（2x-1）在点（1，f（1））处的切线恰与曲线y=x2+m相切，则实数m的值为 .
14.对于数列，记Δan=an+1-an，对于k∈N*，记，规定：Δ0an=an，Δ1an=Δan，称{Δkan}为数列{an}的k阶差数列.若{an}的一阶差数列为等比数列，a1=1，a2=4，a3=13，{bn}的二阶差数列为常数列，常数为4，b1=-2，b2=0，则数列{an bn}的通项公式为 ，数列的前n项和为 .
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
已知函数f（x）=a（ex+a）-x.
（1）若f′（0）=1，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性.
16.(本小题12分)
设数列{an}的前n项和为.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，求数列{bn}的前n项和Rn.
17.(本小题12分)
如图1，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=4，点M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩MN=O，沿直线MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P-ABMND.
（1）证明：PA⊥DB；
（2）若，求平面PAD与平面PBM夹角的余弦值.
18.(本小题12分)
某校高中三个年级每个年级择优选拔了10名学生，参加全校的“五育数学知识”竞答比赛，比赛设置了多选题环节，每道题都有四个选项，其中正确选项有2个或3个，要求至少选择一个选项，得分规则如下：若正确选项有2个，只选一个且为正确选项得3分，选两个且为正确选项得6分，若选择的选项中有一个错误选项得-1分，选择的选项中有两个错误选项得-2分；若正确选项有3个，只选一个且为正确选项得2分，选两个且为正确选项得4分，选三个且为正确选项得6分，若选项中有一个错误选项得-1分.学生小明对其中的一道多选题完全不会，这道题恰有两个正确选项的概率为p（0＜p＜1），记X为小明随机选择1个选项的得分，Y为小明随机选择2个选项的得分.
（1）当时，求X=2的概率；
（2）试探究是否存在概率p（0＜p＜1），使得E（X）＞E（Y），若存在求出概率p的取值范围；若不存在，说明理由.
19.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点P（1，3）的动直线与抛物线C相交于A，B两点，
（i）在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在某定直线上；
（ii）是否存在与点P不同的定点M，使得恒成立？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】23
13.【答案】-1
14.【答案】（n2-2n）（3n-1）

15.【答案】2 当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（-∞，-lna）上单调递减，在（-lna，+∞）上单调递增
16.【答案】
17.【答案】证明：∵点M，N分别是边BC，CD的中点，
∴由中位线定理得MN∥BD，由菱形性质得AC⊥BD，
则AC⊥MN，即AO⊥MN，作OG⊥面ABCD，
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，
∵∠DAB=60°，AB=4，∴BD=4，由中位线性质得MN=2，
而∠DCB=60°，则，由余弦定理得，
得到，则，设AC∩BD=Q，
由菱形的性质得，得到，BQ=DQ=2，
可得，，设P（x，y，z），
则，，由折叠性质得OP⊥MN，
∵MN∥BD，∴OP⊥BD，得到-4y=0，解得y=0，
此时P（x，0，z），得到，
可得，故PA⊥DB得证
18.【答案】 存在，
19.【答案】y2=4x （i）由题意知，过点P的动直线的斜率不可能为0，设其方程为x=m（y-3）+1，A（x1，y1）、B（x2，y2）、Q（x0，y0），
联立，消去x得，y2-4my+12m-4=0，
则Δ=16m2-4（12m-4）=16（m2-3m+1）＞0，即m2-3m+1＞0，
所以y1+y2=4m，y1y2=12m-4，
由，得，即|3-y1| |y2-y0|=|3-y2| |y1-y0|，
因为点Q在线段AB上，所以y2-y0与y1-y0异号，
所以（3-y1）（y2-y0）=（3-y2）（y0-y1），
即3y2-3y0-y1y2+y0y1=-3y1+3y0+y1y2-y0y2，
整理得2y1y2-（y0+3）（y1+y2）+6y0=0，
所以2（12m-4）-（y0+3）×4m+6y0=0，解得，
所以，
所以，
故Q总在定直线2x-3y+2=0上．
（ii）存在，M
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