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2026年山东省中考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，比大的数是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.山东是海洋大省，毗邻海域面积约为万平方公里．将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.如图所示几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，直线，直线分别交，于点，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点若，则的度数是( )
A. B. C. D.
7.计算的结果是( )
A. B. C. D.
8.甲、乙两名同学分别记录了自己连续天的分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图．
根据图中信息，下列结论正确的是( )
A. 甲的跳绳成绩总是高于乙 B. 甲的跳绳成绩的众数为
C. 甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D. 甲的跳绳成绩的方差小于乙
9.在年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是( )
A. B. C. D.
10.如图，点是抛物线的顶点．下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 对任意实数，总成立
D. 若点，在抛物线上，则
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.计算： ．
12.如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于 ．
13.若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是 ．
14.如图，一组反比例函数，，，，其中，，，为大于的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数的图象相交，交点依次记为，，，，若，则 ．
15.如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，若，，则的面积为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.按要求完成下列各题：
计算：；
解不等式组：．
四、解答题：本题共7小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在中，于点，点，，分别是边、、的中点．
求证：；
判断四边形的形状，并说明理由．
18.本小题分
在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：
求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
若购买描金琉璃瓶和内画瓶共个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
19.本小题分
如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
20.本小题分
某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查：
【调查内容】
关于项目式学习活动的调查问卷问题你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？单选绘制校园平面地图 读书长廊地面铺设设计 测量校园内旗杆高度制定旅游最优路线 体育运动与心率的关系探究问题假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？可多选查阅文献 上网查询 同伴合作 寻求指导 专业咨询问题问题你还想探究哪些领域的数学问题？
【数据处理】
信息：将问题的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
信息：将问题的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．
解决困难的方式
选择人数
信息：问题调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．
【分析应用】
根据调查信息，解答下列问题：
求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；
若有名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；
甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．
【决策建议】假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．
21.本小题分
我国古代学者戴震在算学初稿中记载了一种可测量仰俯角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．
如图，左矩与视线重合，角度盘读数为，矩尺盘读数为，可知仰角，如图，右矩与视线重合，角度盘读数为，矩尺盘读数为，则仰角 ， 结果精确到
【应用探究】综合实践小组测量某景区城门楼如图的顶端到地面的距离的长度如图，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离结果精确到
22.本小题分
“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景如图甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分以下“花枪”均指花枪的中点．
如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为．
设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式；
花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．
23.本小题分
在中，，．
【观察与发现】如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，求证：．
【思考与探究】如图，过点作交于点点，分别在边，上，，连接，，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
【拓展与延伸】如图，在的条件下，延长至点，使，连接，若，，求线段的长度．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 度
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题】
解：
；
【小题】
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为．

17.【答案】【小题】
证明：，
．
在中，点是的中点，
．
同理．
，
；
【小题】
解：四边形是平行四边形，理由如下：
点，，是的中点，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形．

18.【答案】【小题】
解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组：
解得：
答：描金琉璃瓶单价元，内画瓶单价元．
【小题】
设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个．
，
解得为整数．
设总费用为，则．
因，则随增大而增大，故当时，最小．
元
此时内画瓶数量为，最少费用为元．
答：购买个描金琉璃瓶和个内画瓶时总费用最少，为元．

19.【答案】【小题】
证明：，
，
，
，
，
又是的直径，
是的切线．
【小题】
解：连接，过点作，垂足为，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
在中，，
，解得：，负值不合题意已经舍去，
，
设的半径为，即，则，
在中，，
，解得：，
答：的半径为，

20.【答案】【小题】
解：参与调查的学生总数为人，
选择项目的学生人数为人，选择项目的学生人数为人，补全条形统计图如下：
【小题】
解：人，
采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为人．
【小题】
解：设分别用表示科技、交通、经济三个领域，
列表如下：
由表可得，一共有种等可能的结果，其中选择同一领域的有种情况，
两人恰好选择同一领域的概率为．
【小题】
优先开设学生选择人数较多的主题“读书长廊地面铺设设计”和主题“制定旅游最优路线”，活动中多分组鼓励学生同伴合作探究．言之有理即可

21.【答案】【小题】

【小题】
解：根据题意得：，，，，，，，
，
中，，
即，
，
设，则，
，
，
，
中，，
即，
解得：，
，
答：城门楼的顶端到地面的距离约为．

22.【答案】【小题】
如图，建立平面直角坐标系．
由题意得，，设函数表达式为：，
把代入，得，
解得，
函数表达式为：．
当时，，
由题意得，，
当时，整理得，，
令，
当时，，
解得，，
的解集为；
当时，整理得，，
令，
当时，，
解得，，
的解集为或；
由题意得，，
综上所述，的取值范围为．
【小题】
解：当时，，
解得，舍去，
丙的平均速度为米秒．

23.【答案】【小题】
证明：连接，如图所示：
根据旋转可得：，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
；
【小题】
；理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，，
，
，
；
【小题】
解：延长，并取点，使，过点作于点，如图所示：
则，
，
为的中位线，
，，
，
，
，
，
设，则，，，
，
，，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，，
或．

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