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2026年广东省中考最后一卷
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各点在函数图像上的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．预计2027年，某地电子信息产业产值约达620亿元，用科学记数法表示620亿为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的直径，是上一点．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．，， C．4，5，6 D．5，12，13
7．把方程变形为，其依据是（ ）
A．等式两边同时加上同一个代数式，所得结果仍是等式
B．有理数乘法法则
C．等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式
D．选项B和选项C
8．“四骏齐发藏千年文脉密码”--2026年春晚吉祥物共有四位成员，分别命名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，与马年春晚“骐骥驰骋 势不可挡”的主题完美呼应，满含马到成功、前程似锦的美好寓意．正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，．点在边上，且．下列结论中，正确的个数是（ ）
①
②
③平分
④的周长为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有5个小题，每小题5分，共15分)
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是_______．
12．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人，二进制计数的进位方法是“逢二进一”，将十进制数45转换为二进制数是______．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知，，连接，，，将沿着方向平移6个单位长度到，则点坐标是_____．
14．有一列数，那么第9个数是___________．
15．已知反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，则点B的坐标为______．
16．在边长为24的正方形中，E在上，，P在边上运动（不与B，C重合），过点P作，交于Q，则的最大值为___ ．
三、解答题(共75分)
17．求不等式组的解集，并用数轴表示解集，写出最大整数解．
18．如图，一楼房后有一假山，的坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房房顶测得的俯角为．
(1)求点到水平地面的距离；
(2)求楼房的高．
19．泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息：
“星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．
“拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94．
“星星人”和“拉布布”得分统计表
平均数 中位数 众数
星星人 92 93 a
拉布布 92 b 97
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：__________，__________，__________；
(2)根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）；
(3)据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？
20．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，．
(1)求的值和一次函数的表达式；
(2)直接写出关于的不等式的解集．
21．为保障高铁某路段的精准施工，工程队使用专业无人机对规划线路的关键点位进行测绘，测绘时整个航线与高铁线路位于同一个竖直平面内，为了采集的数据精准、图像清晰，无人机飞行时采用全向匀速飞行模式．如图，本次测绘路段为段，其中段是水平路段，无人机从基准点起飞，基准点高度记为，沿飞到点进入水平测绘航线，即，点在点的正上方，根据无人机实时传回的高度信息，无人机实时高度（单位：）与起飞后的时间（单位：）之间的关系如图所示，时，无人机飞到点位置，此时，与点的水平距离米．已知米，在点处观测点和点的俯角分别为：，，关键点和的水平距离米，竖直高度米．
(1)无人机全向匀速飞行的速度是米/秒，度数是；
(2)求水平测绘航线的高度；
(3)为了对重要路段段进行精细测绘，无人机经过点正上方的点位置后，需要在航线上找一个视角最大（即最大）的点进行悬停测绘，求无人机从点到悬停点的飞行时间．（结果精确到秒）
（参考数据：，，，，，，）
22．如图，为的直径，，为弦，的平分线交于点，过点作，现有以下命题：
命题：是等腰直角三角形；
命题：是的切线；
命题：；
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
23．概念学习：若三角形的一组邻边之比为，则称该三角形为倍比三角形．
【概念辨析】
(1)下列三角形是倍比三角形的是_____．
①等边三角形；②等腰直角三角形；③角的直角三角形；④直角边分别为1和的直角三角形；
【问题探究】
小明想研究倍比三角形，发现有点困难，他先尝试从特殊情况出发，用几何画板画出一个特殊的2倍比三角形，其中，当他试着让点动起来时发现点竟然在一个圆上运动．
好奇的小明想该如何用数学的方法证明在圆上运动呢，这时他想到：既然的，那我好像可以以和为对应边构造一组相似三角形．于是他延长至点，使得，所以在以为圆心，长为半径的圆上．
(2)请你顺着小明的思路，求出点所在圆的半径．
【拓展研究】
(3)从特殊到一般：若是倍比三角形，，请求出点所在圆的半径（用表示）．
(4)为倍比三角形，，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，若，，直接写出的长为_____．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A A D D A B B C
1．B
本题主要考查了一次函数的图像，把各点代入即可求解，掌握一次函数的图像是解题的关键．
解：、当时，，
∴不在函数图像上，不符合题意；
、当时，，
∴在函数图像上，符合题意；
、当时，，
∴不在函数图像上，不符合题意；
、当时，，
∴不在函数图像上，不符合题意；
故选：．
2．C
解：该几何体的俯视图如图所示．
3．A
科学记数法的表示形式为，其中，为整数，据此求解即可．
解：∵亿，
∴亿．
4．A
运用合并同类项、同底数幂乘除法、幂的乘方的运算法则，逐一计算每个选项即可判断正误．
对于选项A，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，
，，A运算正确；
对于选项B，合并同类项可得，B运算错误；
对于选项C，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
，C运算错误；
对于选项D，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，
，D运算错误．
5．D
解：∵，
∴．
6．D
根据勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，对各选项逐一计算验证即可．
解：选项A： ，，，不能组成直角三角形，不符合题意；
选项B： ，，，不能组成直角三角形，不符合题意；
选项C： ，，，不能组成直角三角形，不符合题意；
选项D ：，，，能组成直角三角形，符合题意．
7．A
本题考查等式的基本性质．根据等式的基本性质“等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，等式仍然成立”作答即可．
解：∵从等式两边同时减去x，得，
即，
∴故选：A．
8．B
本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的结果有2种，
∴这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的概率为．
故选：B．
9．B
根据相似三角形的判断和性质解答即可求解．
解：，
，
，
，，
，
解得．
10．C
由相似三角形的判定定理判断①；由相似三角形面积比等于相似比判断②；由相似三角形相似比求长度判断③；结合求出的长度及已知长度计算的周长判断④即可．
解：，，
，故①正确；
，，
，
则，
设 ，，则 ，
，故②正确；
，，
，
则，，
，
则，
，
，
，即平分，故③正确；
，，
，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③，共个．
11．
解：二次根式有意义，
，
解得：，
x的取值范围是．
12．
此题考查了十进制数转换为二进制数，有理数的除法运算，根据题意逐步列式求解即可．
余1
余0
余1
余1
余0
余1
∴将十进制数45转换为二进制数是．
故答案为：．
13．
本题主要考查了平移的性质，勾股定理以及含度角的直角三角形的性质等知识．
过点B作轴于点N，过点D作轴于点M，先求出点B、点D的坐标，得出平移的方式，即可作答．
解：过点B作轴于点N，过点D作轴于点M，如图，
∵，
∴即，，，
∴，
∴在中，，
根据平移有：，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴将点先沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移个单位即可得到点，
∵，点C的对应点为点A，
∴将点先沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移个单位即可得到点，
即：．
14．
本题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出规律，解决问题．
观察数列的符号、分子和分母的规律，符号由项数的奇偶性决定，分子与项数相同，分母为项数的平方加1．
解：符号规律：奇数项为负，偶数项为正，第9项为奇数项，故符号为负．
分子规律：分子与项数相同，第9项分子为9．
分母规律：分母为项数的平方加1，第9项分母为．
因此第9个数为．
故答案为．
15．
本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据反比例函数与正比例函数都关于原点对称，得到点关于原点对称，即可得出结果．
解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，
∴点关于原点对称，
∴；
故答案为：．
16．8
本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了数形结合思想．先证明，得到与有关的比例式，设，则，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
解：四边形是正方形，，
，
，
．
又，
，
，
设，则，
，化简得，
整理得：，
所以当时，y有最大值为8．
故答案为：8．
17．，数轴见解析，它的最大整数解是．
先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出整数解即可．
解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式组的解集是，
在数轴上表示解集为：
则它的最大整数解是：．
18．(1)8米
(2)48米
（1）过点作的延长线于，根据的坡度为得，再由勾股定理可得米，米；
（2）过作于点，根据等腰直角三角形的性质求出的长，进而可得的长．
（1）解：过点作的延长线于，
在中，
∵的坡度为，米，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴（米），（米），
答：点到水平地面的距离为8米；
（2）过作于点，
则米，
由题意得：（米），
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴（米），
∴（米）．
答：楼房的高为48米．
本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19．(1)，，；
(2)消费者更喜欢“拉布布”，
“拉布布”的得分中，中位数和众数均大于“星星人”的得分的中位数和众数，
∴消费者更喜欢
“拉布布”；
(3)300
本题主要考查调查与统计，掌握中位数，众数，样本估算总体数量的计算是关键．
（1）根据众数，中位数，样本百分比的计算方法求解即可；
（2）根据中位数、众数作决策即可；
（3）根据样本百分比估算总体数量即可．
（1）解：“星星人”的得分中，94分出现次数最多，
∴，
“拉布布”A组的人数：（人），
B组的人数：（人），
C组的人数：6人，
D组的人数：（人），
∴中位数是第10，11人的得分的平均数，即，
∴，即，
故答案为：，，；
（2）略
（3）解：在人流量会达到1000人中，对“拉布布”打分不低于95分的顾客有（人），
有的人会购买“拉布布”，
∴购买“拉布布”的人数为（人）．
20．(1)，
(2)或
（1）先把点坐标代入求出得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用函数图象，写出反比例函数在一次函数下方所对应的自变量的范围即可．
（1）解：把代入得，
解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入得，
解得，
∴，
把，代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由可知，反比例函数在一次函数下方，
∴不等式的解集或．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数与一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．
21．(1)10；
(2)米
(3)无人机从点J到悬停点M的飞行时间约为6秒
（1）根据题意得：时，，，得出，然后计算速度即可；再结合图形及已知角度即可得出结果；
（2）根据题意得出，然后利用正切函数得出，，，建立方程求解即可；
（3）作的垂直平分线，分别交于点P、Q、R，过R作于点N，交于点S，以为弦作，使与相切于点M，连接，利用相似三角形的判定和性质得出，结合图形确定，，，继续利用相似三角形的判定和性质得出，，，设，利用勾股定理建立方程求解计算即可．
（1）解：根据题意得：时，，，
∴，
∴米/秒；
根据题意得，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
在中，，
，
在中，，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：如图，作的垂直平分线，分别交于点P、Q、R，过R作于点N，交于点S，以为弦作，使与相切于点M，连接，
∴，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵与相切于点M，
∴，
，
，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
，
，
设，
同理得：，
，
，
，
，
在中，，
又∵，
，
解得：，(舍)，，
，
，
即无人机从点J到悬停点M的飞行时间约为6秒．
22．命题1是真命题，证明如下：
∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
命题2是真命题，证明如下：
如图，连接，
∵，是中点，
∴，
∵，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
命题3是真命题，证明如下：
如图，延长至点，使，连接，
∵四边形是的内接四边形
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴
∴，，
∵是的直径
∴，即，
∴，即，
∴是等腰直角三角形
∴
∵，且，
∴
三个命题均为真命题；命题1：先根据直径所对的圆周角为直角得出，再由角平分线得到，结合同弧所对的圆周角相等推出，进而得到，即可证明是等腰直角三角形；
命题2：连接，利用等腰三角形三线合一的性质，由且是中点得出，再根据推出，结合是的半径，即可证明是的切线；
命题3：延长至点使，利用圆内接四边形对角互补和邻补角的性质推出，再结合、用证明，得到和对应角相等，接着由直径所对圆周角为直角推出，证明是等腰直角三角形得出，最后通过线段代换得到．
略
23．(1)③④
(2)2
(3)
(4)或
（1）根据勾股定理及各三角形的特征作答即可；
（2）证明，得到，设，则，，根据求出x的值，进而求出的长即可；
（3）同（2）作答即可；
（4）设，则，由旋转性质得，．如图，过作交于，设，，由勾股定理得：，，进而得到，作交延长线于，同理得，代入得，设，整理得到，求解得到y的值，根据，可知，即，可知的长．
（1）解：①等边三角形：三边相等，任意邻边比为，不符合；
②等腰直角三角形：设腰为1，则底边为，不存在比值为 的邻边比，不符合；
③角的直角三角形：设角所对的直角边为1，则斜边为2，另一直角边为，直角顶点邻边比为 ，符合；
④直角边为和 的直角三角形：斜边为，短直角边顶点的邻边比为 ，符合；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴点C在以D为圆心，2为半径的圆上；
（3）解：如图，延长至点，使得，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，得，
∴，
∴点C在以D为圆心，为半径的圆上，
即点所在圆的半径为；
（4）解：设，则，由旋转性质得，．
如图，过作交于，
设，，则，
由勾股定理得：，，
由得，
∵，
∴，
整理得：；
又，，故，
作交延长线于，则四边形为矩形，
得，，
在中，由勾股定理得，，
故，
同理可得：；
∵，
∴，
即，
设，则，，
∴，
整理得，
解得，
经检验，均是原分式方程的解，
∵，，
∴，
∴，
∴ 或．
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2026年广东省中考数学最后一卷 试题分析
一、单选题
1 0.94 求一次函数自变量或函数值
2 0.85 判断简单几何体的三视图
3 0.95 用科学记数法表示绝对值大于1的数
4 0.85 同底数幂相乘；幂的乘方运算；同底数幂的除法运算；合并同类项
5 0.95 圆周角定理
6 0.85 判断三边能否构成直角三角形
7 0.94 等式的性质1
8 0.85 列表法或树状图法求概率
9 0.85 相似三角形的判定与性质综合
10 0.5 相似三角形的判定与性质综合；三角形角平分线的定义
二、填空题
11 0.95 二次根式有意义的条件
12 0.85 有理数除法的应用
13 0.65 含30度角的直角三角形；已知图形的平移，求点的坐标；用勾股定理解三角形
14 0.4 数字类规律探索
15 0.85 一次函数与反比例函数的交点问题；求关于原点对称的点的坐标
16 0.65 根据正方形的性质求线段长；y=ax +bx+c的最值；相似三角形的判定与性质综合
三、解答题
17 0.65 在数轴上表示不等式的解集；求不等式组的解集；求一元一次不等式组的整数解
18 0.65 坡度坡比问题(解直角三角形的应用）；仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
19 0.85 由扇形统计图求某项的百分比；求众数；由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数
20 0.85 求反比例函数解析式；求一次函数解析式；一次函数与反比例函数的交点问题
21 0.42 相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形；仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
22 0.4 判断命题真假；等腰三角形的性质和判定；全等的性质和SAS综合（SAS）；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角；证明某直线是圆的切线
23 0.15 解分式方程（化为一元二次）；含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解；公式法解一元二次方程；相似三角形的判定与性质综合；根据矩形的性质与判定求线段长

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