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2026年浙江省中考数学最后一卷
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．与和为的数是（ ）
A．2026 B．0 C． D．
2．物理学中真空光速约为，下列关于该数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
3．要使二次根式有意义，则的值可以是（ ）
A．3 B．1 C． D．
4．用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示.这样的几何体最少需要（ ）个小立方块.

A．8 B．9 C．10 D．11
5．下列式子运算结果为的是（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
7．为了考察甲、乙两地小麦的长势情况，小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（ ）
A．甲、乙两地小麦高度的平均值相等
B．甲、乙两地都随机抽取了10株小麦的高度
C．若，则甲地小麦长得比较整齐
D．甲、乙两地小麦高度的中位数相等
8．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，两只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了两棵树，余树均栖满，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有2只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则会空出2棵树．”设有树x棵，乌鸦y只，依题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
9．如图，我国古代发明了利用水流作动力取水灌田的筒车，它是我国古代劳动人民智慧的结晶．筒车中的转轮可以抽象成一个圆，圆上一点离水面的高度与旋转时间之间的关系如图所示，①是关于的一次函数；②筒车半径为；③筒车旋转一周所需时间为；④在筒车转动一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于，以上说法正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
10．如图，为的直径，点在上，点，为圆上两点，连结，．连接交于点，若，，则的值为（）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．分解因式：______．
12．实验操作比赛前需要通过抽签决定比赛课题，小李要从A，B，C，D，E五个课题中随机抽取一个，则小李抽到课题E的概率是_________．
13．如图是剪纸的一部分，是剪纸中正多边形的一角，测得，则这个正多边形有_____条边．
14．如图，是的切线．若的半径为25，，则的长为______．
15．若直线与双曲线的交点为，，则的值为__________．
16．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解， ．若，则的值为________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：．
18．已知的展开式中不含和项．
(1)分别求、的值；
(2)化简求值：
19．如图，在中，，D为的中点，E为上一点，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
20．“校园餐”关乎青少年的健康成长，为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取名学生，统计他们对“校园餐”满意度的打分情况如下（单位：分，满分分）：
小学部：，，，，，，，，，；
初中部：，，，，，，，，，．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
平均数 中位数 众数 方差
小学部
初中部
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空： ， ， ．
(2)综合表中数据，小学部和初中部哪一学段学生对校园餐的满意度更趋于一致？请说明理由．
(3)若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于分的学生占比%及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有名学生，初中部有名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”？请说明理由．
21．先阅读下面的例题，再解决问题：
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
问题：
(1)若，求x和y的值．
(2)试探究关于x、y的代数式是否有最小值？若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
22．在正方形中，点，点分别在边，上，满足，点是对角线的中点．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，若，，直接写出的长为________．
(3)如图3，连接，，，求的长．
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）．
(2)无论取任何实数，抛物线都经过一个定点，求该定点的坐标．
(3)已知点和，若线段与抛物线只有一个交点，求的取值范围．
24．如图1，为的直径，点在上，且弧弧，弦交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，和．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)如图2，若点，重合，求与的面积比．
(3)如图1，若，，求的值．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C C C D B B A
1．A
根据互为相反数的两个数的和为0，求解即可．
解：的相反数为，
根据互为相反数的两个数的和为0可得，与和为的数是，
A选项符合．
2．B
解：的相反数是．
3．A
解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，
∴对于，可得不等式，
解得．
∴只有，满足条件．
4．C
根据主视图可判断组成该几何体的小正方体的最少个数的分布情况
解：根据题意，组成该几何体的小正方体最少个数为：
（个）
故选：C
本题考查几何体的三视图．旨在考查学生的空间想象能力．
5．C
根据合并同类项和幂的运算法则，运用对应法则计算各选项结果即可判断.
对各选项逐一计算：
选项A：，结果不为，A错误；
选项B：根据同底数幂乘法法则，，结果不为，B错误；
选项C：根据幂的乘方法则，，结果为，C正确；
选项D：根据同底数幂除法法则，，结果不为，D错误．
6．C
根据位似的性质得到四边形和四边形的相似比为，然后根据相似多边形的周长之比等于相似比求解．
解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，
若，
四边形和的相似比为，
相似多边形的周长之比等于相似比，
四边形和的周长比为．
7．D
根据方差公式 ，结合方差的意义判断各选项即可．
解：∵方差公式中是样本容量，是样本平均数，对比题中和
∴甲、乙两组的样本容量均为，平均数均为，因此A、B选项表述正确；
∵方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐
∴若，则甲地小麦长得比较整齐，C选项表述正确；
∵两组数据平均数相等，不能推出中位数一定相等，存在平均数相同但中位数不同的两组数据，因此D选项表述不一定正确．
8．B
本题考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据两种栖息情况，分别找出乌鸦总数的等量关系即可列出方程组．
解：设有树x棵，乌鸦y只．
∵ 每棵树上栖2只乌鸦，有5只没去处，总乌鸦数为y，
∴ ；
又∵每棵树上有5只，则会空出2棵树，总乌鸦数为y，
∴ 有乌鸦的树共棵，可得；
因此可列方程组．
9．B
本题属于几何变换综合题，主要考查了函数的图象，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．
利用函数图象即可求解．
解：根据图象可得不是关于的一次函数，故①错误；
从图象可以看出，转轮旋转一周需要的时间是；转轮的最高点离水面，最低点离水面，所以转轮的直径为，则半径为，故②错误，③正确；
从图象可以看出，在筒车转动一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于，故④正确；
故选：B．
10．A
作于点G，作于点H，连接，则，设，则，由得，可证，进而得出，，证明得，求出，证明得，从而，然后根据勾股定理求出，再根据余弦的定义求解即可．
解：作于点G，作于点H，连接，则，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴．
11．
先将前三项分为一组，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解即可得到最终结果．
原式
．
12．
先确定所有等可能的结果总数，以及所求事件包含的结果数，再代入概率公式计算即可．
根据题意，小李从A，B，C，D，E五个课题中随机抽取一个，每个课题被抽到的可能性相等，
所有等可能的结果共种，抽到课题的结果有种，
根据概率公式可得：小李抽到课题．
13．/八
求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以它即可求解．
解：∵是正多边形的一角，且，
∴正多边形的每个外角度数为，
∴这个正多边形的边数为．
14．
设、与的切点为、D，连接，，证明四边形为矩形，再证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出．
解：设、与的切点为、D，连接，，如图所示：
∵，是的两条切线，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴根据勾股定理得：．
15．
根据正比例函数与反比例函数的图象中心对称性，可得两交点关于原点对称，得到两交点坐标的关系，再利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，代入所求代数式计算即可．
解：∵ 直线过原点，且正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，
∴ 两交点，关于原点对称，
∴，
∵ 点在双曲线上，
∴，
将代入得：
．
16．
根据题意得到，，求出，再根据即可得到答案．
解：在中，，
，
，
，
，
，
，
．
17．
先计算绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，再加减即可．
解：
．
18．(1)的值为，的值为
(2)，
（1）根据多项式乘多项式的运算法则将展开后合并，然后令和项的系数分别为，得到关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式及多项式除以单项式的运算法则将原式化简后合并，再将、代入计算即可．
（1）解：
，
∵的展开式中不含和项，
∴，
解得：，
即的值为，的值为；
（2）解：
，
当，时，
原式．
19．(1)
(2)
（1）首先利用等腰三角形的性质求出，然后结合即可求出；
（2）结合已知条件可知E是中点，根据直角三角形斜边中线的性质并结合已知条件求出，然后利用勾股定理可求出，进而求解．
（1）解：，D为的中点，，
，，
，
．
，
；
（2）解： ，
，E为的中点，
．
，
，
，
，D为的中点，
．
20．(1)，，
(2)小学部学生对校园餐的满意度更趋于一致，理由如下：
∵方差越小，数据的波动越小，满意度越趋于一致．
小学部方差，初中部方差为，．
∴小学部学生对校园餐的满意度更趋于一致．
(3)该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”．理由如下：
样本中，小学部评分大于或等于8分的有7人，初中部评分大于或等于8分的有6人．
全校评分大于或等于8分的总人数为：（人）
全校总人数为（人）
占比为
∵
∴该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”．
（1）根据中位数、众数、方差的定义，分别计算、、的值；
（2）利用方差的意义，即方差越小数据波动越小，越趋于一致，比较两方方差得到结论；
（3）计算全校评分大于等于8分的学生占比，和比较后得出结论．
（1）解：将小学部10个数据从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10
中位数为第5个和第6个数据的平均数，因此
将初中部10个数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10
其中出现次数最多的数据为9，因此众数
已知小学部平均数为8，根据方差公式计算得：
（2）小学部学生对校园餐的满意度更趋于一致，理由如下：
∵方差越小，数据的波动越小，满意度越趋于一致．
小学部方差，初中部方差为，．
∴小学部学生对校园餐的满意度更趋于一致．
（3）样本中，小学部评分大于或等于8分的有7人，初中部评分大于或等于8分的有6人．
全校评分大于或等于8分的总人数为：（人）
全校总人数为（人）
占比为
∵
∴该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”．
21．(1)
(2)存在；2024；，
本题考查的是完全平方公式，非负数的性质，熟记完全平方公式的应用是解本题的关键；
（1）利用完全平方公式把原式化为，再结合非负数的性质进一步求解即可；
（2）利用完全平方公式把原式化为，再结合非负数的性质进一步求解即可；
（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：∵
，
∵，，
∴，
∴当，时，即当，时，
代数式有最小值2024．
22．(1)证明：∵正方形，
∴，
又∵，
∴；
(2)
(3)
（1）利用证明即可．
（2）如图，连接交于，证明是等边三角形，再进一步求解即可．
（3）延长交分别于点，作于点，进一步证明，可得，进一步证明，结合全等三角形的性质可得答案．
（1）略
（2）解：如图，连接交于，
∵正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：如图，延长交分别于点，作于点，如图，
则四边形为矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．(1)直线
(2)定点坐标
(3)或或
（1）根据二次函数的对称轴公式进行求解即可；
（2）由题意可把抛物线变形为，然后根据过定点问题进行求解即可；
（3）由（2）可知：抛物线过定点，然后根据题意可分当抛物线的顶点坐标为时，当抛物线过点时，当抛物线过点时，进而分类进行求解即可．
（1）解：由抛物线可知：对称轴为直线；
（2）解：由抛物线可变形得：，
∵无论取任何实数，抛物线都经过一个定点，
∴，即，
∴，
∴该抛物线过定点；
（3）解：由（2）可知：抛物线过定点，
∴该定点在点和之间，
∴当抛物线的顶点坐标为时，满足与线段只有一个交点，此时；
当抛物线过点时，此时抛物线与线段有两个交点，则有：，
解得：，
∴当时，抛物线与线段只有一个交点；
当抛物线过点时，此时抛物线与线段有两个交点，则有，
解得：，
∴当时，抛物线与线段只有一个交点；
综上所述：当线段与抛物线只有一个交点，则的取值范围为或或．
24．(1)
证明：是的垂直平分线，
，，
经过圆心，且，
，
，
四边形为菱形；
(2)
(3)
（1）根据垂直平分线的性质得到，，从而得出结论；
（2）连接，连接交于点，根据圆周角定理得到，由三角形内角和定理求出，进而得到和是等腰直角三角形，设，则，根据勾股定理求出长，利用求解即可；
（3）连接、，过点作于点，设的半径为，则、，在中，根据勾股定理列出方程求出的值，证明，则，据此求出长，根据等腰直角三角形的性质得到，再利用勾股定理求解即可．
（1）略
（2）解：连接，连接交于点，如图2，
是的直径，
，
，
，
由（1）知，四边形为菱形，
、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
；
（3）解：连接、，过点作于点，设的半径为，则、，
由（1）知，四边形为菱形，
、，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
、、，
，
，
，是的直径，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键．
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2026年浙江省中考数学最后一卷 试题分析
一、单选题
1 0.95 相反数的定义；有理数加法运算
2 0.95 用科学记数法表示绝对值大于1的数；相反数的定义
3 0.85 二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集
4 0.85 由三视图，判断小立方体的个数
5 0.85 同底数幂相乘；幂的乘方运算；同底数幂的除法运算；合并同类项
6 0.85 求两个位似图形的相似比；在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
7 0.85 求一组数据的平均数；求中位数；求方差；根据方差判断稳定性
8 0.8 根据实际问题列二元一次方程组；古代问题(二元一次方程组的应用)
9 0.65 从函数的图象获取信息；判断一次函数的图象
10 0.4 利用垂径定理求值；相似三角形的判定与性质综合；同弧或等弧所对的圆周角相等；求角的余弦值
二、填空题
11 0.85 分组分解法；平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
12 0.9 根据概率公式计算概率
13 0.75 多边形内角和与外角和综合
14 0.7 根据正方形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
15 0.65 一次函数与反比例函数的交点问题；已知式子的值，求代数式的值
16 0.45 解一元二次方程——配方法；用勾股定理解三角形
三、解答题
17 0.81 实数的混合运算；求一个数的算术平方根；求一个数的绝对值；特殊角三角函数值的混合运算
18 0.65 已知多项式乘积不含某项求字母的值；已知字母的值 ，求代数式的值；运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算；整式四则混合运算
19 0.55 斜边的中线等于斜边的一半；等边对等角；三线合一；用勾股定理解三角形
20 0.62 求众数；求方差；根据方差判断稳定性；由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数
21 0.65 运用完全平方公式进行运算
22 0.47 斜边的中线等于斜边的一半；全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据矩形的性质与判定求线段长；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质证明；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
23 0.52 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)
24 0.38 证明四边形是菱形；等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；用勾股定理解三角形；线段垂直平分线的性质

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