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2025-2026学年甘肃省陇南州宕昌一中、二中、两当一中高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z=i2-i5，则z的虚部为（　　）
A. 1 B. i C. -1 D. -i
2.若α，β满足，则β可以是（　　）
A. B. C. D. π
3.在△ABC中，若c-acosB=（2a-b）cosA，则△ABC的形状一定是（　　）
A. 等腰三角形 B. 等腰或直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 不含60°的直角三角形
4.已知，则tan2α=（　　）
A. -4 B. C. D.
5.已知，tanα=3tanβ，则sin（α-β）=（　　）
A. B. C. D.
6.已知A（-5，1），B（1，1），C（1，-2）三点，点P在圆x2+y2=1上运动，则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2的最大值与最小值之和为（　　）
A. 96 B. 98 C. 100 D. 102
7.已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（　　）
A. B. C. 1 D.
8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，，，则A=（　　）
A. 120° B. 135° C. 150° D. 165°
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1=5-8i,z2=9i,则（　　）
A. z2是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第三象限
C. D. |z2|=81
10.《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边a,b,c,求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上.余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S=.现有△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3：，且△ABC的面积S=6，请运用上述公式判断下列结论正确的是（　　）
A. △ABC的周长为 B. △ABC三个内角A，B，C满足2C=A+B
C. △ABC外接圆的直径为 D. △ABC的中线CD的长为
11.已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2sin2ωx+1（ω∈N*）在上有最大值，无最小值，则（　　）
A. f（x）为奇函数 B. f（x）在上单调递增
C. 是f（x）离y轴距离最近的对称轴 D. f（x）的最小正周期为π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复数范围内分解因式：x3-27= .
13.已知，且，则= ，= .
14.函数f（x）=x3-3x2+4x-1，x∈R，当时，不等式f（msinθ）+f（4-m）＞2恒成立，则实数m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）若z=5+i,求i（+z）；
（2）已知||=，||=4，（2-） =0，求和的夹角.
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知，b=5，.
（1）求a；
（2）求sinA；
（3）求cos（B-2A）的值.
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,且2c=a+2bcosA.
（1）若的面积为，求△ABC的周长；
（2）若为AC边上的一点，BD=3，且∠ABD=∠CBD，求△ABC的面积.
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=4，.
（1）求B；
（2）若D为△ABC外一点，B，D分别位于直线AC的两侧，，，∠BAC=∠DAC，求△ABC的面积.
19.(本小题17分)
设函数，将函数f（x）的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{an}，且.
（1）求ω的值；
（2）求函数y=f（x）图象的对称中心；
（3）求数列{an}的前2n项和S2n.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】ABC
10.【答案】ABC
11.【答案】CD
12.【答案】
13.【答案】

14.【答案】（-∞，2]
15.【答案】（1）10i （2）
16.【答案】解：（1）设a=2t,c=3t,t＞0，则根据余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，
即，解得t=2（负舍），
则a=4，c=6；
（2）因为B为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得；
（3）因为，且B∈（0，π），所以，
由（2）知，
因为a＜b,则A＜B，所以，
则，
．
17.【答案】解：（1）在△ABC中，因为2c=a+2bcosA，由正弦定理得2sinC=sinA+2sinBcosA，
即2sin（A+B）=2sinAcosB+2sinBcosA=sinA+2sinBcosA，
所以2sinAcosB=sinA，即sinA（2cosB-1）=0，
又A∈（0，π），sinA＞0，所以，
又B∈（0，π），所以．
由，得ac=2，
由余弦定理得a2+c2-2=ac,得（a+c）2=3ac+2=8，得，
所以△ABC的周长为c+a+b=；
（2）由题意知S△ABC=S△ABD+S△BCD，BD=3，由（1）知，
所以，即．
由余弦定理得，则a2+c2-ac=12，即（a+c）2-3ac=12，
结合，得（ac）2-9ac=36，解得ac=12或ac=-3（舍），
所以．

18.【答案】解：（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=4，
因为，
所以根据两角和的正弦公式可得，
由正弦定理可得，
又sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
所以，
根据两角和的正弦公式化简整理可得，
又C∈（0，π），则sinC＞0，所以，
则，B∈（0，π），所以；
（2）由（1）知，，a=4，
在△ABC中，由正弦定理得，，
所以，
又，，∠BAC=∠DAC，
所以，
故，即3sin∠BAC=4cos∠BAC，
又sin2∠BAC+cos2∠BAC=1，
所以，所以，
又根据两角和的正弦公式可得，
所以△ABC的面积为．

19.【答案】ω=π
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