资源简介 (共12张PPT)2026浙江中考数学终极押题 试题分析一、单选题1 0.65 求两个位似图形的相似比；利用相似三角形的性质求解2 0.65 求两个位似图形的相似比；写出直角坐标系中点的坐标；利用相似求坐标3 0.85 求位似图形的对应坐标4 0.65 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比5 0.85 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比；利用相似三角形的性质求解6 0.85 求位似图形的对应坐标7 0.65 求两个位似图形的相似比；相似三角形的判定与性质综合8 0.65 利用平移的性质求解；相似三角形的判定与性质综合；利用菱形的性质求线段长9 0.75 利用平移的性质求解10 0.68 由平移方式确定点的坐标；求一次函数解析式；y=ax 的图象和性质11 0.65 利用平移的性质求解；根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形12 0.85 利用平移的性质求解13 0.85 求反比例函数解析式；判断反比例函数的增减性；判断反比例函数图象所在象限14 0.65 比较反比例函数值或自变量的大小15 0.65 判断反比例函数的增减性；比较反比例函数值或自变量的大小16 0.76 比较反比例函数值或自变量的大小17 0.75 比较反比例函数值或自变量的大小18 0.55 判断反比例函数图象所在象限；比较反比例函数值或自变量的大小19 0.65 比较反比例函数值或自变量的大小二、填空题20 0.33 两直线平行同旁内角互补；等腰三角形的性质和判定；根据矩形的性质求线段长；矩形与折叠问题；求角的正切值；用勾股定理解三角形21 0.65 其他问题（解直角三角形的应用）22 0.65 已知正切值求边长；其他问题（解直角三角形的应用）23 0.85 其他问题（解直角三角形的应用）24 0.65 其他问题（解直角三角形的应用）25 0.65 三线合一；求角的正切值；用勾股定理解三角形26 0.65 求弧长；折叠问题；矩形与折叠问题27 0.52 矩形与折叠问题；二次根式的混合运算；用勾股定理解三角形28 0.4 利用垂径定理求值；求其他不规则图形的面积；折叠问题；根据特殊角三角函数值求角的度数29 0.4 写出直角坐标系中点的坐标；折叠问题；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形30 0.4 反比例函数与几何综合；相似三角形的判定与性质综合；折叠问题；根据图形面积求比例系数（解析式）31 0.4 全等的性质和HL综合（HL）；折叠问题；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形32 0.85 已知二元一次方程组的解求参数33 0.65 已知二元一次方程组的解的情况求参数34 0.65 数字问题(二元一次方程组的应用)35 0.65 加减消元法；因式分解的应用36 0.55 综合提公因式和公式法分解因式；加减消元法；新定义下的实数运算；平方差公式分解因式37 0.6 加减消元法；新定义下的实数运算；因式分解的应用38 0.65 加减消元法；已知同类项求指数中字母或代数式的值39 0.4 整式加减的应用；数字问题(二元一次方程组的应用)三、解答题40 0.55 根据两条直线的交点求不等式的解集；两直线的交点与二元一次方程组的解；求一元一次不等式的解集41 0.55 其他问题(一次函数的实际应用)；从函数的图象获取信息；用一元一次不等式解决实际问题42 0.52 行程问题(一次函数的实际应用)；从函数的图象获取信息；求一次函数解析式43 0.64 其他问题(一次函数的实际应用)；从函数的图象获取信息44 0.62 两直线的交点与二元一次方程组的解；求一元一次不等式的解集；一次函数图象与坐标轴的交点问题45 0.65 求一次函数解析式；求一次函数自变量或函数值；根据一次函数增减性求参数46 0.52 行程问题(一次函数的实际应用)；行程问题(一元一次方程的应用)；从函数的图象获取信息；求一次函数解析式47 0.75 求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与对称问题48 0.65 行程问题(一次函数的实际应用)；求一次函数解析式49 0.67 求一次函数解析式；比较一次函数值的大小50 0.47 根据二次函数的对称性求函数值；抛物线与x轴的交点问题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移51 0.52 y=ax +bx+c的图象与性质；抛物线与x轴的交点问题；待定系数法求二次函数解析式52 0.55 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；求一元一次不等式的解集；待定系数法求二次函数解析式53 0.51 y=ax +bx+c的图象与性质；绝对值方程；求x轴与抛物线的截线长；比较一次函数值的大小54 0.56 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)55 0.62 y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式；y=a（x-h） +k的图象和性质；把y=ax +bx+c化成顶点式56 0.52 y=ax +bx+c的图象与性质；根据交点确定不等式的解集；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移57 0.51 y=ax +bx+c的图象与性质；已知抛物线上对称的两点求对称轴；待定系数法求二次函数解析式58 0.55 y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式；线段周长问题(二次函数综合)；把y=ax +bx+c化成顶点式59 0.43 其他问题(实际问题与二次函数)60 0.3 圆与四边形的综合(圆的综合问题)；解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形61 0.52 因式分解法解一元二次方程；根据等角对等边证明边相等；用勾股定理解三角形；切线的性质定理62 0.65 根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；等边对等角；求某点的弧形运动路径长度；根据等角对等边证明边相等63 0.53 过直线外一点作已知直线的平行线；同弧或等弧所对的圆周角相等；内错角相等两直线平行64 0.55 根据菱形的性质与判定求面积；全等的性质和SSS综合（SSS）；利用弧、弦、圆心角的关系求证；求其他不规则图形的面积65 0.5 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；角平分线的有关计算66 0.55 圆与三角形的综合(圆的综合问题)；解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合67 0.52 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；直角三角形的两个锐角互余；根据等角对等边证明边相等；根据等角对等边求边长；用勾股定理解三角形68 0.57 两直线平行内错角相等；用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；全等三角形的性质69 0.52 解直角三角形的相关计算；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据矩形的性质求线段长；利用矩形的性质证明；利用平行四边形性质和判定证明70 0.55 全等的性质和SSS综合（SSS）；全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；作角平分线(尺规作图)71 0.55 用SAS证明三角形全等（SAS）；与三角形的高有关的计算问题；全等三角形的性质；作线段(尺规作图)72 0.55 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；角平分线的性质定理；证明四边形是菱形；根据菱形的性质与判定求面积；用勾股定理解三角形73 0.62 解直角三角形的相关计算；全等的性质和SAS综合（SAS）；三线合一74 0.52 根据矩形的性质求线段长；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形75 0.67 根据菱形的性质与判定求角度；作线段(尺规作图)76 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；全等的性质和SAS综合（SAS）77 0.55 等腰三角形的性质和判定；证明四边形是矩形；利用平行四边形性质和判定证明78 0.57 全等的性质和SAS综合（SAS）；利用菱形的性质证明；三角形的外角的定义及性质79 0.84 利用菱形的性质证明；相似三角形的判定与性质综合80 0.85 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质证明81 0.71 求众数；利用合适的统计量做决策；由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数82 0.67 运用中位数做决策；运用众数做决策；由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数83 0.62 求一组数据的平均数；利用平均数做决策；求中位数；运用中位数做决策；求方差；运用方差做决策；求条形统计图的相关数据；画条形统计图84 0.62 频数分布直方图；求一组数据的平均数；由样本所占百分比估计总体的数量；用样本的频数估计总体的频数；求中位数85 0.62 求众数；利用合适的统计量做决策；求加权平均数；求中位数86 0.62 条形统计图和扇形统计图信息关联；由样本所占百分比估计总体的数量；画条形统计图；求中位数87 0.62 求扇形统计图的圆心角；总体、个体、样本、样本容量；由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数88 0.65 无理数的大小估算；运用平方差公式进行运算；二次根式的乘法89 0.45 列代数式；整式加减的应用90 0.62 求算术平方根的整数部分和小数部分91 0.42 根据判别式判断一元二次方程根的情况；归纳与类比；运用完全平方公式进行运算92 0.4 含30度角的直角三角形；解直角三角形的相关计算；利用二次根式的性质化简；写出直角坐标系中点的坐标；折叠问题；利用平行四边形的性质求解；等边三角形的判定和性质；面积问题(二次函数综合)；用勾股定理解三角形93 0.08 根据菱形的性质与判定求角度；圆与四边形的综合(圆的综合问题)；与三角形的高有关的计算问题；圆与三角形的综合(圆的综合问题)；根据旋转的性质求解；解直角三角形的相关计算；分母有理化；利用平行四边形的性质求解；等边三角形的判定和性质94 0.61 求反比例函数解析式；求一次函数解析式；一次函数与反比例函数的交点问题95 0.56 实际问题与反比例函数；解直角三角形的相关计算96 0.65 实际问题与反比例函数；求反比例函数解析式；从函数的图象获取信息97 0.65 实际问题与反比例函数；其他问题(一次函数的实际应用)98 0.65 实际问题与反比例函数；求反比例函数解析式；求一次函数解析式；其他问题(一次函数的实际应用)99 0.85 实际问题与反比例函数；求反比例函数解析式；由反比例函数值求自变量；判断反比例函数的增减性100 0.85 由平移方式确定点的坐标；求反比例函数解析式；求一次函数解析式；一次函数与反比例函数的交点问题2026浙江中考数学终极押题押题一 位似图形（选择题）……………………………………………………………………1押题二 平移（选择题）…………………………………………………………………………5押题三 反比例图象的性质（选择题）…………………………………………………………6押题四 三角函数的应用（填空题）……………………………………………………………8押题五 折叠问题（填空题）……………………………………………………………………9押题六 二元一次方程（填空题）………………………………………………………………10押题七 一次函数应用（解答题）……………………………………………………………13押题八 二次函数综合（解答题）………………………………………………………………16押题九 圆（解答题）……………………………………………………………………………18押题十 全等三角形（解答题）…………………………………………………………………21押题十一 四边形综合（解答题）………………………………………………………………23押题二 数据分析（解答题）……………………………………………………………………27押题十三 探究问题（解答题）………………………………………………………………………………30押题十四 反比例函数（解答题）……………………………………………………………………………33押题一 位似图形（选择题）一、单选题1．（2026·浙江嘉兴·二模）如下图，和是以点为位似中心的位似图形．已知，，若的面积为4，则的面积为（ ）A．6 B．9 C．10 D．252．（2026·浙江金华·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为，若、、的坐标分别为、、，则的坐标为（ ）A． B． C． D．3．（2026·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（ ）．A． B． C． D．4．（2026·浙江宁波·二模）如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（ ）A． B． C． D．5．（2026·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（ ） A．12 B．18 C．36 D．486．（2026·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（ ）A． B． C． D．7．（2026·浙江台州·二模）如图，和是位似图形，点O为位似中心，若，，则的长为（ ）A．16 B．12 C．10 D．8押题二 平移（选择题）8．（2026·浙江金华·二模）如图，将菱形沿方向平移6个单位至菱形，交于点，交于点，若，则的长度为（ ）A．6 B．8 C．9 D．79．（2026·浙江宁波·三模）如图，将周长为的沿方向平移得，连接，则四边形的周长为（ ）A． B． C． D．10．（2026·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系中，点，，由线段与抛物线的一段（）组成的图形C，如图所示．若将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，则这样的点P的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．411．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，．将向右平移得到，点B，，C，在同一直线上，边与边交于点G．若，，则的长为（ ）A． B． C． D．512．（19-20七年级下·广东广州·期末）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，则平移的距离为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6押题三 反比例函数（选择题）13．（2026·浙江温州·二模）已知反比例函数，下列选项正确的是（ ）A．点在函数图象上B．若点在函数图象上，则点也在图象上C．当时，D．y随x的增大而减小14．（2026·浙江温州·三模）已知点，，在反比例函数（n为常数）的图象上，且，则（）A． B． C． D．15．（2026·浙江金华·三模）已知点和是反比例函数图象上两点，且，若，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．16．（2026·浙江杭州·二模）若点，，(其中)都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )A． B． C． D．17．（2026·浙江杭州·二模）已知点，，都在反比例函数的图象上，，则，，的大小关系是（ ）A． B．C． D．18．（2026·浙江杭州·一模）已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列判断一定正确的是（ ）A． B． C． D．19．（2026·浙江杭州·二模）已知反比例函数（）的图象经过点，点和点（），则下列说法正确的是（）A．， B．，C．， D．，押题四 三角函数（填空题）20．（2026·浙江金华·三模）如图，在矩形中，，点F是上一点，过F作直线，交于点E，且，将矩形沿翻折，点A、B分别落在、位置，若、、三点共线，则____．21．（2026·浙江杭州·二模）摩天轮是一种大型垂直转轮式机械游乐设施，由巨大转轮、悬挂座舱与支撑结构组成，供游客高空观景．如图，某摩天轮半径长，小慧从摩天轮的上客点（即最低点）进入座舱，当摩天轮匀速旋转时座舱运动至点处，即，则小慧在竖直方向上升了______m．（参考数据：，，） 22．（2026·浙江杭州·二模）小滨在参观摄影作品时发现艺术家常用错位摄影技巧创造出脑洞大开、充满趣味的“照骗”（如图1），通过思考分析他发现其中蕴含了丰富的数学知识和方法，小滨决定尝试拍摄一张自己拥抱挂在教学楼墙上的圆形校徽雕像的照片．为实现构想需要测量出校徽的直径，为此他在教学楼正前方距墙角点3米的点处，测得，（如图2），其中于点，点在线段上，那么直径________米．（结果精确到0.1．参考数据，，，．）23．（2026·浙江丽水·二模）如图，将一个直角三角形的楔子（）从木桩的底端点沿着水平方向打入木桩下，可以使木桩向上运动（如箭头所示）．已知楔子斜面的倾斜角，若木桩上升，则楔子沿水平方向前进大约 ______________（结果精确到．提示：，， ）．24．（2026·浙江绍兴·二模）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，停靠时汽车靠墙一侧与墙平行，小汽车车门宽为1.2米．当车门打开角度至少为时，人方可顺利下车．为了车门不碰到墙且能顺利下车，车可以停靠离墙最近的距离是________米．（结果保留一位小数，参考数据：，，）25．（2026·浙江·一模）2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线上升至最高点A后下落，再沿直线精准落在地面C点，且．测得最高点A距地面高度为2.4米，起跳点B与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线与地面的夹角为．则______，机器人起跳路线的长度为______米．押题五 折叠（填空题）26．（2026·浙江温州·二模）如图，将矩形纸片（）折叠，折痕为，使落在边上，点为点的对应点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若，则的长为______．27．（2026·浙江衢州·一模）如图，矩形是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿折叠，使得点C落在点处，且A，，E三点在同一直线上，则______．28．（2026·河南驻马店·三模）如图，将扇形沿弦对折后，恰好经过扇形的顶点．已知弦，则图中阴影部分的面积为_________．29．（2026·河南洛阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，沿折叠正方形，点的对应点为，若，则点的坐标是______．30．（2026·江苏扬州·三模）如图，点、分别在轴、轴上，点是的中点，将沿的垂直平分线翻折，得到，反比例函数的图像经过点，且，则的值是_______．31．（2026·山西长治·二模）如图，正方形的边长为8，点为上靠近的三等分点，连接，将正方形沿折叠，点的对应点为，点的对应点为，延长，交于点，与交于点，则的长为____________．押题六 二元一次方程（填空题）32．（2026·浙江杭州·二模）已知是方程的一个解，那么m的值是________．33．（2026·浙江丽水·二模）已知方程组的解满足，则的值为________．34．（2026·浙江湖州·模拟预测）若一个两位数十位上的数字是m，个位上的数字是n，则这个两位数可记作，即．已知，，则两位数的数值是____．35．（2026·江苏盐城·二模）有一种明码为自然数的密码产生法，原理是：对于多项式因式分解的结果，若取，作为明码，则各个因式的值是：，，，把这些值从大到小排列得到128160，于是就可以把“128160”作为一个六位数的密码．那么，对于多项式，若给定明码x，y的值，所产生的密码为201510，请写出明码_________．36．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）定义新运算：对于任意实数，规定（，为常数），若，，将因式分解的结果为____________．37．（2026·湖南邵阳·一模）如果，其中，都是正整数，则称为“双数”，为的最佳拆分点．例如：，8为“双数”，为8的最佳拆分点．若“双数”的最佳拆分点为，“双数”的最佳拆分点为，且，则的值为______．38．（2026·河北邯郸·二模）若与的和是单项式，则b的值为________．39．（2026·重庆·二模）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个数为“福禄数”．例如：四位数，因为，所以是“福禄数”．按照这个规定，最小的“福禄数”是________；一个“福禄数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的的值是________．押题七 一次函数（解答题）40．（2026·浙江金华·二模）如图，已知一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为．(1)求与的关系式．(2)当时，都有，求的取值范围．41．（2026·浙江金华·三模）某生产商打算生产上市一款新产品，上市前做了一系列调查研究．新产品上市的第一个月，商品的需求量与供货量关于产品上市的天数（，且为整数）的函数图象如图所示，关于的函数关系式为：．(1)求关于的函数关系式；(2)当供货量超过需求量的时，生产销售该产品面临亏本的风险，则哪几天该产品面临亏本风险？42．（2026·浙江台州·二模）小丽驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点．汽车充电前、充电后都以的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同．出发后，汽车剩余电量（单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示．(1)小丽驾车几小时后停车充电？(2)求线段所表示的与之间的函数表达式；(3)若此电动汽车剩余电量超过的行驶属于“高电量行驶”．求小丽驾驶前往景点的过程中，属于“高电量行驶”的总路程．43．（2026·浙江温州·三模）中国基建巨人逢山开路、遇海掘隧，筑就超级工程．甲、乙两工程队计划在30个月内，分别从A，B两地为起点，采用盾构机同时相向匀速对掘一条海底高铁隧道．开工后，因工况发生变化，甲队调慢了施工速度，乙队调快了施工速度．设施工时间为x（单位：月）时，工程队沿设计隧道到A地的路程为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示．(1)这条海底高铁隧道的施工长度多少米？(2)求乙队调快速度后，y关于x的函数关系式．(3)开工21个月后，甲、乙两队继续按调整后的速度施工，问：这条海底高铁隧道能如期完工吗？44．（2026·浙江杭州·二模）如图，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与一次函数的图象交于点，设点的横坐标为．(1)当时，求的值和点的坐标．(2)当时，求的取值范围．45．（2026·浙江杭州·二模）已知是的一次函数，其图象经过点，．(1)求这个函数的表达式．(2)当时，求的取值范围．46．（2026·浙江丽水·模拟预测）在某次举办的机器人长跑比赛中，有甲、乙两款机器人需要从相同起点同向跑步．机器人甲在跑步过程中速度保持不变，为，但每跑1小时需要更换电池原地休息12分钟；甲出发12分钟后机器人乙才出发，速度保持不变，为（），乙跑一段时间后，因为故障，原地修理了一段时间才继续按原速奔跑．已知机器人甲、乙跑步的路程y（）与甲跑步的时间x（）之间的函数关系图象如图所示．(1)______，______．(2)求线段所在直线的函数表达式．(3)直接写出机器人甲、乙相遇时乙跑步的时间．47．（2026·浙江台州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴和轴于，两点．(1)求点和点的坐标．(2)求直线关于轴对称的直线解析式．48．（2026·浙江台州·二模）周末，小明骑共享单车匀速前往离家1000米的公园踏青，同时妈妈刚好从公园匀速步行回家，他们两人离家的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图所示．(1)求妈妈离家的路程y关于x的函数关系式；(2)多久后两人第一次相距100米？49．（2026·浙江·模拟预测）已知一次函数（k，b是常数，且）．(1)若，该函数图像经过点，请判断是否经过点．(2)若，，点，在该函数图像上，且，判断，的大小关系．押题八 二次函数（解答题）50．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数的图像经过点．(1)求该函数图像的顶点坐标．(2)若点，在该函数图像上，且，求m的取值范围．(3)将该函数图像向上平移t（）个单位长度，所得图像与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），原点O在点A，B之间．当时，求t的值．51．（2026·浙江金华·三模）已知二次函数（，为常数）．(1)若二次函数图象过点，，求二次函数的解析式．(2)点，在二次函数的图象上；①若点、是二次函数图象与轴的交点，且，，求的值；②若，，都有，求的取值范围．52．（2026·浙江杭州·二模）已知二次函数（a为常数且）．(1)当点在该函数图象上时，求a的值．(2)当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式．(3)若时，当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值．53．（2026·浙江丽水·二模）已知二次函数．(1)求二次函数图象的顶点坐标；(2)过点与y轴平行的直线交抛物线于点B，若，求t的值；(3)若点，为二次函数图象上的两点，且，求的最大值．54．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数（）的图像经过点．(1)求该函数图象的对称轴；(2)若点，在该函数的图象上，当时，试比较，的大小；(3)若关于的方程有两个实数根，，且，求的值．55．（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线 （为常数）．(1)若抛物线经过点，求抛物线的函数表达式；(2)若抛物线经过点和点，且，求的取值范围；(3)若点为抛物线的顶点，求证：．56．（2026·浙江宁波·二模）已知关于的二次函数（，为常数）．(1)若二次函数的图象经过点，对称轴为直线．①求该二次函数的表达式；②将二次函数的图象向下平移7个单位得到新函数的图象，当时，求的取值范围．(2)若，当时，二次函数的最小值为21，求的值．57．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线．(1)若抛物线经过点，求的值．(2)若抛物线经过点，，求的值．(3)若点，，都在抛物线上，且．求的取值范围．58．（2026·浙江丽水·二模）已知二次函数．(1)求该二次函数图象的对称轴．(2)若直线与抛物线相交于两点，其中一个交点的横坐标为2．过点作轴的平行线分别交抛物线和直线于点、．①若，求的长度．②当点在点的上方，且线段的长度随的增大而减小时，求的取值范围．59．（2026·浙江绍兴·二模）电子跳蚤可在复杂环境中执行任务．将其抽象为一点，起跳后的运动轨迹可看作抛物线的一部分，且每次运动的轨迹形状保持不变．实验中，跳蚤从水平地面上的点起跳，最终落在水平地面上的点P．以点为原点，所在直线为轴，过点垂直于地面的直线为轴，以为一个单位长度建立平面直角坐标系．已知，轨迹最高点距地面（x轴）．(1)求跳蚤跳跃轨迹对应的抛物线函数表达式．(2)跳蚤前方地面上有一长方体挡板，其截面为矩形，与运动轨迹在同一平面内．已知，，．若跳蚤先向挡板垂直方向爬行米，再按（1）中的轨迹跳跃一次，刚好跳到挡板上底面，即其下落轨迹经过线段（含端点C、D），求爬行距离的取值范围．押题九 圆（解答题）60．（2026·浙江金华·三模）已知在平行四边形中，，，过、、三点的圆与边相切于点，圆心为．(1)如图，连接并延长交于点，连接，交于点，连接．①求证：；②求线段的长．(2)如图，、分别是、上的动点，且，求的最小值．61．（2026·浙江绍兴·二模）如图，为的直径，交于点，为上一点（不与端点重合），连接并延长交于点，过点作的切线，交的延长线于点．(1)求证：．(2)若的半径为，且，求的长．62．（2026·浙江杭州·一模）如图，中，，．将绕点B顺时针旋转至位置，点A，B，D在同一直线上．(1)若，求证：．(2)在（1）的条件下，求点A经过的路径长．63．（2026·浙江宁波·二模）单规作图问题：如图1，已知直线及直线外一点，只用一把圆规画一点，使得，所在直线与直线平行．下面是小尹设计的作图过程．如图2，在直线上取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，交直线于，两点；以点为圆心，截取长；以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点；则点就是所求作的点．(1)根据小尹设计的单规作图过程，补充完成下面的证明．证明：连接，，作直线；(2)小周认为“在直线上取点时，不能垂直于，否则所作点不满足题意．”你认为他说得对吗？请谈谈你的理解．64．（2026·浙江杭州·二模）【问题背景】风筝，古称“纸鸢”，是中国传统手工艺瑰宝，其经典骨架结构的平面图如图1所示．某校开展“传统工艺中的数学”探究活动，对风筝骨架展开证明与计算．【数学理解】如图2，在风筝骨架中，，，分别是两个等圆和的弧，且．(1)求证：．(2)在制作好风筝骨架结构后，需贴上如图1所示的风筝纸，其中，，，求所需风筝纸的面积（点，，三处的装饰物不计）．65．（2026·浙江杭州·一模）如图，是的外接圆，平分交于点D，平分交于点E．(1)若，，求的度数；(2)求证：；(3)若，求证：．66．（2026·浙江杭州·一模）已知，如图①，是的直径，，点E是上一动点（点E与点C在直径的两侧，且点E不与A，B重合），连接，连接交于点F，连接分别交于点G，H．(1)求证：．(2)试问：在点E在运动过程中，的值会不会变？若不变，请求出它的比值；若会变，请说明理由．(3)如图②，连接，求证：．押题十 全等三角形（解答题）67．（2026·浙江温州·三模）如图，在中，，于点D，于点E，，交于点F．(1)求证：；(2)若，，求的长．68．（2026·浙江杭州·二模）如图，点A在线段上，已知，，．(1)求证：．(2)若，，求的长．69．（2026·浙江金华·三模）如图，在矩形中，，，点为中点，连结并延长交的延长线于点，连结、．(1)求证：；(2)求的值．70．（2026·浙江丽水·二模）小明与小华合作探究：用直尺和圆规作的平分线．小明的作法如图：①以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与角的两边分别交于点，．②分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，交内一点．③过点作射线．小华的作法如图：①以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与角的两边分别交于点，．②分别以，为圆心，小于的同样长度为半径作圆弧，交于点，，交于点，．③…（未完成待续）．(1)根据小明的作法，求证．(2)分析小华的不完整作法，判断小华的作法是否可以作出角平分线；若是可以，完成后续步骤，并给出证明．若是不可以，请说明理由．71．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，平分．(1)请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程．(2)若，，求的面积．72．（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，为对角线，按下列要求作图：①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q；②作直线，分别交，，于点O，E，F，连结，．(1)判断四边形的形状，并说明理由．(2)若平分，，，，求的面积．73．（2026·浙江·模拟预测）传统弓弩的精准发射依赖于对称结构的稳定性．如图为某手工匠人制作的一张弓弩，已知弓臂，当弓弩张开时，工匠测得．(1)求证：．(2)连结，交于点E，若，，求的长．74．（2026·浙江绍兴·二模）如图是我们生活中的一种遮阳伞，如图是它的骨架示意图，点在伞柄（）上下滑动时，骨架可以伸缩．打开遮阳伞时，，，三点始终在同一直线上．关闭遮阳伞后，，，三点重合（即，），点与点重合（即），四边形和四边形都是平行四边形，，．(1)求的长度．(2)若，，在打开伞的过程中，当平行四边形恰为矩形时，求，两点之间的距离．押题十一 四边形（解答题）75．（2026·浙江绍兴·二模）小柯同学按如下步骤作四边形．第一步：画；第二步：以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，；第三步：分别以点，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连结，，．(1)由以上作图可知，四边形的形状是________．(2)若，求的度数．76．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，点在上，点是线段的中点，连接并延长至点，使，连接．(1)求证：；(2)若点为的中点，，求的度数．77．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，相交于点，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，．(1)证明．(2)若，判断四边形的形状并证明．78．（2026·浙江温州·二模）如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连接，．(1)求证：．(2)若，求的度数．79．（2026·浙江温州·二模）【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点．【数学理解】(1)这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程．(2)若，，求的长．80．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F．(1)求证：；(2)求证：．押题十二 数据分析（解答题）81．（2026·浙江温州·三模）为了解常年供应快餐的某家饭店全年（365天）的一次性快餐饭盒的使用量，随机抽取其中10天的使用量，绘制成如下统计表．一次性快餐盒使用量/个 30 80 95 105 600频数 1 2 2 4 1根据统计信息回答下列问题：(1)求抽取的10天中一次性快餐盒使用量的众数与中位数．(2)小明用算式“”估计该饭店全年一次性快餐盒的使用量约为51100个．你赞同小明的估计方法吗？如果赞同，请说明理由；如果不赞同，也请说明理由，并给出合理的估计方法．82．（2026·浙江杭州·二模）某校就“的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（用表示），并进行整理．分为四个等级：不了解（）；比较了解（）；了解（）；非常了解（）．统计结果如下：八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数八年级九年级根据以上信息，解答下列问题：(1)该校八年级有450名学生，估计八年级对非常了解的学生有多少名？(2)根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对的知晓程度更高？说明理由．83．（2026·浙江宁波·二模）校田径队教练选出甲、乙两名运动员参加100米比赛．对这两名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：）的数据进行收集、整理和分析，下面给出了部分信息．【数据收集】乙运动员10次测试成绩：【数据整理】为了便于分析数据，统计员对数据进行了整理，其中甲运动员10次测试成绩绘成条形统计图，如图所示．【数据分析】甲、乙运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差如下表：甲、乙运动员测试成绩统计表运动员 平均数 中位数 方差甲 a乙 b c请你根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)补齐甲运动员成绩条形统计图；(2)表中________，________，________；(3)学校从甲、乙两人中挑选一名运动员参加比赛，通过以上数据分析，你认为挑选哪名运动员更合适．84．（2026·浙江金华·三模）某校为宣传中华民族的悠久历史和灿烂文化，激发学生传承非遗的兴趣，从全校1500名学生中随机抽取50名学生进行文化遗产知识测试，按他们的成绩（满分100分）分为五组，A：；B：；C：；D：；E：，并绘制了以下不完整的频数分布直方图：(1)补全频数分布直方图；(2)若测试得分在80分以上的同学记为优秀，那么全校1500名同学中，优秀的同学大概有几人？(3)已知C组10名同学的得分如下：70、71、71、74、74、74、74、76、78、80，求C组10名同学的平均数及50名同学的中位数．85．（2026·浙江丽水·二模）人工智能技术已渗透各行各业，智能机器人更是深耕快递物流行业，可高效完成分拣、搬运、配送等作业．为研究不同机型机器人的工作效率，科创达人菲菲在快递站随机抽取、两种型号智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量，制作了如下统计图表：型号 型号众数／万件中位数／万件平均数／万件请你根据以上数据，解答下列问题：(1)填空：________，________；(2)请计算表中c的值（需要写出计算过程）；(3)若某快递公司计划采购一种型号的智能机器人，请根据以上统计量帮助该公司做出选择，并说明理由．86．（2026·浙江金华·二模）松果的鳞片（种鳞）数量是反映其生长发育状况的重要指标．某校生物兴趣小组为了探究该指标的分布规律，从一片生长状况相似的松林中，随机采集了若干个松果，并对每个松果的鳞片数量进行了统计、记录和整理．用（片）表示每个松果的鳞片数量，将数据分为5组，其中类，类，类，类，类．根据整理的数据，绘制出如下统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)补全条形统计图．(2)所调查松果鳞片数量的中位数落在________类中（只需填写组别字母）．(3)已知该松林平均每棵成年松树可结约500个成熟松果．请估计一棵成年松树上鳞片数不少于60片的松果大约有多少个？87．（2026·浙江金华·二模）近年来，各校积极响应教育部提出的“健康第一”理念，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．某校为了解九年级学生的近视率，在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题：九年级部分学生视力情况频数分布表分组 视力 频数(1)本次调查的样本容量是______，组视力在扇形统计图中对应的圆心角度数为______．(2)此次抽样调查中，视力的中位数落在______组．(3)文件《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》中规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数．押题十三 探究题（解答题）88．（2026·浙江·二模）【阅读理解】利用平方差公式：近似求算术平方根．例：求的近似值（结果保留2位小数）的过程如右图：解：因为，所以 根据平方差公式 可设，其中，所以 代入得： 因为接近4，所以，得 故【尝试探究】(1)在整数________和________之间；(2)求的近似值（结果保留2位小数）．89．（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方． 【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍．小嵊给出了数学证明：如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，，因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为，则第二行：①，第二列：②，对角线分别：③，④，将①＋②＋③＋④，得：所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍．(1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程．(2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系．90．（2026·浙江台州·二模）在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题．小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小．(1)已知，．若m是的整数部分，则________．【方法探究】小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则．她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则．【学以致用】(2)请利用小红的方法，估算的值．91．（2026·浙江台州·二模）【发现】数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除．证明过程如下：整数为偶数时，设（其中为整数），，因为是整数，所以能被4整除．【类比】探究奇数的平方被4除所得余数的情况．小明通过举例发现：(1)奇数的平方被4除余数为__________．证明过程如下：整数为奇数时，设（其中为整数），……(2)请补全证明过程．【应用】(3)小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．（注：整系数一元二次方程是指关于的方程，其中，，均为整数，且）92．（2026·广西南宁·三模）综合与实践在数学课上，老师和同学们一起开展折纸活动．将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，在第一象限，且，．若点为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设．(1)【问题初探】填空：如图①，点的坐标为_________，点的坐标为_________；(2)【深入思考】如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；(3)【拓展延伸】设折叠后重叠部分的面积为，当时，请直接写出的取值范围．93．（2026·陕西咸阳·模拟预测）综合探究【基础回顾】(1)如图①，平行四边形中，连接对角线，，则图中与面积相等的三角形有_________；【自主探究】(2)如图②，，，求面积的最大值；【拓展应用】(3)如图③，某景区计划在自然景色优美的山谷旁打造一个四边形的特色休闲区，现要求设计院按如下标准设计：，且满足，，，要求四边形的面积尽可能大，并计划在C处和上P处设计两个观景台，沿建一个观景步道，并要求观景步道两侧的面积相等，问设计院能否按景区的要求设计出来？若能，求出P到B的距离及的面积；若不能，请说明理由．（结果保留根号）押题十四 反比例函数（解答题）94．（2026·浙江杭州·一模）一次函数与反比例函数（为常数，）的图象交于点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式．(2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围．95．（2026·浙江湖州·模拟预测）为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转．上臂，下臂长均为．双臂对称张开时，始终保持水平，即．【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r与转动速度v的乘积为定值，即，k为常数（图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，v为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计）【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度v部分数据如下表：旋转半径r（） 30 40 50转动速度v（） 200 150 120(1)请根据以上信息，求k的值（单位：）．(2)为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过，则旋转半径r至少为多少 (3)某动作设计需要机械双臂的转动速度v为，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角的正弦值．96．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为．(1)求第一次锻造操作的时长；(2)求第二次开始锻造的时间．97．（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为．(1)当放置物体质量为时，求总电阻的值；(2)求关于总电阻的函数表达式；(3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值．98．（2025·浙江杭州·二模）小王家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：(1)当时，求水温与开机时间（分）的函数关系式；(2)求图中t的值；(3)若小王在通电开机后即外出散步，分钟后回家，要使得回家时饮水机内温度不低于，求t的取值范围．99．（2025·浙江温州·三模）如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格：托盘与点的距离托盘中的砝码质量(1)与x之间的函数表达式为______；(2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离；(3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由．100．（2025·浙江·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，(1)求和的值．(2)横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离．21世纪教育网(www.21cnjy.com)参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D A A C B C C B B题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19答案 C A B D B A C D C1．D根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可．解：∵，∴，∵和是以点为位似中心的位似图形，∴，，∴，∴，∴，∵的面积等于4，∴的面积为 ．2．D先利用两点间距离公式求出两个三角形的位似比，过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，易证明，则，据此求出、长，从而求出点的坐标．解：、、，、，，即与的位似比为，过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，，，，，、，、，，解得：、，，点D的坐标为．3．A∵是的位似图形，位似中心为点，位似比为，∵如图，点的对应点为在第四象限，∴的坐标为，即．4．A根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果．解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为，∴与的位似比为，∴与的周长之比为．5．C由题意可得，，由位似图形的性质可得与相似，相似比为，再由相似三角形的性质计算即可得出结果．解：∵，，∴，，∵与位似，原点O是位似中心，∴与相似，相似比为，∴，∵的面积为4，∴的面积为．6．B解：∵四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是 ，∴，即 ，由图可知，点与点在位似中心的同侧 ，∴点的横、纵坐标均为点横、纵坐标的2倍 ，∵，∴点的坐标为，即．7．C根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，得到答案．解：与位似，，，，，与相似比为，．∵，．8．C根据题意可得，再利用相似的性质即可求解．解：，，，即，又，由平移可知，，解得，．9．B根据平移的性质可得、，然后求出四边形的周长等于的周长与的和，再求解即可．解：由条件可知、，∴四边形的周长的周长．10．B先求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，则，然后分两种情况：当点P在线段上时，当点P在抛物线上时即可求解．解：设直线的解析式为，把点，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，设点P的横坐标为m，则，当点P在线段上时，此时点P的坐标为，∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，∴点在图形C上，∴或，∴（舍去）或；当点P在抛物线上时，此时点P的坐标为，∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，∴点在图形C上，∴或，∴（舍去）或（舍去）或；∴这样的点P的个数为2个．11．C根据平移的性质求得四边形是矩形，，，再利用勾股定理求解即可．解：由平移的性质得，，，∵，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴．12．A本题主要考查了平移的性质，由平移的性质得到，再由线段的和差关系求出的长即可得到答案．解：由平移的性质可得，∵，∴，∴，∴平移的距离为3，故选：A．13．B根据反比例函数点的坐标特征和性质，逐一判断各选项即可．解：已知反比例函数，可得，比例系数：对于选项A：将点代入验证，得，∴点不在函数图象上，∴A错误，该选项不符合题意；对于选项B：∵点在函数图象上，∴，对于点，，满足函数关系式，∴点也在函数图象上，∴B正确，该选项符合题意；对于选项C：当时，，∴C错误，该选项不符合题意；对于选项D：∵，∴反比例函数图象在第二、四象限，只有在每个象限内随的增大而增大，并非对所有，随增大而减小，∴D错误，该选项不符合题意．14．D先判断反比例函数比例系数的符号，再利用反比例函数的性质得到三个点纵坐标的符号与大小关系，最后判断各选项即可．解：∵反比例函数的比例系数，且∴∴反比例函数图象分布在第二、四象限，且每个象限内随的增大而增大∵∴在第二象限，在第四象限可得，逐一判断选项：A.的正负不确定，A错误，B.∵，∴，B错误，C.∵，∴，C错误，D.∵，∴，D正确．15．B首先明确时反比例函数的图象位置和增减性，根据但判断两点不在同一象限，再列不等式组求解即可．解：∵反比例函数中，，∴函数图象分布在第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大，∵，∴，又∵，∴点、不在同一象限，∵第二象限点的纵坐标为正，第四象限点的纵坐标为负，且，∴ 在第二象限，在第四象限，则，解不等式组得．16．A先根据的符号判断函数图象所在象限和增减性，再结合的范围确定三个点横坐标的范围，进而比较的大小．解：∵反比例函数中∴函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大∵∴可得∴点，在第二象限，点在第四象限∴，，又∵在第二象限内，随的增大而增大∴综上可得．17．C先根据比例系数判断函数图象所在象限，再结合各点横坐标的范围比较函数值大小．解：反比例函数为，比例系数，函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内， 随 的增大而增大，点，的横坐标都小于，，都在第二象限，可得，，又，，点满足，在第四象限，可得，综上可得：．18．D由反比例函数的图象和性质得反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，由可知，即可判断，，据此解答即可．解：∵反比例函数中，，∴反比例函数的图象在第一、三象限，∵点，均在反比例函数的图象上，且，∴，∴点在第三象限，在第一象限，∴，，∴一定成立，的符号无法确定，19．C先利用已知点A求出反比例函数比例系数k的符号，再分别计算点B、点C对应函数值的范围，最后判断和的符号．∵反比例函数的图象经过点，∴，∵，∴，将代入得：，将代入得：，判断和的符号：，即，判断差的符号：，，则，∴，即．20．3设与的交点为G，分别过点G，E作于点M，于点N，利用翻折的性质，平行线的性质，角度和差得出，进而推出，由已知条件设，则，利用勾股定理求出的长度表达式，通过等面积法和勾股定理求出的长度表达式，从而推出，再得到，由、、三点共线，得出，设，，则，表示出长度的表达式，求得x的值，即可求出最终结果．解：如图，设与的交点为G，分别过点G，E作于点M，于点N，由题意知，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，设，则，∴，∵，∴，解得：，在中，，∴，∵，∴，∴，∵、、三点共线，∴，设，，则，∴，解得：，∴．21．过点B作于点C，构造直角三角形，利用锐角三角函数求出的长，再根据计算即可．解：过点B作于点C， ，在中，，，，点A为最低点，为竖直方向半径，小慧在竖直方向上升的高度为：．22．1.2利用得到，，分别用正切求出、，线段差．解：已知，米，在中，，，米，在中，，，米，米．23．解即可．解：由题意得，，在中，∴，则锲子沿水平方向前进大约．24．作，根据三角函数计算即可．解：如图，作，∵，，∴．25．由题意易得米，米，，，然后根据三角函数及勾股定理可进行求解．解：由题意得：米，米，，，∵，∴米，∴，米．26．本题主要考查图形的翻折变换、矩形的性质以及弧长公式，掌握变换的性质是解决问题的关键．先得出，再得出的半径，最后根据弧长公式即可得出答案．解：∵将矩形纸片（）折叠，折痕为，∴平分，,又的半径，∴．27．/设矩形的长为，宽为，根据矩形的性质得，，，根据折叠的性质得，，，则，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，即可解答．解：设矩形的长为，宽为，则，，，由折叠的性质得，，，，∴，∴，设，则，，在中，，∴，解得，∴，∴．28．如图，过点作于点，交于点，根据垂径定理得，根据折叠的性质得，根据等腰三角形的性质及锐角三角函数的定义求出，根据勾股定理求出，最后根据可得答案．解：如图，过点作于点，交于点，∴，即是的边上的中线，∵，∴，∴，即点是的中点，∵将扇形沿弦对折后，恰好经过扇形的顶点，∴，在中，，，∴，，∴，，∴，即阴影部分的面积为．29．连接、，过点作轴于点，交于点，根据正方形性质及点坐标得出边长，利用等腰三角形三线合一的性质确定点横坐标，由折叠性质得，在中利用勾股定理求，进而求得及点坐标．解：连接、，过点作轴于点，交于点，∵四边形是正方形， ，，轴，，，，，，，，，∵沿折叠正方形，点的对应点为，，在中，，，．30．设，，得出，根据折叠的性质得出，，，，根据相似三角形的判定和性质求出，根据三角形的面积得出，将点的坐标代入反比例函数，即可求解．解：如图：设，，∵点是的中点，∴，∵将沿的垂直平分线翻折，得到，∴，，，，故；∵，∴，∴，∴，即，∴，的面积为，即，整理得；∵，故点的坐标为，∵反比例函数的图像经过点，故将代入，得，整理得，将代入，得．31．连接，由正方形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，，证明，得出，设，则，，由勾股定理可求出，从而得出，，的长即可得解，解：如图：连接，正方形的边长为8，点为上靠近的三等分点，，，，，由折叠的性质可得：，，，，在和中：，，，设，则，，由勾股定理得，，，解得，，，．32．根据二元一次方程的解的定义，将已知的的值代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，即可求解．解：将代入方程，得，解 得．33．将方程组中两个方程相加，提公因式整理得到含与的关系式，再代入已知求解即可．解：得：，提公因式得：，∵方程组的解满足，∴，解得．34．63解：由题意得，，∵，∴，整理得 ，即，联立得方程组 ，将两个方程相加得，，解得，，把代入，得，∴．35．先对多项式进行因式分解，再根据密码生成规则，结合因式值的大小关系列出方程组，解方程组即可得到明码．解：，∵x，y为自然数，∴，根据密码生成规则，可知三个因式的值从大到小为20，15，10，∴，解得．36．根据新运算定义，将已知条件代入得到关于，的二元一次方程组，解方程组求出，的值，再得到的多项式，最后对多项式进行因式分解即可．解：根据题意可得：，解得，∴．37．本题考查了新定义运算，根据“双数”定义，设，，由得方程，整理为．因p和q为正整数，和均为整数，且，两者同时为奇数或同时为偶数，则可得出，解方程组求出p和q，进而可求出比值．解：由题意，“双数”的最佳拆分点为，故；“双数”的最佳拆分点为，故．∵，代入得：，即，因式分解得：，由于p和q均为正整数，故和均为整数，且，两者同时为奇数或同时为偶数，因子对可能为或或；只有同为偶数，∴，解得，∴．38．3两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，据此得到，解方程组，求出的值即可．解：∵与的和是单项式，∴与是同类项，∴，解得．39．根据“福禄数”的定义进行求解即可；先推导出，再分别求出，，再根据与均是整数，列出符合条件的方程组，解方程组即可．解：根据题意：当，，，时，这个“福禄数”最小，即最小的“福禄数”是；，，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，，∵与都是整数，∴为整数，为整数，∴为整数，为整数，根据题意得：，，∴，，∴或或或或，或或或或或26或39设，，∴，，∴，，∵c、d为整数，∴为整数，为整数，∴为整数，为整数，∴能被3整除，能被2整除，∴或19，或或13或，当时，解得，不符合题意舍去；当时，解得，∴，，∴；当时，解得，不符合题意舍去；当时，解得，不符合题意舍去；当时，解得，不符合题意舍去；当时，解得，不符合题意舍去；当时，解得，不符合题意舍去；当时，解得，不符合题意舍去；综上，．40．(1)(2)（1）代入两个函数建立等量关系即可求解；（2）求出一次函数与轴的交点坐标，结合图像写出的解，再建立不等式求解即可．（1）解：时，，，，即；（2）解：，解得，即一次函数与轴相交于，结合图像的解为，，解得，，解得．41．(1)(2)第到第天面临亏本风险（1）由函数图象可知，关于的函数图象由两段组成，当时，关于的函数图象为一次函数，利用待定系数法求出此时的关于的函数关系式，再求出当时，恒为32；（2）根据题意得，当时，会面临亏本的风险，分情况讨论：当或或时列出不等式，结合为整数求解即可．（1）解：由函数图象可知，当时，设关于的函数关系式为，将、代入得：，解得：，此时关于的函数关系式为，当时，，综上所述，关于的函数关系式为：；（2）解：根据题意得，当，即时，会面临亏本的风险，当时，，，，解得：，，为整数，可以取18，19，20；当时，，，，解得：，，为整数，可以取21，22；当时，，，，，当时，不会面临亏本的风险，综上所述，第到第天该产品面临亏本风险．42．(1)小丽驾车后停车充电(2)(3)（1）根据停车充电时的路程和已知行驶速度，用“时间路程速度”直接计算行驶时长；（2）先确定A、B两点坐标，设一次函数表达式，代入两点列方程组求解系数，再标注自变量取值范围；（3）根据每小时的耗电量可求出充电前“高电量行驶”的时间和路程；充电后，令，即，求出s，再减去，即可求充电后“高电量行驶”的路程，最后将两段“高电量行驶”的路程相加即可．（1）解：由图象可知，汽车行驶后停车充电，已知行驶速度为，行驶时间为，答：小丽驾车后停车充电；（2）解： 每小时的耗电量为：，∴段的耗电量为：，，∴，由图象得：，设线段的函数表达式为，将，代入得：，解得：．因此，线段的函数表达式为：；（3）解：由（2）知每小时的耗电量为，充电前：“高电量行驶”的时间为：，“高电量行驶”的路程为：；充电后：令，即，解得，则充电后“高电量行驶”的路程为：；，答：小丽驾驶前往景点的过程中，属于“高电量行驶”的总路程为．43．(1)11200米(2)(3)这条海底高铁隧道能如期完工（1）根据坐标系中纵轴的数据可得答案；（2）先判断折线段表示的是乙队y关于x的函数图象，再利用待定系数法求解；（3）先求出甲队调整后的掘进速度，求出开工21个月后剩余的工作量，求得剩余工程所需要时间，与21个月相加，再与计划时间比较即可．（1）解：由图象可得：这条海底高铁隧道的施工长度是11200米；（2）解：图象中段的掘进速度是米/月，段的掘进速度是米/月，∴折线段表示的是乙队y关于x的函数图象，设乙队调快速度后，段的函数关系式为，则，解得，∴；（3）解：对于甲：段的掘进速度是米/月，若甲、乙两队继续按调整后的速度施工，21个月后，整个工程还剩余米，还需个月，，∴这条海底高铁隧道能如期完工．44．(1)，(2)（1）将 代入 得 ，代入 解得 ，令 得 ；（2）联立 与 得交点横坐标 ，由 得 ，解得 .（1）解：由题意，点是一次函数上的点，且横坐标为，将代入，可得，点的坐标为；将 代入 ，可得，解得．点是一次函数与轴的交点，此时，代入，可得，解得，．（2）联立两个一次函数：，令，解得，即交点的横坐标，，，，的取值范围为．45．(1)(2)（1）运用待定系数法求解即可；（2）分别求出时和时的函数值，根据函数的增减性即可求解．（1）解：∵是的一次函数，∴设该函数的表达式为，∵其图象经过点，，∴，解得，∴这个函数的表达式为．（2）解：当时，，当时，，∵函数中，，∴y随x的增大而增大，∴当时，．46．(1)；12(2)；(3)，，（1）先求出当甲跑步时间时甲的路程，用路程除以甲的速度再加上两次休息的时间可求出t的值；由题意可知此时乙跑步时间为，即可求出的值；（2）设，将，代入计算即可；（3）分三种情况作答即可．（1）解：12分钟小时，乙比甲晚出发小时，，当甲跑步时间时：甲的路程：，乙跑步时间为，此时两者路程相等，故．（2）解：由（1）知，，设，代入得，解得：，∴线段所在直线的函数表达式为；（3）解：第一次相遇：，乙跑步时间；第二次相遇：乙维修停在处，∵，∴甲跑到时，，此时乙总跑步时间为；第三次相遇：时，则，解得，此时乙总跑步时间为；综上所述，甲、乙相遇时乙跑步的时间为，，．47．(1)，(2)（1）分别令求解即可；（2）先求出点关于y轴的对称点坐标为，再根据待定系数法求解即可（1）解：令，则，解得，令，则，所以，点的坐标为，点的坐标为；（2）解：点关于y轴的对称点坐标为，设直线关于轴对称的直线解析式为，把和代入上式得，解得：，∴．48．(1)(2)2.7分钟后（1）先用待定系数法求出小明离家的路程关于x的函数关系式，再求出时，x的值，最后再用待定系数法求出妈妈离家的路程关于x的函数关系式；（2）由题意可得：，计算即可．（1）解：由图象得：设小明离家的路程关于x的函数关系式为：将代入得：解得：∴ 当时， 设妈妈离家的路程关于x的函数关系式为：将，代入得： 解得∴；（2）由题意得：∴ ∴，∴分钟后两人第一次相距100米．49．(1)函数图像经过点(2)（1）首先利用待定系数法解得该一次函数解析式，然后验证是否经过点即可；（2）首先确定该一次函数的增减性，然后判断，的大小关系即可．（1）解：把，点代入，得，解得，∴一次函数解析式为，当时，，所以该函数图像经过点；（2）∵当时，，当时，，∴该函数值y随x的增大而减小，∵，∴．50．(1)(2)(3)7（1）待定系数法求得解析式，再化成顶点式，即可确定顶点坐标；（2）根据二次函数的对称性和增减性求解即可；（3）先求得平移后的抛物线解析式为，由二次函数的性质可得对称轴为，易得，则对称轴位于，即，易得，然后代入平移后的抛物线解析式即可求得t的值．（1）解：把点代入 得，解得．∴．∴该函数图像的顶点坐标为．（2）解：∵该函数图像的对称轴为直线，∴关于对称轴的对称点为．∵开口向上，离对称轴越近函数值越小，，∴m的取值范围为．（3）解：∵向上平移t（）个单位长度，得，∴对称轴为直线．∵，∴，即对称轴处于，∴，即．∴点A坐标为，代入，得，解得．∴t的值是7．51．(1)二次函数的解析式为(2)①；②或（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．（2）①二次函数图象与轴的交点可得出，展开与二次函数的字母一一对应，进而可求出的值．②根据的正负分类，结合二次函数的图象和性质求解即可．（1）解：把，代入，得，解得，二次函数的解析式为；（2）解：①二次函数图象与轴的交点为，，则可转化为，即，，，解得，．②对称轴为直线，当时，则，抛物线开口向上，点在对称轴右边，随的增大而增大，满足；，，解得，；当时，则，若，点在对称轴右边，随的增大而减小，则，不符合题意；若，即，点关于对称轴对称的点是，，，解得，，综上所述：或．52．(1)(2)(3)或（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用纵坐标相同的两个点关于对称轴对称即可求解；（3）分情况讨论对称轴的位置，利用最大值比最小值大2，建立方程，其中当时，要再细分为两个端点离对称轴的距离的大小进一步讨论，最后该两种情况都不成立，综合所有情况即可求解．（1）解：把，代入中，得：∴．（2）解：∵对称轴为直线，∴．（3）解：当时，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点，①当时，最大值最小值解得：．②当，即时，最大值最小值解得：．③当，即时，最小值为顶点纵坐标，要使最大值最小值，∴最大值，令，解得：，当时，即时，函数在时取最大值，∵都不在的范围内，∴该情况不成立，当时，即时，函数在时取最大值，令，∴∵，∴都不在这个范围内，故该情况不成立，综上所述：或．53．(1)(2)(3)（1）将二次函数的解析式化为顶点式，即可解答；（2）把代入函数，得点B的坐标为，，求出t的值，再根据即可解答；（3）由得到，从而得到，求出，由于，则随的增大而增大，即可求解．（1）解：∵二次函数，∴该二次函数图象的顶点坐标为．（2）解：∵过点与y轴平行的直线交抛物线于点B，∴把代入函数，得，∴点B的坐标为，∵，∴，解得，，∵二次函数自变量的取值范围为，∴，∴．（3）解：∵，∴，∵点，为二次函数图象上，∴，即，解得，∵，∵，∴随的增大而增大，∴当时，有最大值，为．54．(1)对称轴为直线(2)(3)（1）把代入得到，即可通过求出对称轴；（2）利用二次函数的对称轴和开口方向，结合图象性质求解即可；（3）将代入方程得 ，把方程的两个根代入方程得，解出， 将代入运算求解即可．（1）解：把代入可得：，整理可得：，∴抛物线对称轴为直线；（2）解：∵，∴二次函数开口向上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到对称轴的距离为 ，点到对称轴的距离为，∵，∴；（3）解：将代入方程得 ，∵方程的两个实数根为，，且 ，∴将，分别代入方程得，由第一个式子得，把代入得：，整理得：，解得：，将代入得，化简得，解得： ，经检验，符合题意．55．(1)(2)(3)∵，∴抛物线的顶点坐标为，∵点为抛物线的顶点，∴∴．（1）把点代入 ，即可求解；（2）分别把点和点代入解析式，再根据，得到关于k的不等式，即可求解；（3）把抛物线的解析式化为顶点式，可用k表示出m，n，即可解答．（1）解：∵抛物线经过点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：当时，，当时，，∵，∴，解得：；（3）略56．(1)①；②(2)或（1）①由待定系数法求解即可；②根据抛物线与不等式的关系求解；（2）当时，，对称轴为直线，然后分三种情况讨论求解即可．（1）解：①将点代入得：，二次函数的对称轴为，，解得，则此二次函数的表达式为；②，则向下平移7个单位得到新函数，即，令，则，解得或，∵抛物线开口向上，∴当时，；（2）解：当时，，对称轴为直线，①当，即时，将，代入解析式得，，解得．，．②当，即时，将，代入解析式得，，解得．，．③当时，将，代入解析式得，，解得．，此时的值不合题意，舍去．综上所述，或．57．(1)(2)(3)（1）将点代入抛物线的解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值；（2）先根据抛物线的一般式求出对称轴的表达式，再利用纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称的性质，得出对称轴为两点横坐标的平均数，建立关于的方程，解方程求出的值；（3）先由、两点纵坐标相同，利用抛物线的对称性求出对称轴，进而得到与的关系式，再确定抛物线与轴的交点坐标及其关于对称轴的对称点坐标，结合抛物线开口向上的增减性，分情况讨论点、的位置，排除无解的情况，根据的条件列出不等式，求解得到的取值范围，最后代入与的关系式，即可求出的取值范围．（1）解：将点代入解析式，得，解得；（2）解：∵抛物线，∴抛物线对称轴为：，∵抛物线经过点，，点和点纵坐标相同，∴抛物线对称轴为：∴；（3）解：∵抛物线，∴抛物线对称轴为：，∵点， 都在抛物线上，点和点纵坐标相同，∴抛物线对称轴为：∴，∴抛物线与轴交点为，且关于对称轴对称的点为，分两种情况讨论：①若点，都在对称轴右侧的抛物线上，∵，∴随增大而增大，∵，∴，不等式组无解；②若点，都在对称轴左侧的抛物线上，随增大而减小∵，∴解得，∴．综上，．58．(1)直线(2)①；②或（1）将二次函数化为顶点式求解即可；（2）①将点代入抛物线求出解析式，再将分别代入二次函数和一次函数得出，，即可得到的长度．②求出抛物线与一次函数的交点坐标，结合函数图象可得当时，点在点的上方．再表示出，结合函数图象求解即可．（1）解:，对称轴为直线．（2）解：①由已知得二次函数与一次函数的一个交点坐标为，将点代入，得，解得，二次函数的表达式为．把分别代入二次函数和一次函数得，，；②联立，解得：或，交点坐标为和，函数图象如下：由图象可得当时，点在点的上方．，函数图象如下：当点在轴的正半轴时，随的增大而增大，当点在轴的负半轴时，随的增大而减小，由图象可得，当或时，线段的长度随的增大而减小．59．(1)(2)（1）由题可知最高点设顶点式，将代入求解即可；（2）令，得到，根据“跳到挡板上底面”列不等式组求解即可．（1）解：由题可知最高点设顶点式将代入得所以（2）解：米，∵，，∴，在中，令，求得（舍去），∵跳到挡板上底面，∴，解得：．60．(1)①证明：与边相切于点，，在中，，，即；②；(2)（1）①由圆的切线的性质可得，再结合平行线的性质证明即可；②连接，过点作于点，由垂径定理可得，设，利用勾股定理列方程，求出，，利用角的正切值，得到，证明，得出，，再利用锐角三角函数求解即可；（2）延长到点，使得，连接、，连接并延长交于点，作于点，证明，得到，则，即当、、三点共线时，最小等于，由①可知，，从而求出，，即可得解．（1）①证明：略②解：如图，连接，过点作于点，由垂径定理可得，，，设，则，在中，，，解得，，，，，，平行四边形，，，，，，，，，；（2）解：如图，延长到点，使得，连接、，连接并延长交于点，作于点，平行四边形，，，，又，，，，，当、、三点共线时，最小等于，由①可知，，四边形是矩形，，，，，，的最小值为．61．(1)证明：连接，，．是的切线，．，，．，，．(2)4（1）连接，由半径相等得，根据切线的性质及垂直的定义推出，结合对顶角相等得到，即可推出．（2）设，得，在中，由勾股定理得，由此求出x的值，即可得到的长．（1）略；（2）解：的半径，且，设，．在中，由勾股定理得，，．解得，或（舍去），，．62．(1)见解析(2)（1）由旋转的性质得，由平行线的性质得，等量代换得，进而可证；（2）先求出，然后根据弧长公式求解即可．（1）证明：由旋转的性质得：，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴点A经过的路径长为：．63．(1)证明：连接，，作直线，连接，由作图步骤可知，，，，；(2)小周说得对，理由如下：，，若，则，即点，重合，无法作出直线使其与平行，即点不是所求作的点．（1）连接，根据弧与弦的关系得到，再根据等弧所对的圆周角相等可得，即可得证；（2）根据圆周角定理、垂直的定义求解即可．（1）略（2）略64．(1)证明：∵，分别是两个等圆和的弧，且，∴，又∵，，∴；(2)（1）根据等弧对等弦得出，进而根据证明；（2）连接，设交于点，证明四边形是菱形，进而求得其面积，再求得扇形的面积，进而求得风筝的面积．（1）略（2）解：如图，连接，设交于点，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，又∵， ，∴是等边三角形，∴，∴，∴四边形是菱形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴所需风筝纸的面积为．65．(1)30°(2)见解析(3)见解析（1）根据题意得出，确定，再由角平分线及等量代换即可得出结果；（2）根据圆周角定理得出，然后结合图形即可等量代换确定，利用等角对等边即可证明；（3）延长至点F，使得，连接，得出，利用等量代换得出，再由圆周角定理得出，根据相似三角形的判定和性质即可证明．（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴．（2）由题意，得，，∴，∵，∴，∴．（3）如图，延长至点F，使得，连接．∵，∴，∵平分，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．66．(1)见解析(2)不会；(3)见解析（1）根据，可得，即可求证；（2）连接，根据圆周角定理可得，则，证明，可得，即可解答；（3）延长至M，使得，连接，则，证明，可得，从而得到，即可解答．（1）证明：∵，∴，又，∴；（2）解：不会变化，如图，连接，∵，∴，是的直径，，，，，∴，，，∴，∴；（3）证明：如图②，延长至M，使得，连接，则，∵是直径，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴即，∴．67．(1)证明：∵，，即，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，∴；(2)（1）根据题意易证，，推出，利用同角的余角相等得到，即可证得结论；（2）根据全等三角形的性质结合已知求出，再利用勾股定理求解．（1）略；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，则在直角三角形中，∵，∴，∴（负值舍去）．68．(1)证明：∵，∴，在和中，∴；(2)7（1）根据平行线的性质得到，再利用证明即可；（2）根据全等三角形的性质得到，，再利用线段的和差即可求解．（1）略（2）解：∵，∴，，∴．69．(1)证明：∵是矩形，∴，，∴，即，∵点为中点，∴，在和中，，∴，∴，又，∴四边形是平行四边形，∴．(2)（1）由矩形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出．（2）先根据矩形的性质和平行四边形的性质得出，，，，利用勾股定理得出，，过点B作于H，利用等面积法求出，最后根据正弦的定义求解即可．（1）证明：略；（2）解：∵是矩形，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，，在中，，∴，在中，，过点B作于H，∴即，解得，∴．70．(1)证明：如图，连接、，根据小明的作图方式可知，，在和中，，，，；(2)可以．解：小华的作法可以作出角平分线，后续补充步骤：③连接、，线段与线段相交于点，过点作射线，射线即为的平分线；设小华第二步作图的半径为，由第一步作图得,，，，，，，，且，在和中，，，，，，，且，在和中，，，，在和中，，，，是的角平分线．（1）利用全等三角形的判定可得，再根据全等三角形的性质得；（2）通过证明可求得，再根据全等三角形的判定得，利用全等三角形的性质可求出，进而求证即可解答．（1）略（2）略71．(1)证明：由作图可知，∵平分，，在和中，，；(2)以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，点即为所求，再利用证明即可；由全等三角形的性质可得，，即得，再利用三角形的面积公式计算即可求解．（1）略（2）解：，，，∴，．72．(1)四边形是菱形．理由如下：由题意得，垂直平分，，，，在中，，．又，，（ASA），，，四边形是菱形．(2)（1）由 垂直平分 得 ，，结合平行四边形得 及全等证 ，从而四边相等得四边形是菱形；（2）利用菱形对角线垂直及角平分线性质，分别求出 和 的面积，相加得 面积，进而求出平行四边形面积．（1）略（2）如图，过点F作于点H．四边形是菱形，，，，．平分，，，，，，．73．(1)证明：在与中，，．(2)（1）根据证明即可；（2）根据全等三角形的性质得到，，证明垂直平分，即，，再根据锐角三角函数进行解答即可．（1）略（2）解：，，，垂直平分，即，， ，，，解得， ．74．(1)(2)，两点之间的距离为．（1）先利用关闭遮阳伞时三点重合的条件，结合已知的长度算出的长度；因为四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，即可得到的长度；（2）先根据关闭伞时的重合条件，结合已知易得为等腰直角三角形，求出，同理可得，也为等腰直角三角形，求出，即可计算出的总长度．（1）解：，，，．∵四边形是平行四边形，；（2）解：连接，∵当平行四边形恰为矩形，，，．，为等腰直角三角形，．同理可得，也为等腰直角三角形，∵，，∵，，三点始终在同一直线上，．答：，两点之间的距离为．75．(1)菱形(2)（1）根据四边相等的四边形是菱形即可证明；（2）根据菱形的性质得到，由平行得到，再由邻补角即可求解．（1）解：由作图可得，∴四边形是菱形，（2）解：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴．76．(1)证明：点是线段的中点，，在和中，，；(2)（1）由中点的性质得到，再由证明三角形全等；（2）根据已知可证为的中位线，得到，由平行线的性质结合全等的性质等量代换可得，即可得解．（1）略；（2）解：当点为的中点时，为的中点，为的中位线，，，，，．77．(1)证明：连接，，如图所示：∵四边形为平行四边形，∴，，∵点，分别是，的中点，∴，，∴，∴四边形为平行四边形，∴；(2)四边形为矩形；证明：∵，，∴，∵点是的中点，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，，∵，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为矩形．（1）根据平行四边形的性质得出，，再证明四边形为平行四边形，即可得出答案；（2）根据等腰三角形的性质得出，得出，证明四边形为平行四边形，根据，即可证明四边形为矩形．（1）略（2）略78．(1)见解析(2)（1）由菱形的性质得，根据可证明；（2）由全等三角形的性质得，由菱形的性质得，再根据三角形外角的性质可得结论．（1）解：∵四边形是菱形，∴，又，∴；（2）解：∵，∴，又四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴．79．(1)见解析(2)（1）根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似即可判断；（2）根据菱形的性质和已知可得，，结合（1）中，可得，由此即可求解．（1）解：∵在菱形中，，∴，（2）解：∵，∴，，又∵在菱形中，，∴，，由（1）得：，∴，∴，∴．80．(1)见解析(2)见解析（1）由题意得，，，由互余得，故；（2）由（1）得，，故．（1）证明：∵四边形是正方形，，，，，，，，，在和中，，；（2）证明：，，，，．81．(1)众数为个，中位数为个(2)解：不赞同．因为这组数据中600是极端值，平均数受极端值影响较大，不能真实地反映一般水平，所以小明的估计方法不合理．可用中位数或众数来估计，中位数为100个，则全年约使用（个）；众数为105个，则全年约使用（个）．（1）根据众数和中位数的定义求解即可；（2）根据平均数易受极端值的影响，可利用中位数或众数估计较为合理．（1）解：由表格数据可知，105出现了4次，出现次数最多，所以众数为105个；将所给10个数据从小到大排列，第5个和第6个数据分别95和105，所以中位数为（个）；（2）略82．(1)90人(2)该校八年级被抽取的学生对的知晓程度更高．理由如下：∵从扇形统计图可知，被抽取的八年级学生中，“不了解”有1名，“比较了解”有3名，“了解”有4名，“非常了解”有2名，∴被抽取的八年级学生的中位数应在“了解”等级处，即，且八年级被抽取的学生测试成绩的众数82大于九年级的78，平均数是与九年级一样，∴八年级被抽取的学生对的知晓程度更高．（1）先由扇形统计图算出八年级样本里“非常了解”的占比，再用总人数对应占比，用样本估算总体求出对应人数．（2）在平均数相同的前提下，对比两个年级数据的中位数、众数，依据中位数和众数的统计意义，判断哪个年级知晓程度更高．（1）解：根据题意得（人）；（2）解：略83．(1)；(2)，，(3)选择乙运动员参加比赛（1）求出第6次的成绩，据此补齐条形统计图即可；（2）根据平均数，中位数，方差的定义求解即可；（3）根据平均数，中位数，方差进行分析求解即可．（1）解：甲运动员的10次测试成绩的平均数是，总成绩为，∴第6次的成绩为，据此补齐条形统计图略（2）解：将甲运动员的10次成绩从小到大排列为：，中位数是第5和第6个数据的平均数，即，乙运动员的平均数，乙运动员成绩的方差；（3）解：选择乙运动员更合适，理由如下：从平均数看，乙的平均数大于甲的平均数，说明乙的整体成绩较慢；从中位数看，乙的中位数大于甲的中位数，说明乙的中间水平成绩较慢；从方差看，乙的方差小于甲的方差说明乙的成绩更稳定．综合来看，乙运动员的成绩更稳定，所以选择乙运动员参加比赛．84．(1)补全频数分布直方图如下：(2)全校名同学中，优秀的同学有人(3)C组10名同学的平均数为74.2，50名同学的中位数为77（1）求出D组的人数，进而补全频数分布直方图．（2）用样本估算总体即可．（3）根据平均数和中位数的定义求解即可.（1）解：D组的人数为：（人）图略；（2）解：（人）答：全校1500名同学中，优秀的同学大概有690人．（3）解：10位同学的平均数为：．∵50名同学的中位数为第25位和26位的平均数，，，C组从小到大排列为：70、71、71、74、74、74、74、76、78、80，∴中位数为．85．(1)，(2)；(3)选择采购型号智能机器人，理由如下：、型号的平均数均为7.7万件．型号的中位数为，型号的中位数为，且，选择采购型号智能机器人．（1）从条形统计图中统计型号各分拣数量的台数，找出出现次数最多的数，即为众数；将型号10台机器人的分拣数量从小到大排列，取第5和第6个数的平均数，得到中位数．（2）根据平均数的定义进行计算即可．（3）对比、两种型号的中位数、平均数，结合实际工作效率需求，确定采购型号．（1）解：由条形统计图可知：型号机器人分拣数量：5万件2台，6万件2台，7万件1台，8万件1台，10万件4台．型号机器人分拣数量：6万件3台，7万件1台，8万件4台，10万件2台．型号中8万件出现的次数最多．，将型号数据从小到大排列为：5，5，6，6，7，8，10，10，10，10．中位数为第5、6个数的平均数．；（2）略（3）略86．(1)(2)C(3)310（1）根据题意计算出统计总数，得到类数量，再补全图形即可；（2）根据中位数的概念求解；（3）根据样本估计总体数量即可．（1）解：由题可知类有，占，则统计总数为，类数量为，补全条形统计图如下：（2）解：总共统计数量为100，则中位数为从小到大第50、51位的平均值，，则中位数落在C类中；（3）解：鳞片数不少于60片的松果占，（个），即一棵成年松树上鳞片数不少于60片的松果大约有310个．87．(1)，(2)C(3)估计全校九年级学生中视力正常的人数为人（1）因为C组频数为，且C组占样本容量的，所以用C组频数除以对应百分比即可得到样本容量；计算B组圆心角度数时，用B组频数除以样本容量得到B组占比，再乘以即可；（2）确定中位数所在组时，先将样本数据按视力分组从小到大排序，计算样本容量的中间位置，再依次累加各组频数，找到中间位置对应的组别；（3）用样本容量减去其余各组的频数之和可求的值，估计视力正常人数时，先计算样本中视力大于的人数占样本容量的比例，再乘以九年级总人数即可．（1）解：∵C组频数为，对应占比40%，∴样本容量为：，∵ B组频数为，∴对应扇形圆心角为：．（2）解：∵样本容量为，∴中位数是排序后第、个数据的平均数，其中组共8人，组共人，组共人，∴第、个数据都落在组．（3）解：∵规定裸眼视力大于为正常，对应分组和，组频数：，∴样本中视力正常的总频数为，占样本的比例为，∴估计九年级1300名学生中视力正常的人数为： 人，答：估计全校九年级学生中视力正常的人数为人．88．(1)8，9(2)（1）根据进行估算即可；（2）先得出，再设，其中，则，然后估算，代入计算即可．（1）解：∵，∴，即在整数8和9之间．（2）解：，设，其中，则，∴，∴，∵接近8，∴，∴，∴．89．(1)见解析(2)（1）将、、整体代入化简即可解答；（2）设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，据此补全幻方，并根据其定义解答即可．（1）证明：∵，，，∴， ∴．（2）解：设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，则有：∴，即．90．(1)(2)（1）根据得到的取值范围即可；（2）仿照示例作答即可．（1）解：∵，∴，∵m是的整数部分，∴；（2）解：∵，∴，∴的整数部分是6，所以可以取，则，则．91．(1)1(2)证明见解析(3)小红的计算结果不正确，理由见解析（1）（2）设奇数为（为整数），展开平方后整理变形，根据整除的性质证明结论；（3）根据的奇偶性，分析判别式被除的余数，将2026除以得到余数，对比即可判断结果是否正确．（1）解：奇数的平方被4除余数为1，证明见（2）；（2）证明：整数为奇数时，设（其中为整数），，是整数，是整数，能被整除，被除所得余数为；（3）解：小红的计算结果不正确，理由如下：由题意得，设整系数一元二次方程为（，a，b，c均为整数），∴，当为偶数时，由题干可得，能被整除，∵是的整数倍，∴能被整除，即被除余数为；当为奇数时，由（2）可知，被除余数为，∵是的整数倍，∴被除余数为，∴任意整系数一元二次方程的判别式被除的余数只能是或，，即2026被除余数为，不满足上述结论，小红的计算结果不正确．92．(1)，(2)，(3)（1）根据平行四边形的性质，得出，，，结合勾股定理得到，即可作答；（2）由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答；（3）根据题意分情况讨，当时，时，，时，分别作图，运用数形结合思路列式，然后根据二次函数和一次函数的性质求解．（1）解：如图：过点C作交x轴于点H，∵四边形是平行四边形，，，∴，，∵∴∴∴∴∵∴∴；（2）解：∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，∴，，∴∵∴∴∵四边形为平行四边形，∴，，∴∴是等边三角形∴∴，当与点重合时，如图，此时与的交点为E与A重合，，当与点B重合时，如图，此时与的交点为E与B重合，，∴的取值范围为；（3）解：当时，设直线与交于点，由（1）得，，∵，∴，∴，∴∴，开口向上，对称轴直线∴当时，随着的增大而增大，当时，，当时，，∴；当时，如图，∵轴，轴，∴四边形是矩形∴∴∴，∴随着的增大而增大∴当时，；当时，；∴；∵当时，过点E作轴于点N，如图，∵由（2）得是等边三角形，，∴，∴，∴，∴∵∴抛物线开口向下，对称轴为直线，∵∴当时和时的函数值相等∴当时，，当时，，∴；当时，如图，∴，∴∴，∴随着的增大而减小∴当时，，当时，，∴．综上，的取值范围为．93．(1)(2)；(3)能，P到B的距离为；．（1）根据平行四边形的性质及三角形面积公式可知与面积相等的三角形；（2）根据构造圆，连接，，，作于点D，根据三角形三边关系可知当C、O、D在一条直线上时，点C到的距离最大，根据圆周角定理得到，即是等边三角形，根据三角函数得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可；（3）根据题意可知是等边三角形，把绕点D逆时针旋转60度得到，连接，由旋转的性质得到是等边三角形，可知四边形是菱形，进而得到，，，则，过A，B，E作圆O，连接，作于点F，同（2）得：当E、O、F共线时，的面积最大，根据垂径定理得到，证明，得到，根据等边对等角得到，根据圆周角定理证明是等边三角形，得到，根据勾股定理得到，进而得到，可知，即可求出的面积；过点A作交于G，过点D作，连接，可知是等腰直角三角形，求出，根据三角函数得到，则，根据三线合一得到，根据勾股定理求出，根据同底等高的三角形面积相等可知，则，根据等高三角形面积比等于底之比可知，即可求出P到B的距离．（1）解：设平行四边形的边上的高为h，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，同理，，∴图中与面积相等的三角形有；（2）解：如图，过点A，B，C作圆O，连接，，，作于点D，∵，为定值，∴当点C到的距离最大时，的面积最大，点C到的距离，∴当C、O、D在一条直线上时，点C到的距离最大，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，此时，即的面积最大值是；（3）解：∵，，∴是等边三角形，如图，把绕点D逆时针旋转60度得到，连接，由旋转的性质得：是等边三角形，∴，，∴四边形是菱形，∴，，，∵，∴，点A，D，E三点共线，∴，过A，B，E作圆O，连接，作于点F，同（2）得：当E、O、F共线时，的面积最大，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴，假如上存在点P，使两侧的面积相等，则，如图，过点A作交于G，过点D作，连接，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，解得（负值舍去），在中，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即P到B的距离为．94．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为(2)或（1）利用待定系数法即可解答；（2）画出图象，根据图象即可解答．（1）解：把代入，可得，解得，反比例函数的表达式为，当时，，，把，代入，可得，解得，一次函数的表达式为；（2）解：画出图象，点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，根据图象可得或．95．(1)(2)旋转半径r至少为(3)（1）根据，结合表格信息代入计算即可；（2）当时，，结合反比例函数图象的性质求解即可；（3）根据题意，过点B作于点E，作于点F，，得四边形为矩形，，再根据正弦值的计算即可求解．（1）解：．（2）解：当时，，因为反比例函数在的范围内，v随着r的增大而减小，所以当时，，即旋转半径r至少为．（3）解：当时，，即，如图，过点B作于点E，作于点F，因为，所以，因为四边形为矩形，所以，所以．96．(1)(2)本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式．（1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案；（2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的时间，即可得答案．（1）解：材料锻造时，设，由题意得，解得，，当时，，解得：，当时，，解得：，，所以第一次锻造操作的时长是；（2），所以煅烧时温度每分钟上升，，所以第二次煅烧需要，，所以第二次开始锻造的时间是第．97．(1)(2)(3)本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式．（1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值；（2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可；（3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解．（1）解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式，设，将，代入解析式，得：，解得，，当时，，此时，即总电阻的值为；（2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为，由（1）知时，，，关于总电阻的函数表达式为；（3）解：，，随的增大而减小，，当时，取最小值，最小值为：，此时取最小值，最小值为：，，随x的增大而减小，取最小值2时，x取最大值，令，解得，即该电子秤所称物品质量的最大值为．98．(1)(2)(3)本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．（1）待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）利用待定系数法求出下降过程中水温与开机时间（分）的函数关系式并将坐标代入，求出t即可；（3）分别求出加热和放热过程中温度为时对应的时间，即水温从加热到需要的时间，继续加热到再降到需要的时间，从而计算当时，加热过程中水温为时对应的时间和放热过程中水温为时对应的时间，再根据图象直接写出这个时间段内饮水机内温度不低于时t的取值范围即可．（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：，依据题意，得，解得：，此函数解析式为：；（2）解：当，设水温与开机时间（分）的函数关系式为：，依据题意，得：，即，故，当时，，解得：；（3）解：当时：当时，解得，当时，解得，∴水温从加热到需要分钟，继续加热到再降到需要20分钟，∴当时，加热过程中水温为时对应的时间为（分），放热过程中水温为时对应的时间为（分），根据图象，要使得回家时饮水机内温度不低于，t的取值范围为．99．(1)(2)(3)解：托盘中应减少砝码．理由如下：，，随x的增大而减小，当托盘B向右移动时x增大，托盘中的砝码质量y应该减小，托盘中应减少砝码．本题考查反比例函数的应用，根据表格中变量的变化规律写出y与x之间的函数表达式，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．（1）根据表格中变量的变化规律解答即可；（2）当时，求出对应x的值即可；（3）根据反比例函数的增减性判断即可．（1）解：由表格可知，，与x之间的函数表达式为故答案为：；（2）解：当时，得，解得 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