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2025-2026学年北京市海淀区清华大学附属中学志新学校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|x＜1}，那么A∪B=（　　）
A. （-1，2） B. （-1，1） C. （-∞，2） D. （-∞，1）
2.如果复数的实部与虚部相等，那么b=（　　）
A. -2 B. 1 C. 2 D. 4
3.已知向量=（1，m-1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（　　）
A. 50 B. 70 C. 80 D. 140
5.已知x＜-1，那么在下列不等式中，不成立的是（　　）
A. x2-1＞0 B. C. sinx-x＞0 D. cosx+x＞0
6.已知直线l1：x=-1，l2：x-y+5=0，点P是抛物线y2=4x上一点，则点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为（　　）
A. 2 B. C. 3 D.
7.一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在t=0时刻，粒子从点A（0，1）出发，沿着轨迹曲线运动到B（1，-1），再沿着轨迹曲线途经A点运动到C（-1，-1），之后便沿着轨迹曲线在B，C两点之间循环往复运动.设该粒子在t时刻的位置对应点P（x,y），则坐标x,y随时间t（t≥0）变化的图象可能是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最大值为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的75次方是一个86位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N的值为（　　）
M 3 5 7 11 13
lgM 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
10.在平面直角坐标系中，A，B是直线x+y=m上的两点，且|AB|=10.若对于任意点P（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π），存在A，B使∠APB=90°成立，则m的最大值为（　　）
A. B. 4 C. D. 8
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，x的系数为 .
12.设随机变量X的分布列如下：
X 2 3 6
P m
则m= ；若Y=2X+1，则E（Y）= .
13.已知，则= .若f（x）在上单调递减，则ω= .
14.我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体ABCDEF中，EF∥AD∥BC，四边形ADEF，ADCB，EFBC为等腰梯形，且平面ADEF⊥平面ADCB.其中EF=a,AD=b,BC=c（b＞c＞a），且EF到平面ADCB的距离为h,BC和AD的距离为d,若a=4，b=10，c=6，h=3，d=4，则该“羡除”的体积为 .
15.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线.当n=4，a=3，b=2时，给出下列四个结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C所围成的封闭图形的面积小于24；
③曲线C上的点到原点O的距离的最大值为3；
④设，直线交曲线C于P，Q两点，则△PQM的周长大于12.
其中所有正确的结论有 （填序号）.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a,b,c,已知：.
（1）求B；
（2）已知a=4，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，并求△ABC的面积.
①b=3；
②c=2asinC；
③.
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17.(本小题14分)
在五面体ABCDEF中，CD⊥平面ADE，EF⊥平面ADE.
（1）求证：CD∥平面ABFE；
（2）若AB=2AD=2EF=2，CD=3，∠ADE=90°，点D到平面ABFE的距离为，求二面角A-BF-C的大小.
18.(本小题14分)
自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示.
表1
跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz
基础分 9.5 9.7 11.0 11.5
选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”.
4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98
4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07
4F 13.69 5.50 14.02 12.92
4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87
假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立.
（1）从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；
（2）若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称.
19.(本小题14分)
已知椭圆的焦距为4，F1、F2分别为左右焦点，点P在椭圆上，满足.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点M，使得∠EQM=2∠EFM恒成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
20.(本小题14分)
已知函数f（x）=x2-aln（x-1）-4（a∈R）.
（1）当a=4时，求f（x）的极值；
（2）若对任意x∈（2，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：若f（x）在区间（2，+∞）上存在唯一零点x0，则.
21.(本小题15分)
如图，设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表，其中aij（i,j=1，2， ，n）表示位于第i行第j列的实数，且aij∈{1，-1}.
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n

an1 an2 ann
定义pst=as1at1+as2at2+ +asnatn（s,t=1，2， ，n）为第s行与第t行的积.若对于任意s,t（s≠t），都有pst=0，则称数表A为完美数表.
（1）当n=4时，试写出一个符合条件的完美数表；
（2）是否存在2026行2026列的完美数表，并说明理由；
（3）设A为n行n列的完美数表，且对于任意的i=1，2， ，l和j=1，2， ，k,都有aij=1，证明：kl≤n.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】-5
12.【答案】13" data-ext-data="{"source": "saber_editor"}" width="14" height="33" style="width:14px;height:33px;" alt="" title="" />
7" data-ext-data="{"source": "saber_editor"}" width="11" height="14" style="width:11px;height:14px;" alt="" title="" />

13.【答案】1

14.【答案】40
15.【答案】①②④
16.【答案】 若选①不符题意，选②满足题意且，选③满足题意且
17.【答案】证明：由题意得CD⊥平面ADE，EF⊥平面ADE，
所以CD∥EF，又EF 平面ABFE，CD 平面ABFE，
所以CD∥平面ABFE
18.【答案】解：（1）根据题中数据，该选手上一赛季7个4T动作中，有5个跳跃为“成功”，
所以从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，这次跳跃“成功”的概率可以估计为；
（2）从该选手上一赛季所有4S，4F动作中分别任选一次，这次跳跃“成功”的概率分别可以估计为=，，
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，
则由独立事件的概率乘法公式可得，P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以E（X）=0×==．
（3）4T，4S，4F．
19.【答案】 存在，
20.【答案】极小值为0，无极大值 （-∞，4] 证明：由（2）可知当a≤4时，对任意x∈（2，+∞），f（x）＞0，
所以函数在（2，+∞）上不存在零点x0，所以a＞4，
且，
所以，，
要证，等价于证，等价于证ln（x0-1）＜a-4，
即，即证，即证，
因为x0＞2，a＞4，即等价于证x0＜a-2，
又x0是唯一零点，由（2）问知函数f（x）在（x0，+∞）单调递增，
所以只需证f（a-2）＞0，
f（a-2）=（a-2）2-aln（a-3）-4=a2-4a-aln（a-3）=a[a-4-ln（a-3）]，
令g（t）=t-4-ln（t-3），t＞4，
则，所以g（t）在（4，+∞）上单调递增，
又g（4）=0，所以g（t）＞g（4）=0，所以f（a-2）=ag（a）＞0，得证
21.【答案】答案不唯一，如：
1 1 1 1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
不存在，理由如下：
假设存在2026行2026列的完美数表A，
根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：
①把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即+1均变为-1，而-1均变为+1），得到的新数表是完美数表；②交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表．
完美数表A反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
1 1 -1 -1 1 1 -1 -1

在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1，2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，
前三行中“第1，3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，
前三行中“第1行中的数为1，且第2，3行中的数为-1”的有w列（如上表所示），
则x+y+z+w=2026，
由得：，解得，
这与x，y，z，w∈N矛盾，
故假设不成立，即不存在2026行2026列的完美数表 记第1列前l行中的数的和a11+a21+ +al1=X1，
第2列前l行中的数的和a12+a22+ +al2=X2，……，
第n列前l行中的数的和a1n+a2n+ +aln=Xn，
因为对于任意的i=1，2， ，l和j=1，2， ，k，都有aij=1，
所以X1=X2= =Xk=l．
又因为对于任意s，t（s≠t），都有pst=0，
所以．
又因为，
所以ln≥l2k，即kl≤n
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